高中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題

（河北省懷安縣柴溝堡第一中學(xué)076150）

高中函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題

王麗云

（河北省懷安縣柴溝堡第一中學(xué)076150）

在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)中，對(duì)教材分析、函數(shù)的性質(zhì)，其著重點(diǎn)是單調(diào)性、奇偶性、周期性，而在考試測(cè)驗(yàn)中，把高考中的函數(shù)對(duì)稱(chēng)性、連續(xù)性、凹凸性也進(jìn)行了考查。主要研究了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以及對(duì)稱(chēng)軸的選擇。本文結(jié)合實(shí)踐從以下幾個(gè)方面闡述一下如何提高解決高中階段函數(shù)對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題的措施。

高中數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用

一、對(duì)稱(chēng)性的定義

（一）對(duì)稱(chēng)性的定義

1.函數(shù)軸對(duì)稱(chēng)。對(duì)于函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)，我們通常的教法就是讓學(xué)生找到一條可以將圖像完全對(duì)折的直線，這個(gè)圖像就是軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，而這條直線就是這個(gè)函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸。

2.中心對(duì)稱(chēng)。對(duì)于一個(gè)函數(shù)的圖像，若以一個(gè)點(diǎn)為中心去旋轉(zhuǎn)，即180度角。在這樣的情況下得到了一個(gè)圖像，把這個(gè)圖像和原函數(shù)的圖去比較，若重合在一起。那么，它就是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，我們把這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心。

（二）函數(shù)對(duì)稱(chēng)性條件

根據(jù)定理1：若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，則其充要條件是f（x）+f（－x）= 0，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。

而定理2：若函數(shù)y=f（x，其）圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則其充要條件是f（x）=f（－x），那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。

對(duì)于定理3：若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則充要條件是f（a+x）=f（ax）即f（x）=f（2a－x）

而定理4：若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱(chēng)，則其充要條件是f（a+x）=－f（ax）即f（x）=－f（2a－x）

所以，根據(jù)以上推理可以得到結(jié)論，即若函數(shù)y=f（x），其圖像是關(guān)于點(diǎn)A（a,b）對(duì)稱(chēng)，則其充要條件是f（a+x）－b=－[f（a－x）－b]，證明其成立的過(guò)程如下：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P（x,y）是關(guān)于點(diǎn)A（a,b）的對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P′（2a－x，2b－y）是在y=f（x）圖像上的點(diǎn)，所以，2b－y=f（2a－x），即y+f（2a－x）=2b，所以，f（x）+f（2a－x）=2b；而設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y=f（x）圖像上任一點(diǎn)，那么，y0=f（x0），因?yàn)閒（x）+f（2a－x）=2b，所以f（x0）+f（2a－x0）=2b，即2b－y0=f（2a－x0）。所以，點(diǎn)P′（2a－x0，2b－y0）也是y=f（x）圖像上的一點(diǎn)，而對(duì)于點(diǎn)P是關(guān)于點(diǎn)A（a,b）對(duì)稱(chēng)與點(diǎn)P。

（三）常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

我們比較常見(jiàn)的函數(shù)，存在對(duì)稱(chēng)性的有以下幾種。

1.常數(shù)函數(shù)。對(duì)于這種函數(shù)，其屬于軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)，在其直線上的任何一點(diǎn)都是它的對(duì)稱(chēng)的中心，而把垂直于這個(gè)直線的直線叫做它的對(duì)稱(chēng)軸。

2.一次函數(shù)。對(duì)于這類(lèi)函數(shù)，也是軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)，在直線上的任何一點(diǎn)都是它對(duì)稱(chēng)的中心，而垂直與這個(gè)直線的直線都叫做它的對(duì)稱(chēng)軸。

3.二次函數(shù)。對(duì)于這個(gè)函數(shù)，屬于軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)，不屬于中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則其函數(shù)方程是x=－b/（2a）。

4.反比例函數(shù)，對(duì)于這個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，其屬于軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)，把原點(diǎn)作為其對(duì)稱(chēng)的中心，即y=x；y=－x都是它的對(duì)稱(chēng)軸。

5.指數(shù)函數(shù)。對(duì)于這個(gè)函數(shù)，其不屬于軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)，也不屬于中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)。

6.對(duì)數(shù)函數(shù)。這個(gè)函數(shù)不屬于軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)函數(shù)。

7.冪函數(shù)。在冪函數(shù)中，往往奇函數(shù)屬于中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，而對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)的點(diǎn)；在冪函數(shù)中，其偶函數(shù)為軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，則對(duì)稱(chēng)軸為y軸；對(duì)于其他的冪函數(shù)，往往不是對(duì)稱(chēng)性的函數(shù)。

另外，還有正弦函數(shù)、正弦型函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、對(duì)號(hào)函數(shù)、對(duì)號(hào)函數(shù)，以及三次函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)就不再一一敘述。

二、函數(shù)對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用舉例

例1.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f (x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=（？）

(A)0.5、(B)－0.5、(C)1.5、(D)－1.5

解：因?yàn)閥=f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以點(diǎn)（0，0）為一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；又因?yàn)閒(x+2) =－f(x)=f(－x)，則f(1+x)=f(1－x)，所以，對(duì)于直線x=1為y=f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，所以，y=f(x)為周期函數(shù)，其周期是2。

所以，f（7.5)=f（8－0.5）=f（－0.5）=－f（0.5）=－0.5，則選(B)。

所以，對(duì)于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的考查，大部分和函數(shù)的周期性有關(guān)，只要學(xué)會(huì)了基本的、對(duì)稱(chēng)性的知識(shí)點(diǎn)，或者周期性的概念就可以解決這些有關(guān)的問(wèn)題。

例2，已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(－4)+f(－3) +f(－2)+f(－1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，往往我們需要考慮的是其中兩個(gè)自變量，即把其求和為0，看看這個(gè)函數(shù)值是不是一個(gè)定值，通過(guò)驗(yàn)證就知道結(jié)果。但是，在這里，存在一些隱含的條件，即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。所以，我認(rèn)為，首先去“配對(duì)”，按照對(duì)稱(chēng)性來(lái)說(shuō)，往往考查的就是在函數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系。

例3，如果函數(shù)y=f(x)，滿足f(x+3)=f(2－x)和f(4+x)=f(5－x)，求該函數(shù)的最小正周期。

解：因?yàn)閒(x+3)=f(2－x)=f(4+(－2－x)=f(5－(－2－x))=f(7+x)，所以，這個(gè)函數(shù)的周期是4。

所以，我認(rèn)為，若把兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性的圖合在一起，那么，在其中的符號(hào)就化為同號(hào)，這樣就可以得到其周期性。

例4，如果函數(shù)y=3sin(2x+θ+π/4)，其中：0＜θ＜π，這個(gè)是奇函數(shù)，求θ的值。

解：因?yàn)?x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以，θ+ π/4=kπ，按照要求的范圍來(lái)分析，即θ=3π/4。

所以，我任為：對(duì)于所有的三角函數(shù)，其奇偶性就等同于對(duì)稱(chēng)性來(lái)分析，解題時(shí)，首要把所有的對(duì)稱(chēng)軸求出來(lái)，然后，把y軸作為一條對(duì)稱(chēng)軸，或者是把全部的對(duì)稱(chēng)中心找出來(lái)，則原點(diǎn)也是一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

例5，求函數(shù)f(x)=e^(x+1)與函數(shù)g(x)=ln(x+ 1)的對(duì)稱(chēng)軸方程。

解：因?yàn)閒(x)=e^x和g(x)=lnx是相互的反函數(shù)，則是關(guān)于y=x而對(duì)稱(chēng)的，對(duì)于f(x)=e^(x+ 1)，是把f(x)=e^x按照要求向左移動(dòng)了一個(gè)單位的，則g(x)=ln(x+1)是通過(guò)函數(shù)g(x)=lnx向左移動(dòng)一個(gè)單位后的函數(shù)，所以，其對(duì)稱(chēng)軸隨著向左移動(dòng)了一個(gè)單位，則y=x+1。

例6，如果y=asinx+bcosx關(guān)于x=π/4對(duì)稱(chēng)，求直線ax+by+3=0的直線的斜率。

解：根據(jù)題意可知，其是關(guān)于x=π/4而對(duì)稱(chēng)的，則f(0)=f(π/2)，把這個(gè)函數(shù)代入，則可以求出a與b之間的關(guān)系。

所以，對(duì)于對(duì)稱(chēng)性，往往就是關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸的問(wèn)題，而在對(duì)稱(chēng)中的兩個(gè)自變量，其函數(shù)值存在緊密的關(guān)系。

總而言之，函數(shù)貫穿于高中數(shù)學(xué)，通過(guò)用函數(shù)來(lái)解決高中數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，這是高中數(shù)學(xué)核心所在，而函數(shù)的基本性質(zhì)，在高考中占有一定的分值，這是一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)。所以，我們要求學(xué)生學(xué)會(huì)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生解決函數(shù)問(wèn)題來(lái)說(shuō)很有意義。

[1]趙贊民.構(gòu)建內(nèi)涵豐厚的高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].教育教學(xué)論壇，2010（4）.

[2]鄭金才.高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接設(shè)計(jì)[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2010（14）.

[3]李敏.多媒體在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．中國(guó)教育技術(shù)裝備，2010（28）.

[4]張麗,付慶龍.如何有效實(shí)施高中數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2010（7）.

（責(zé)編 張景賢）