備課札記晶體及其計算研究

阮利慶

一、晶體結(jié)構(gòu)的特性

晶體是由微粒在三維空間中按照一定的規(guī)律和周期重復(fù)排列形成的固體物質(zhì)。晶胞是晶體的基本單位。晶體內(nèi)部的微粒（包括原子、分子、離子）按照一定的規(guī)律排列，這樣規(guī)律排列出的一個基本單位叫做晶胞，晶胞重復(fù)出現(xiàn)形成晶體，因此晶體才具有外形規(guī)則的特性。

晶體結(jié)構(gòu)的特點有兩點：一是晶體內(nèi)部的晶格點排列規(guī)律，形成晶胞。二是晶胞重復(fù)出現(xiàn)，形成晶體，因此晶體具有周期性。因此，利用數(shù)學(xué)模型作為工具，可以更好地理解晶體結(jié)構(gòu)和計算晶體與微粒的量化關(guān)系。

二、利用化學(xué)知識和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行計算

晶體由相同的晶胞以幾何方式堆砌而成，因此晶體的計算重點在于對晶胞的理解和研究。熟練運用數(shù)學(xué)中的空間幾何模型可以便于理解晶胞結(jié)構(gòu)從而進(jìn)行計算。

以數(shù)學(xué)中的平行六面體為基礎(chǔ)，對于晶胞中的微粒，根據(jù)其分布位置可以分為四類：分布在六面體八個頂點的微粒；分布在六面體12條棱上的微粒；分布在六面體6個面上的微粒；分布在六面體內(nèi)部的微粒。因此有以下的計數(shù)規(guī)則：

1.分布在六面體8個頂點的微粒，每個微粒被8個晶胞共用，因此對于每個晶胞有1/8的貢獻(xiàn)，在計數(shù)時每個微粒記為1/8；

2.分布在六面體12條棱上的微粒，每個微粒被4個晶胞共用，因此對于每個晶胞有1/4的貢獻(xiàn)，在計數(shù)時每個微粒記為1/4；

3.分布在六面體6個面上的微粒，每個微粒被2個晶胞共用，因此對于每個晶胞有1/2的貢獻(xiàn)，在計數(shù)事每個微粒記為1/2；

4.分布在六面體內(nèi)部的微粒，對該晶胞的貢獻(xiàn)為1，在計數(shù)時每個微粒記為1。

了解以上的規(guī)則，加上數(shù)學(xué)中空間立體幾何的知識，晶體的計算就較為簡單了，以下為最基礎(chǔ)的兩條計算思路：

1. 已知微粒在晶胞中的排列規(guī)律時，利用空間立體幾何知識，將晶胞重復(fù)堆砌，可以將晶胞邊緣的微粒補充完整，從而構(gòu)建出相對完整的結(jié)構(gòu)，便于解題。

2. 已知微粒在晶體中的排列規(guī)律時， 先根據(jù)該規(guī)律構(gòu)建出一個較為完整的晶體，再觀察確定其中的晶胞結(jié)構(gòu)，通過上述的計數(shù)規(guī)則進(jìn)行計算。

三、問題類型

根據(jù)以上兩條思路，便可解決以下一些與晶體有關(guān)的計算問題。

類型一：晶體中與某質(zhì)點距離最近的微粒數(shù)的計算

由已知的晶體或晶胞的排列規(guī)律，在空間中構(gòu)建出微粒的分布情況，從而通過立體幾何知識，運用角度、距離、和空間直角坐標(biāo)系等已知條件和工具求解。此類問題較為簡單，只要對晶體結(jié)構(gòu)有一定的了解，并且具有將晶胞重復(fù)堆砌以補充出完整微粒的思路，運用一些簡單的立體幾何知識便可求解。

類型二：晶胞中微?？倲?shù)的計算

整體思路與第一類問題類似，此類問題求解過程中也需要擁有將晶胞重復(fù)堆砌以補充出完整微粒和較為完整的晶體結(jié)構(gòu)的意識。通過空間想象力構(gòu)建出較為完整的晶體結(jié)構(gòu)，再運用上文提到的微粒計數(shù)規(guī)則，即一個微粒被a個晶胞所共用，則該微粒在一個晶胞中的微粒數(shù)記為1/a，若該晶胞中有b個此類型的微粒，則該晶胞中此類型的微粒數(shù)為b/a，最后將四個類型的微粒數(shù)相加，總和即為該晶胞中微粒的總數(shù)。該總數(shù)未必是一個整數(shù)。根據(jù)此思路，還可以確定該晶體的化學(xué)式。

類型三：晶體化學(xué)式的確定

此類問題也是晶體計算問題中的一個大類，在“問題類型二”的基礎(chǔ)上求解。解決此類問題首先要確定該晶體中的元素種類，以“類型二”中的思路求出每個晶胞中各元素的微粒總數(shù)，則一個晶胞中各元素微?？倲?shù)的數(shù)量比即為該晶體中對應(yīng)元素的比例，再依據(jù)基礎(chǔ)的化學(xué)知識即可寫出該晶體的化學(xué)式。

晶體知識將化學(xué)與數(shù)學(xué)兩門學(xué)科緊密地結(jié)合在一起，真正實現(xiàn)了學(xué)科的交叉，加上其中需要運用到的空間想象力、邏輯推斷和觀察能力，需要學(xué)生的綜合能力，因此晶體的計算問題既是教學(xué)中的重點也是難點。

（收稿日期：2014-11-15）