5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)能力的干預(yù)研究

白璐++許曉暉

【摘要】研究者從5～6歲兒童在0～100數(shù)字線(xiàn)上的估計(jì)能力的表現(xiàn)入手，檢驗(yàn)并比較三種干預(yù)方法對(duì)兒童數(shù)字估計(jì)能力的提升作用，以期充實(shí)國(guó)內(nèi)外關(guān)于兒童早期數(shù)字估計(jì)能力的干預(yù)方法的理論，并為幼兒園教師針對(duì)數(shù)字估計(jì)能力較低兒童制訂合適的活動(dòng)方案提供相關(guān)教育建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)字估計(jì)；估計(jì)模式；估計(jì)精度；干預(yù)訓(xùn)練

【中圖分類(lèi)號(hào)】G610 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1004-4604（2015）04-0045-08

數(shù)字估計(jì)（Numerical estimation）的加工過(guò)程，即以數(shù)字輸入并以近似的量值輸出的過(guò)程。例如，估計(jì)7×28 的值、數(shù)字50在數(shù)字線(xiàn)段中的位置、一個(gè)廣口瓶中玻璃球的數(shù)量等。世界上很多國(guó)家在關(guān)于兒童數(shù)學(xué)教育的政策文件或研究報(bào)告中頻頻提及數(shù)字估計(jì)能力。相較于西方國(guó)家，我國(guó)對(duì)兒童數(shù)字估計(jì)能力的關(guān)注和研究起步較晚，研究成果較為缺乏。

如何提高兒童的數(shù)字估計(jì)能力，促進(jìn)其數(shù)字估計(jì)模式的發(fā)展和數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確率的提高？國(guó)外已有研究主要采取三類(lèi)干預(yù)方法——數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練、數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練和數(shù)字棋游戲。本研究綜合分析了已有研究的實(shí)驗(yàn)效果，對(duì)其工具、程序進(jìn)行了修訂和完善，然后對(duì)在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中采用對(duì)數(shù)表征模式的5～6歲兒童分別實(shí)施三種干預(yù)訓(xùn)練：特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練、數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練和曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲，檢驗(yàn)并比較每種干預(yù)方法對(duì)兒童數(shù)字估計(jì)能力的提升作用，以此來(lái)判斷干預(yù)效果。基于研究結(jié)果，研究者為幼兒園教師針對(duì)數(shù)字估計(jì)能力較低的兒童制訂合適的課程活動(dòng)方案提供了相關(guān)建議。

一、實(shí)驗(yàn)1

（一）目的

考察5～6歲兒童對(duì)28個(gè)數(shù)字在25cm長(zhǎng)的0～100數(shù)字線(xiàn)上的估計(jì)表現(xiàn)，確定0～100數(shù)字估計(jì)的對(duì)數(shù)表征模式與線(xiàn)性表征模式之間的最大差異。

（二）被試

在北京市海淀區(qū)選取兩所幼兒園，各隨機(jī)整體抽取2個(gè)大班，共140名5～6歲兒童。本研究根據(jù)周廣東等人（2009）提出的“為保證得到5～6歲兒童在自然常規(guī)發(fā)展?fàn)顟B(tài)下的數(shù)字估計(jì)數(shù)據(jù)，在被試選擇方面，應(yīng)排除參加過(guò)各種數(shù)學(xué)興趣班的兒童”的觀(guān)點(diǎn)，〔1〕最終確定被試共90名，男女各半，平均年齡為5.51歲。

（三）實(shí)驗(yàn)方法

讓被試在一端為數(shù)字0，另一端為數(shù)字100的線(xiàn)段上估計(jì)出刺激數(shù)字的位置。刺激數(shù)字共有28個(gè)——3， 4， 6， 8， 12， 14， 17， 18， 21， 23， 26， 28， 31， 33， 37， 39， 42， 48， 52， 57， 61， 64， 72， 79， 81， 84， 90和96，隨機(jī)呈現(xiàn)。

（四）實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1.數(shù)字估計(jì)模式

以刺激數(shù)字的數(shù)值為自變量，以所有被試對(duì)每個(gè)刺激數(shù)字的估計(jì)中值為因變量，對(duì)其數(shù)字估計(jì)模式進(jìn)行對(duì)數(shù)和線(xiàn)性的曲線(xiàn)函數(shù)擬合，得到相應(yīng)的擬合度。所有被試的數(shù)字估計(jì)與對(duì)數(shù)函數(shù)和線(xiàn)性函數(shù)的擬合度分別為R2log=0.948，R2lin=0.878。

為進(jìn)一步考察所有被試在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中所傾向的表征模式，對(duì)由對(duì)數(shù)擬合函數(shù)和線(xiàn)性擬合函數(shù)中所得出的預(yù)測(cè)值進(jìn)行差異檢驗(yàn)，即對(duì)所有被試對(duì)每個(gè)刺激數(shù)字的估計(jì)中值與兩種函數(shù)預(yù)測(cè)值的差的絕對(duì)值（|估計(jì)中值-函數(shù)預(yù)測(cè)值|）進(jìn)行配對(duì)樣本t檢驗(yàn)。結(jié)果表明，這一年齡階段的兒童在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中所傾向的表征模式接近對(duì)數(shù)函數(shù)而非線(xiàn)性函數(shù)，t（27）=-2.258，p=0.032<0.05。詳見(jiàn)圖1。

以刺激數(shù)字的數(shù)值為自變量，以每名被試對(duì)所有刺激數(shù)字的估計(jì)值為因變量，對(duì)其數(shù)字估計(jì)模式進(jìn)行對(duì)數(shù)和線(xiàn)性的曲線(xiàn)函數(shù)擬合，得到相應(yīng)的擬合度（R2），從而確定被試在個(gè)體層面上是否都達(dá)到了群體層面上的表征模式階段。

統(tǒng)計(jì)分析表明，在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中，有18名被試的數(shù)字估計(jì)與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度高于與對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度，占被試總?cè)藬?shù)的20%。換言之，仍處于對(duì)數(shù)表征模式階段的被試占總?cè)藬?shù)的80%。

2.數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率

絕對(duì)誤差百分比（Percent absolute error， PAE）可被用以描述數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率。絕對(duì)誤差百分比=|估計(jì)值-正確值|÷被估計(jì)的數(shù)字范圍。其值越小，表示數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率越高；其值越大，表示數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率越低。在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中，所有被試數(shù)字估計(jì)的平均絕對(duì)誤差百分比為11.9%，標(biāo)準(zhǔn)差為0.026。

在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中，男孩和女孩在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中的準(zhǔn)確率處在同一水平（PAE男孩=11.8%，PAE女孩=11.9%，t（88）=-0.227，p=0.821）。詳見(jiàn)圖2。

3.0～100數(shù)字估計(jì)的對(duì)數(shù)表征和線(xiàn)性表征間的差異

由圖3可知，0～100數(shù)字估計(jì)的對(duì)數(shù)表征模式與線(xiàn)性表征模式之間的最大差異在數(shù)字16處，最大差異所在的區(qū)域?yàn)?～31。

二、實(shí)驗(yàn)2

（一）目的

基于實(shí)驗(yàn)1的測(cè)查結(jié)果，將其中在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中采用對(duì)數(shù)表征模式的5～6歲兒童隨機(jī)均分為三組，第一組接受特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練，第二組接受數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練，第三組開(kāi)展曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲，再將每一組隨機(jī)均分為實(shí)驗(yàn)組和控制組。以被試在實(shí)驗(yàn)1中0～100數(shù)字線(xiàn)上的估計(jì)表現(xiàn)為前測(cè)，干預(yù)之后以同樣的任務(wù)進(jìn)行測(cè)查，作為后測(cè)，分別檢驗(yàn)每種干預(yù)方法是否能夠顯著提高兒童的數(shù)字估計(jì)能力，同時(shí)比較三種干預(yù)方法的作用大小。

（二）被試

實(shí)驗(yàn)1中在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中采用對(duì)數(shù)表征模式的5～6歲兒童，共72名，男女各半，平均年齡為5.56歲。將被試隨機(jī)均分為三組，每組24名，男女各半，采用不同的干預(yù)方法。每組再隨機(jī)均分為實(shí)驗(yàn)組和控制組。

（三）實(shí)驗(yàn)方法

1.特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練

根據(jù)實(shí)驗(yàn)1得出的0～100數(shù)字估計(jì)的對(duì)數(shù)表征模式與線(xiàn)性表征模式之間的最大差異在區(qū)域7～31這一結(jié)論，研究者將這一區(qū)域作為刺激來(lái)源，對(duì)被試進(jìn)行這一區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)訓(xùn)練。實(shí)驗(yàn)組被試畫(huà)出位置后給予反饋，控制組被試畫(huà)出位置后不給反饋，以此引發(fā)實(shí)驗(yàn)組被試的認(rèn)知沖突，拓寬線(xiàn)性表征模式的適用情境，提高數(shù)字估計(jì)與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度和數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率。

2.數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練

對(duì)所有被估計(jì)的數(shù)字（0～100）進(jìn)行主觀(guān)分類(lèi)，讓被試獲得有關(guān)這些數(shù)字的新的信息（非常?。?～20，?。?1～40，中等：41～60，大：61～80，非常大：81～100），以此來(lái)簡(jiǎn)化估計(jì)任務(wù)，幫助被試更為準(zhǔn)確地判斷某個(gè)數(shù)字在數(shù)字線(xiàn)上的位置。主試對(duì)實(shí)驗(yàn)組被試的數(shù)字分類(lèi)正確與否給予反饋，對(duì)控制組被試的數(shù)字分類(lèi)正確與否不給反饋。

3.曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲

這是一種下棋游戲，棋盤(pán)主體為一個(gè)彎曲的“矩形”，“矩形”中均勻分割出101個(gè)大小相等，顏色按紅-藍(lán)-黃-綠-白模式排列的方格子。實(shí)驗(yàn)組被試接受曲線(xiàn)形數(shù)字棋游戲的干預(yù)，其棋盤(pán)格子內(nèi)印有數(shù)字0～100；控制組被試也接受曲線(xiàn)形顏色棋游戲的干預(yù)，但其棋盤(pán)格子內(nèi)沒(méi)有數(shù)字。在每輪游戲開(kāi)始前，主試告訴被試，他們要輪流投擲骰子，并根據(jù)骰子上標(biāo)示的數(shù)字來(lái)挪動(dòng)棋子，誰(shuí)最先達(dá)到終點(diǎn)誰(shuí)就贏(yíng)得比賽。

4.0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)（后測(cè)）

實(shí)驗(yàn)方法同前測(cè)，即實(shí)驗(yàn)1。

（四）實(shí)驗(yàn)結(jié)果

1.特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練下的5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展

（1）數(shù)字估計(jì)模式

實(shí)驗(yàn)組被試在接受有反饋的干預(yù)訓(xùn)練之后，群體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式由對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)為線(xiàn)性函數(shù)（前測(cè)：R2log=0.944，R2lin=0.871，t（27）=-2.130，p=0.042<0.05；后測(cè)：R2log=0.791，R2lin=0.966，t（27）=5.296，p<0.001）；控制組被試在接受無(wú)反饋的干預(yù)訓(xùn)練之后，群體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式也向線(xiàn)性函數(shù)轉(zhuǎn)變，但仍保留部分對(duì)數(shù)函數(shù)特征（前測(cè)：R2log=0.946，R2lin=0.863，t（27）=-2.499，p=0.019<0.05；后測(cè)：R2log=0.937，R2lin=0.887，t（27）=-1.536，p=0.136>.05）。詳見(jiàn)圖4、圖5。

在前測(cè)中，每名被試，包括實(shí)驗(yàn)組和控制組的被試，都采用對(duì)數(shù)函數(shù)表征模式，這與兩組兒童在群體層面上的表現(xiàn)相一致。

在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組被試個(gè)體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式都由對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)為線(xiàn)性，與群體層面上的表現(xiàn)相一致；控制組被試個(gè)體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式仍停留在對(duì)數(shù)階段，但其中每名被試的數(shù)字估計(jì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度都有所下降，而與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度都有所上升，所以在群體層面上出現(xiàn)數(shù)字估計(jì)的表征模式在向線(xiàn)性轉(zhuǎn)變，但仍保留部分對(duì)數(shù)特征。

（2）數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率

在前測(cè)中，兩組被試的準(zhǔn)確率處在同一水平（PAE實(shí)驗(yàn)組=13.1%，PAE控制組=13.1%，t（22）=0.074，p=0.941）。在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組被試準(zhǔn)確率水平較前測(cè)有明顯提升（PAE前測(cè)=13.1%，PAE后測(cè)=5.2%，t（14）=26.948，p<0.001）；控制組被試準(zhǔn)確率仍與前測(cè)水平相當(dāng)（PAE前測(cè)=13.1%，PAE后測(cè)=12.7%，t（22）=2.387，p=0.226）；實(shí)驗(yàn)組被試在后測(cè)中的準(zhǔn)確率水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)控制組被試（PAE實(shí)驗(yàn)組=5.2%，PAE控制組=12.7%，t（22）=-24.246，p<0.001）。

可見(jiàn)，特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練能夠有效提升5～6歲兒童的0～100數(shù)字估計(jì)與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度，降低其與對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度；同時(shí)能夠降低數(shù)字估計(jì)的絕對(duì)誤差百分比，即提升數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率。

2.數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練下的5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展

（1）數(shù)字估計(jì)模式

實(shí)驗(yàn)組被試群體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式由對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)為線(xiàn)性函數(shù)（前測(cè)：R2log=0.944，R2lin=0.859，t（27）=-2.320，p=0.028<0.05；后測(cè)：R2log=0.822，R2lin=0.971，t（27）=6.058，p<0.001）；控制組被試群體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式仍擬合對(duì)數(shù)函數(shù)（前測(cè)：R2log=0.949，R2lin=0.876，t（27）=-2.339，p=0.027<0.05；后測(cè)：R2log=0.944，R2lin=0.880，t（27）=-2.207，p=0.036<0.05）。詳見(jiàn)圖6、圖7。

在前測(cè)中，每名被試，包括實(shí)驗(yàn)組和控制組被試，都采用對(duì)數(shù)函數(shù)表征模式，這與兩組兒童在群體層面上的表現(xiàn)相一致。

在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組被試個(gè)體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式都由對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)為線(xiàn)性，與群體層面上的表現(xiàn)相一致；控制組被試個(gè)體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式仍停留于對(duì)數(shù)階段，與群體層面上的表現(xiàn)相一致。

（2）數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率

在前測(cè)中，兩組被試的準(zhǔn)確率處在同一水平（PAE實(shí)驗(yàn)組=13.1%，PAE控制組=13.1%，t（22）=0.167，p=0.869）。在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組被試準(zhǔn)確率水平較前測(cè)有明顯提升（PAE前測(cè)=13.1%，PAE后測(cè)=5.2%，t（22）=37.071，p<0.001）；控制組被試準(zhǔn)確率仍與前測(cè)水平相當(dāng)（PAE前測(cè)=13.1%，PAE后測(cè)=12.9%，t（22）=1.168，p=0.255）；實(shí)驗(yàn)組被試在后測(cè)中的準(zhǔn)確率水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)控制組被試（PAE實(shí)驗(yàn)組=5.2%，PAE控制組=12.9%，t（22）=-42.275，p<0.001）。

可見(jiàn)，數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練能夠明顯促進(jìn)5～6歲兒童在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中擬合線(xiàn)性函數(shù)，而非對(duì)數(shù)函數(shù)；同時(shí)能夠明顯改善其數(shù)字估計(jì)的絕對(duì)誤差百分比，即提升數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率。

3.曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲下的5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展

（1）數(shù)字估計(jì)模式

實(shí)驗(yàn)組被試在接受曲線(xiàn)形數(shù)字棋游戲的干預(yù)訓(xùn)練之后，群體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式由對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)為線(xiàn)性函數(shù)（前測(cè)：R2log=0.947，R2lin=0.872，t（27）=-2.377，p=0.025<0.05；后測(cè)：R2log=0.788，R2lin=0.944，t（27）=3.974，p<0.001）；控制組被試在接受曲線(xiàn)形顏色棋游戲的干預(yù)訓(xùn)練之后，群體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式也在向線(xiàn)性函數(shù)轉(zhuǎn)變，但仍保留部分對(duì)數(shù)函數(shù)特征（前測(cè)：R2log=0.947，R2lin=0.868，t（27）=-2.220，p=.035<0.05；后測(cè)：R2log=0.941，R2lin=0.867，t（27）=-2.005，p=0.055>0.05）。見(jiàn)圖8、圖9。

在前測(cè)中，每名被試，包括實(shí)驗(yàn)組和控制組被試，都采用對(duì)數(shù)函數(shù)表征模式，這與兩組兒童在群體層面上的表現(xiàn)相一致。

在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組被試個(gè)體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式都由對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)為線(xiàn)性，與群體層面上的表現(xiàn)相一致；控制組被試個(gè)體層面上數(shù)字估計(jì)的表征模式仍停留于對(duì)數(shù)階段，但其中的每名被試的數(shù)字估計(jì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度都有所下降，而與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度都有所上升，所以在群體層面上出現(xiàn)數(shù)字估計(jì)的表征模式在向線(xiàn)性轉(zhuǎn)變，但仍保留部分對(duì)數(shù)特征。

（2）數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率

在前測(cè)中，兩組被試的準(zhǔn)確率處在同一水平（PAE實(shí)驗(yàn)組=13.1%，PAE控制組=13.1%，t（22）=-0.054，p=0.941）。在后測(cè)中，實(shí)驗(yàn)組被試準(zhǔn)確率水平較前測(cè)有明顯提升（PAE前測(cè)=13.1%，PAE后測(cè)=6.9%，t（22）=25.994，p<0.001）；控制組被試準(zhǔn)確率仍與前測(cè)水平相當(dāng)（PAE前測(cè)=13.1%，PAE后測(cè)=12.8%，t（15）=1.647，p=0.120）；實(shí)驗(yàn)組被試在后測(cè)中的準(zhǔn)確率水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)控制組被試（PAE實(shí)驗(yàn)組=6.9%，PAE控制組=12.8%，t（14）=-31.049，p=0.002<.01）。

可見(jiàn)，曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲能夠促使5～6歲兒童在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)（后測(cè)）中與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前測(cè)，與對(duì)數(shù)函數(shù)的擬合度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于前測(cè)；能夠促使其數(shù)字估計(jì)的絕對(duì)誤差百分比遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于前測(cè)，也就是提升了數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確率。

4.三種干預(yù)方法下5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)能力發(fā)展的比較結(jié)果

比較三種干預(yù)方法下實(shí)驗(yàn)組被試在前后測(cè)中數(shù)字估計(jì)模式和數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確率的變化情況，以判斷三種干預(yù)方法的作用。

（1）數(shù)字估計(jì)模式

接受特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練或數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)組被試與接受曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲的實(shí)驗(yàn)組被試相比，其在后測(cè)中所傾向的表征模式較前測(cè)都由對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)向線(xiàn)性函數(shù)；而接受特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)組被試和接受數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)組被試，其后測(cè)中所傾向的表征模式較前測(cè)由對(duì)數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)向線(xiàn)性函數(shù)的程度相當(dāng)。

（2）數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率

接受特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練或數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)組被試與接受曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲的實(shí)驗(yàn)組被試相比，其后測(cè)的準(zhǔn)確率水平較前測(cè)都有更為大幅度的提升；而接受特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)組被試和接受數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)組被試，其后測(cè)的準(zhǔn)確率水平較前測(cè)的提升幅度相當(dāng)。

綜合數(shù)字估計(jì)模式和數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率兩個(gè)變量，相較于曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲，特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練和數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練在提高5～6歲兒童的數(shù)字估計(jì)能力方面作用顯著，而且這兩種干預(yù)方法之間不存在差異。

三、討論

（一）5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)模式和數(shù)字估計(jì)準(zhǔn)確率的發(fā)展特點(diǎn)

本研究中，從群體層面上來(lái)說(shuō)，5～6歲兒童在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中所傾向的表征模式比較接近對(duì)數(shù)函數(shù)而偏離線(xiàn)性函數(shù)；從個(gè)體層面上來(lái)說(shuō)，5～6歲兒童在0～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)中已能采用線(xiàn)性表征模式的人數(shù)比例為20%，仍處于對(duì)數(shù)表征模式階段的人數(shù)比例為80%。這與被試的平均年齡偏低有關(guān)，也與排除了參加過(guò)各種數(shù)學(xué)興趣班的兒童有關(guān)。

（二）三種干預(yù)方法的實(shí)驗(yàn)效果

1.特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練

這種訓(xùn)練使得兒童在仍要采用對(duì)數(shù)表征模式的數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)與已能采用線(xiàn)性表征模式的數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)之間發(fā)生了類(lèi)比遷移（Nalogical transfer）?！?〕以對(duì)數(shù)表征模式與線(xiàn)性表征模式之間的最大差異所在區(qū)域?yàn)榇碳?lái)源，對(duì)兒童進(jìn)行估計(jì)訓(xùn)練，并給予反饋，引發(fā)了其認(rèn)知沖突，有效拓寬了兒童的線(xiàn)性表征模式適用情境，提高了兒童的數(shù)字估計(jì)與線(xiàn)性函數(shù)的擬合度和數(shù)字估計(jì)的準(zhǔn)確率。

2.數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練

數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)效果說(shuō)明對(duì)兒童數(shù)字分類(lèi)的反饋不僅會(huì)提高他們?cè)跀?shù)字分類(lèi)方面的水平，而且會(huì)提高他們?cè)谄渌麛?shù)字認(rèn)知方面的水平。經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，5～6歲兒童所獲得的數(shù)字分類(lèi)經(jīng)驗(yàn)——把0～100的數(shù)字等分為五組，明確感知到了五組數(shù)字在數(shù)量大小上的差異——使得他們?cè)?～100數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)（后測(cè)）中所傾向的表征模式更接近線(xiàn)性函數(shù)。

3.曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲

曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲提高了兒童數(shù)數(shù)和識(shí)數(shù)的水平，提高了兒童對(duì)數(shù)字順序和數(shù)量大小的認(rèn)知能力。兒童挪動(dòng)棋子所走的格子數(shù)字越大，其感知到的距離就越長(zhǎng)，說(shuō)出格子上所標(biāo)示的數(shù)字就越多，聽(tīng)到的數(shù)字也越多。這些視覺(jué)空間上的、肌肉運(yùn)動(dòng)知覺(jué)上的和聽(tīng)覺(jué)上所收到的數(shù)數(shù)和識(shí)數(shù)的信號(hào)為兒童認(rèn)知數(shù)字順序和數(shù)量大小提供了豐富的刺激。兒童由此獲得了早期中心數(shù)概念結(jié)構(gòu)，〔3，4〕形成了更為高級(jí)和成熟的線(xiàn)性表征模式。

（三）三種干預(yù)方法的實(shí)驗(yàn)效果比較分析

為什么曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲的干預(yù)效果不如特殊區(qū)域內(nèi)的數(shù)字估計(jì)反饋訓(xùn)練和數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練？原因有二。一是后兩種方法都對(duì)0～100內(nèi)不同數(shù)字所代表的數(shù)量之間的大小關(guān)系有明確的界定。曲線(xiàn)形數(shù)字/顏色棋游戲雖也是針對(duì)0～100內(nèi)所有數(shù)字進(jìn)行的訓(xùn)練，讓被試對(duì)每一數(shù)字所代表的數(shù)量大小有所感知，但這并不等于界定了不同數(shù)字所代表的數(shù)量之間的大小關(guān)系。二是兒童在數(shù)字呈曲線(xiàn)形排列的棋盤(pán)上所獲得的每一個(gè)數(shù)字所占的位置大小以及兩兩數(shù)字間的距離都相等的經(jīng)驗(yàn)，因棋盤(pán)形狀與數(shù)字線(xiàn)的線(xiàn)形形狀不符（棋盤(pán)上的數(shù)字呈曲線(xiàn)形排列、數(shù)字線(xiàn)上的數(shù)字呈直線(xiàn)形排列），而在遷移過(guò)程中產(chǎn)生了一定的理解難度。

四、教育建議

第一，雖然已有研究表明，我國(guó)兒童在數(shù)學(xué)各方面能力的發(fā)展整體上要優(yōu)于許多西方發(fā)達(dá)國(guó)家的兒童，但單就數(shù)字估計(jì)能力而言，我國(guó)5～6歲兒童數(shù)字估計(jì)的線(xiàn)性表征模式適用情境還有一定的擴(kuò)展空間。因此，在學(xué)前教育中，加強(qiáng)對(duì)我國(guó)5～6歲兒童的數(shù)字干預(yù)訓(xùn)練、提高他們的數(shù)字估計(jì)能力，進(jìn)而促進(jìn)其數(shù)學(xué)各方面能力的發(fā)展，是十分必要的。若以數(shù)字線(xiàn)估計(jì)任務(wù)來(lái)衡量?jī)和臄?shù)字估計(jì)能力，那么使其數(shù)字估計(jì)更為擬合線(xiàn)性函數(shù)是提高其數(shù)字估計(jì)能力的關(guān)鍵。

第二，創(chuàng)設(shè)故事或游戲背景，讓兒童在玩中學(xué)，有利于其對(duì)數(shù)字知識(shí)的掌握。比如，數(shù)字分類(lèi)訓(xùn)練可以以“熊媽媽給熊寶寶分硬幣”的游戲進(jìn)行。游戲方案可以設(shè)計(jì)為：熊媽媽有5個(gè)熊寶寶，他們中有一個(gè)個(gè)頭很小很小，有一個(gè)個(gè)頭比較小，但比前一個(gè)大些，還有一個(gè)個(gè)頭中等，還有一個(gè)個(gè)頭比較大，最后一個(gè)個(gè)頭很大很大。熊寶寶只要幫熊媽媽打掃房間，就會(huì)得到0～100個(gè)硬幣作為獎(jiǎng)勵(lì)。為公平起見(jiàn)，每次熊媽媽是按照熊寶寶的個(gè)頭來(lái)發(fā)硬幣的：最小的熊寶寶能得到10個(gè)硬幣；小一些的熊寶寶能得到30個(gè)硬幣，這個(gè)硬幣數(shù)比前一個(gè)要多一些；個(gè)頭中等的熊寶寶能得到50個(gè)硬幣，這個(gè)硬幣數(shù)是中等的；稍大的熊寶寶能得到70個(gè)硬幣，這個(gè)硬幣數(shù)就比較大了；最大的熊寶寶能得到90個(gè)硬幣，這個(gè)硬幣數(shù)是最大的。在游戲中，可請(qǐng)兒童幫助熊媽媽給每個(gè)熊寶寶分硬幣，例如，給兒童一些數(shù)字卡片，卡片上的數(shù)字代表要給熊寶寶的硬幣數(shù)，請(qǐng)兒童把每張卡片正確地放到熊寶寶的盒子里。

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