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      探析二次方程根的分布問題高考命題視角

      2015-07-25 05:51:02江蘇省丹陽高級中學(xué)謝洪濤
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年23期
      關(guān)鍵詞:二次方程極值零點

      ☉江蘇省丹陽高級中學(xué) 謝洪濤

      教材是數(shù)學(xué)教育專家集體智慧的結(jié)晶,里面包含要求高中學(xué)生必須掌握的知識點及相關(guān)問題的解題思想方法,但受承載容量的限制,題型、方法的介紹不可能面面俱到,有一部分重要的題型和方法是以習(xí)題的形式體現(xiàn)的,因此對習(xí)題的拓展、探究就格外重要了.對習(xí)題的探究不僅可以對題型和方法進行歸納總結(jié),而且還可以找到很多高考題的生長點.本文以一道二次方程根的分布的習(xí)題為例,就相關(guān)題型及解法進行探究.以期拋磚引玉.

      題目(人教版必修5練習(xí)題)關(guān)于x的方程x2-(m+3)·x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根,求實數(shù)m的取值集合.

      教材中并沒有對二次方程根的分布問題作系統(tǒng)的歸納,本文以此題為例,進行題型歸納及解題方法總結(jié).

      一、解法展示

      解決此類問題可以從兩種視角入手.

      解法1:(利用二次函數(shù)圖像)方程x2-(m+3)x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根,即二次函數(shù)f(x)=x2-(m+3)x+m+3與x軸正半軸有兩個不同交點.由二次項系數(shù)大于0知,二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上,欲使其與x軸正半軸有兩個不同交點,則:

      解法2:(利用根與系數(shù)的關(guān)系)方程x2-(m+3)x+m+3=0有兩個不相等的正實數(shù)根,即:

      解題中根據(jù)不同的題型,兩種方法要擇優(yōu)而用.

      二、題型歸納

      設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個實根為x1,x2,其根的分布問題除題目所示類型外,還有如下幾種類型.

      說明:在上述問題的解答中,若二次項系數(shù)的正負不確定,應(yīng)就其可能取值情況進行分類討論.若二次項系數(shù)可能為0,則問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù).

      例1 若二次方程x2+(2m-3)x+4=0有且只有一個根在(0,1)內(nèi),求m的取值范圍.

      解析:令f(x)=x2+(2m-3)x+4,由f(x)=0有且只有一個根在(0,1)內(nèi)可知,

      ①f(0)f(1)<0?4(2m+2)<0?m<-1;

      綜上,m<-1.

      例2 若關(guān)于x的方程x2-x-m-1=0在[-1,1]上有兩個根,求m的取值范圍.

      解析:令f(x)=x2-x-m-1,原問題轉(zhuǎn)化為以下兩種情況.

      ②f(1)f(-1)=0?m=±1.

      當(dāng)m=1時,原方程為x2-x-2=0?x1=-1,x2=2,不合題意;

      當(dāng)m=-1時,原方程為x2-x=0?x1=1,x2=0,合題意.

      評析:在對上述兩題的解答中,除了注意零點個數(shù)的不同,還需要注意所給區(qū)間端點的變化對問題的影響.

      三、高考命題視角

      高考中對二次方程根的分布問題的考查多數(shù)都體現(xiàn)在利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的綜合題目中.解此類問題的基本策略是對函數(shù)求導(dǎo)后,在定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的正負,而導(dǎo)函數(shù)多為二次型或局部為二次型,進而將問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.

      例3 (2015年山東理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.

      (1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由;

      (2)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

      解析:(1)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),定義域為(-1,+∞).

      設(shè)g(x)=2ax2+ax+1-a,

      所以當(dāng)x∈(-1,x1)時,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x1,x2)時,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

      因此,此時函數(shù)f(x)有兩個極值點.

      當(dāng)a<0時,Δ>0,但g(-1)=1>0,x1<-1<x2,所以當(dāng)x∈(-1,x2)時,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞増;當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

      所以函數(shù)只有一個極值點.

      (2)略.

      評析:本題在對函數(shù)求導(dǎo)、整理后決定導(dǎo)函數(shù)正負的是分子,分子為二次函數(shù)型,因此二次方程根的分布問題就登上了高考的舞臺.但二次項系數(shù)不確定,故應(yīng)對其可能情況進行分類討論.

      (1)若a>0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a2-3)上存在極值,求a的取值范圍;

      (2)若a>2,求證:函數(shù)y=f(x)在(0,2)上恰有一個零點.

      解析 :(1)f′(x)=x2-2ax,令f′(x)=0,即f′(x)=x(x-2a)=0,所以x=0或x=2a.

      因為a>0,所以x=0不在區(qū)間(a,a2-3)內(nèi),要使函數(shù)在區(qū)間(a,a2-3)內(nèi)存在極值,只需a<2a<a2-3,所以a>3.

      (2)略.

      評析:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點,即其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點,求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)型,故問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題.

      解析:因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào),所以函數(shù)f′(x)在(-1,1)上存在零點.而f′(x)=0的兩根為a-1,a+1,區(qū)間長為2,所以在區(qū)間(-1,1)上不可能有2個零點.所以f′(-1)f′(1)<0,即a2(a+2)(a-2)<0.

      因為a2>0,所以(a+2)(a-2)<0,-2<a<2.

      又因為a≠0,所以a∈(-2,0)∪(0,2).

      評析:本題從表面看,命題形式上有所變化,即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào),但其本質(zhì)仍是導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間存在零點問題.通過挖掘隱含條件不難發(fā)現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)不可能存在兩個零點,故減少了分類討論的情況,優(yōu)化了解題過程.

      綜上所述,二次方程實根分布的理論,雖然直觀易懂,但在解決高考問題中的作用卻不可低估.它不但可以使相關(guān)問題的求解直觀簡潔,富有新意,而且對于培養(yǎng)學(xué)生運用函數(shù)與方程以及數(shù)形結(jié)合等思想方法解題的意識大有裨益.因此,在教學(xué)中,要注意引導(dǎo)學(xué)生重視對教材習(xí)題的探究、歸納、總結(jié),進而提升學(xué)生對問題的分析、求解能力.

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