基于隨機微分博弈的負債型保險公司最優(yōu)投資策略

王麗霞，李雙東

（安徽大學江淮學院，安徽合肥 230601）

基于隨機微分博弈的負債型保險公司最優(yōu)投資策略

王麗霞，李雙東

（安徽大學江淮學院，安徽合肥 230601）

在不確定的市場環(huán)境下，運用微分博弈理論，建立了帶有負債的保險公司與市場的二人零和隨機微分博弈風險模型。假定負債過程服從帶漂移的布朗運動且與股票價格存在相關性，且保險公司以終值財富期望效用最大化為目標，研究保險公司的投資組合優(yōu)化問題。應用線性-二次控制方法，在指數(shù)效用下，給出保險公司的最優(yōu)投資策略，市場策略，以及最優(yōu)策略下終值財富的值函數(shù)。

負債；隨機微分博弈；線性-二次控制；指數(shù)效用

一、引言

現(xiàn)實投資環(huán)境下，任何投資個體或投資機構都有可能面臨負債，因此研究負債情形下的投資組合問題是風險管理中的重要問題。Xie①Xie S,Li Z，Wang S，“Continuous-time portfolio selection with liability:mean-variance model and stochastic LQ approach”，Insurance:Mathematics and Econom ics,Vol.2，No.3，2008，pp.943-953。研究了負債與股票價格服從不同的布朗運動的情形下均值-方差模型，得到了最優(yōu)投資策略的顯示表達式。榮喜民②常浩,榮喜民：《負債情形下效用投資組合選擇的最優(yōu)控制》，《應用概率統(tǒng)計》2012年第5期，第57-470頁。運用隨機控制理論通過求解相應的HJB方程給出了負債情形下投資者的最優(yōu)投資策略的表達式。楊鵬③楊鵬,林祥：《隨機微分博弈下的資產(chǎn)負債管理》，《中山大學學報》2013年第6期，第30-33頁。研究了負債情形下投資者與市場的隨機微分博弈，基于效用最大化原則，求解了最優(yōu)投資組合策略和市場策略。實際上，多數(shù)保險公司也帶有負債，李嬋娟④李嬋娟,李仲飛,曾燕：《帶外生負債的保險公司最優(yōu)再保險——投資策略》，《中山大學學報》（自然科學版）2012年第1期，第1-8頁。研究了外生負債影響下保險公司的最優(yōu)再保險-投資策略,運用隨機動態(tài)規(guī)劃方法,得到保險公司分別在能否獲取新業(yè)務,兩種情形下的最優(yōu)再保險-投資策略以及最優(yōu)值函數(shù)的解析式。張靜⑤張靜,汪飛星,陳艷萍：《基于風險收益的帶負債的再保險——投資策略》，《濟南大學學報》(自然科學版)2013年第4期，第15頁。則利用變分原理,在一定水平的風險收益下得到保險公司的最優(yōu)策略以及有效邊界。

多數(shù)學者對最優(yōu)投資的研究從投資者的角度出發(fā)，而未考慮到市場對投資者的影響。實際上，投資者的決策會隨著市場的改變而發(fā)生變化。因此，將市場的不確定性因素考慮進來，從投資者和市場兩個方面出發(fā)，所得模型將更符合實際，這就將問題轉化成了隨機微分博弈。近年來，很多學者對此作了研究。Browne⑥Browne S，“Stochastic differential portfolio games”，JAppl Probab.Vol.37，No.1，2000,pp.126-147.利用隨機微分博弈方法研究了最優(yōu)投資問題，Korn⑦Korn R,Steffensen M，“On worst-case portfolio optimization”，SIAMJ Control Optim，Vol.46，No.6，2007, pp.2013-2030.研究了微分博弈中"最壞情形"下的組合優(yōu)化問題，即投資者選擇投資組合和他的對手，市場選擇最壞情形。Elliott⑧Elliott RJ,Siu TK，“Robust optimal portfolio choice under Markovian Regime-switching Model”，Methodol Comput Appl Probab，No.11，2009,pp.145-157.研究了連續(xù)時間馬爾科夫市場中的最優(yōu)投資組合選擇問題，在投資者面臨不確定性情形下尋求最優(yōu)投資組合策略。隨著微分博弈思想在金融領域發(fā)揮的作用越來越大，一些學者開始將該思想運用到保險領域，Korn①Korn R，“Worst-case scenario investment for insurers”，Insur Math Econom,No.36，2005,pp.1-11在保險公司面臨市場最壞情形下，建立擴散型風險，研究模型組合優(yōu)化問題。Zhang②Zhang X,Siu TK，“Optimal investment and reinsurance of an insurer with model uncertainty”，Insur Math Econ，No.45，2009,pp.81-88.基于隨機微分博弈思想探討最優(yōu)投資及再保險保險策略。Taksar③Taksar M,Zeng XD，“Optimal non-proportional reinsurance control and stochastic differential games”，Insur Math Econ，No.48，2011,pp.64-71.在保險公司以非比例再保險形式分保的情況下建立復合泊松風險模型的擴散逼近模型。Lin④Lin X,Zhang C,Siu T K，“Stochastic differential portfolio games for an insurer in a jump-diffusion risk process”，Mathematical Methods ofOperations Research,Vol.75，No.1，2012,pp.83-100.運用線性二次控制方法基于微分博弈思想研究了跳擴散風險模型及其擴散逼近下保險公司的投資組合策略。

以上文獻在運用微分博弈思想研究研究保險公司的投資策略的同時，并未考慮保險公司的負債，負債作為大多數(shù)金融機構面臨的實際情況，對保險公司的投資決策起著重要的影響。因此，本文在Lin⑤同④。的基礎上考慮保險公司帶有負債，建立在負債情形下，保險公司與市場之間二人零和隨機微分博弈問題，以最大化終值財富期望效用為準則，利用線性二次控制方法，在指數(shù)效用下分析保險公司的最優(yōu)投資策略，和作為保險博弈的對手的市場的策略。

二、模型建立

假設保險公司的平均索賠及索賠波動率分別為α，β，滿足α>0，β>0且均為常數(shù)，常數(shù)v（>0）為保險公司的安全負載，故盈余過程滿足如下微分方程

假設投資者初始時刻t=0的財富為w（w>0），負債為l（l∈R），則投資者在初始時刻的財富凈值x0=w-l>0。記L（t）為到達t時刻的累計負債，滿足

其中c（t），d1（t），d2（t）均為t的確定函數(shù)，d1（t）表示由于保險公司保費及索賠的不確定性引起的負債波動率，d2（t）表示由于風險資產(chǎn)價格的波動引起的負債波動率。

假設保險公司將自己的資產(chǎn)進行投資，且在金融市場中有兩種金融資產(chǎn)：

（1）無風險資產(chǎn)（銀行賬戶），其價格演化方程為

其中r0>0表示無風險利率；

（2）風險資產(chǎn)，其價格演化方程為

上式中r>r0，σ>0為常數(shù)。

設在t時刻保險公司投資于風險資產(chǎn)的投資額為π（t），則無風險資產(chǎn)的投資金額為X（π，t）-π（t），其中X（π，t）為投資策略為π（t）下的盈余過程，結合(2.2)及(2.3)式，盈余過程X（h，t）滿足如下隨機微分方程

定義：若π（t）是Ft自適應的，對每個t∈[0，T]滿足，且隨機微分方程(2.4)對策略π有唯一強解，則稱之為可行策略。

記所有可行策略的集合為Π。

三、問題形成

本文假設保險公司以最大化終值財富期望效用為經(jīng)營目標，而市場通過選擇適當?shù)母怕蕼y度最小化終值財富期望效用，以下引入市場控制的概率測度集，假設Ft可測的隨機過程{θ（t），t∈（0，T）}滿足，記滿足上述條件的θ（t）的全體集合為，對于每個θ（t），t∈（0，T），定義{Zθ（t），t∈（0，T）}如下

假設{θ（t），t∈（0，T）}幾乎處處有界，Zθ（0）=Z0（0

假設u：R→R為一個效用函數(shù)，滿足u'>0,u"< 0（u是一個嚴格凸函數(shù)）。對每個策略π（t），定義保險公司的終值財富在Pθ下的期望效用函數(shù)為

其中Eθ是概率測度Pθ下的數(shù)學期望。

保險公司的策略選擇依賴于市場，即市場為博弈的主導者，則保險公司的目標是在市場最壞的情形選擇一個最優(yōu)策略π（t），最大化終值財富效用，即

這是保險公司與市場之間的二人零和隨機微分博弈問題，其中π*（t）為保險公司的最優(yōu)投資，θ*為最優(yōu)市場策略。解決該問題即要找到最優(yōu)策略（π*，θ*）∈Π×Θ和對應的值函數(shù)V（t，x，z）。

四、最優(yōu)策略與值函數(shù)

本文在指數(shù)效用下討論隨機微分博弈問題(3.2)的最優(yōu)解和值函數(shù)。

引理1 g（t）滿足如下常微分方程

證解常微分方程（4.1）即可得結論。

定理1在指數(shù)效用下，隨機微分博弈問題(3.2)的最優(yōu)投資策略為

市場的最優(yōu)策略為

對應的值函數(shù)滿足

其中g（t）滿足（4.2）式。

證令π（·）和θ（·）為一組可行策略，X（π，t）滿足（2.4）式，對應用公式，結合（4.2）式

其中π*,θ*分別滿足（4.3）及（4.4）式，對上式從t到T積分，并在條件X（π，t）=x，Zθ（t）=z及概率測度Pθ下，取條件期望，得

注1定理1表明保險公司的負債會影響保險公司的最優(yōu)策略及市場策略，最優(yōu)投資策略隨著負債波動率d1（t）及d2（t）的增大而增大，隨著索賠波動率β的增大而減小，且當d1（t）+d2（t）<β時，保險公司必須賣空所有資產(chǎn)還對承保風險。最優(yōu)市場策略隨著由保險公司保費及索賠的不確定性引起的負債波動率d1（t）的增大而減小，需要注意的是，影響最優(yōu)策略的并不是負債數(shù)額，而是負債的波動率。

注2當c（t）=d1（t）=d2（t）=0時，即若不考慮負債存在的情形，結論與文①Lin X,Zhang C,Siu T K，“Stochastic differential portfolio games for an insurer in a jump-diffusion risk process”，Mathematical Methods of Operations Research,Vol.75，No.1，2012,pp.83-100.所得結論一致。

Optimal investment strategy for an insurer with liability based on stochastic differential games

WANG Lixia，LI Shuangdong

In the uncertain market environment,a two-person,zero-sum,stochastic differential game risk model between market and an insurer who faces liability is established by using a differential game theory.In the model，the insurer's portfolio optim ization problem is studied，assum ing that the liability process follows Brownian motion with drift and is comp letely correlated with stock prices，and the aim of the insurer is to maxim ize the expected utility of term inal wealth.With the exponential utility function,the insurer's optimal investment strategies,the best marketing strategies and the value function of terminal wealth under the best strategies are obtained by app lying linear-quadratic controlmethod.

liability;Stochastic DifferentialGames;linear-quadratic control;exponentialutility

O225 F840.32

A

1009-9530（2015）05-0023-03

2015-08-12

安徽大學江淮學院院級基金資助“帶投資的再保險模型的隨機微分博弈問題研究”（2014KJ0001）；安徽省質(zhì)量工程項目資助“基于數(shù)學建模思想的獨立學院學科競賽體系的研究”（2013jyxm525）

王麗霞（1984-），女，安徽大學江淮學院講師，概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)碩士。