“統(tǒng)計與概率”課程難度的比較研究

王寬明+孫婷婷

一、研究背景

由于“統(tǒng)計與概率”的廣泛應(yīng)用，導(dǎo)致當(dāng)今各國都非常關(guān)注對教學(xué)內(nèi)容“統(tǒng)計與概率”的改革.為了認(rèn)識世界、理解世界，形成正確的世界觀和方法論，學(xué)生必須學(xué)會處理各種信息，尤其是數(shù)據(jù)信息，這其中涉及的正是大量的與統(tǒng)計、概率有關(guān)的數(shù)學(xué)知識.因此，掌握基本的統(tǒng)計與概率知識已經(jīng)成為信息時代每個公民的基本素養(yǎng).

新課改實施以來，全國各地不同版本的數(shù)學(xué)教材相繼問世，這其中大多數(shù)都是緊扣《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》編寫的，但上海市根據(jù)城市發(fā)展需要和時代特點，獨立制定課標(biāo)、編寫教材，由上海課程改革委員會制定了《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》.兩種課標(biāo)中有相同之處，也有不同之處，根據(jù)這兩種課標(biāo)編寫的教材在內(nèi)容、方式、順序和素材選取方面也形成了自己的風(fēng)格.另外，初中數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”部分內(nèi)容雖然在初中數(shù)學(xué)中所占比例不重，但卻頗受重視，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)目的是為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)以及今后的發(fā)展打下基礎(chǔ).

20世紀(jì)中期“新數(shù)學(xué)運動”之后，一些發(fā)達國家開始把包括“統(tǒng)計與概率”納入到中小學(xué)教材中.20世紀(jì)70年代以來，西方教育家對統(tǒng)計與概率的研究成為熱點問題. 從20世紀(jì)80年代開始，全球范圍把“統(tǒng)計與概率”的初步知識作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一部分引入小學(xué)到高中的課程中.其中澳大利亞、美國、新西蘭等國家的課程改革建議：應(yīng)該在學(xué)校教育的早期就讓學(xué)生開始學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率.

從我國的數(shù)學(xué)教育歷史來看，“統(tǒng)計與概率”納入基礎(chǔ)教育的過程是曲折的.從20世紀(jì)30年代的把“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容單獨成章，作為必修內(nèi)容，到50年代把中學(xué)教材中“統(tǒng)計與概率”相關(guān)內(nèi)容刪除，再到60年代的重回又退出教育舞臺.1978年，教育部頒布的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）》增加了“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容，但由于現(xiàn)實的種種困難因素以及應(yīng)試教育的影響，一直沒有引起人們真正的重視.直到教育部2001年3月頒布《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》，才明確規(guī)定把“統(tǒng)計與概率”歸入九年義務(wù)教育，讓它成為和“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”并列的三大數(shù)學(xué)模塊.

國內(nèi)的教材比較研究，多是選擇按《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求編寫的兩種教材進行比較，鮮有對這兩種不同課程標(biāo)準(zhǔn)下編寫的課標(biāo)教材進行比較研究.基于此，研究選用人民教育出版社編寫的教材（以下簡稱“人教版”）和上海教育出版社出版的教材（以下簡稱“上教版”）7～9年級數(shù)學(xué)教材中“統(tǒng)計與概率”部分內(nèi)容的難度進行比較研究，以期為教材研究和教材編寫提供參考.

二、研究過程

（一）課程難度的刻畫

研究采用了史寧中教授建立的課程難度模型[1]，對兩版本教材統(tǒng)計與概率課程難度進行比較.該模型認(rèn)為，影響課程難度的諸多因素中，至少應(yīng)該包含課程廣度、課程深度、課程時間等三個基本要素.

課程廣度，研究以該內(nèi)容學(xué)習(xí)的知識點數(shù)量來衡量課程廣度.

課程時間，研究以課標(biāo)要求的時間來衡量.

課程深度，研究以目標(biāo)要求的程度來刻畫課程深度，見表1.

通過給目標(biāo)動詞賦值的辦法，研究按表1規(guī)則，進行兩種課標(biāo)教材的課程深度計算.

表1 ?課程深度賦值

研究用N來表示課程難度，用S表示課程深度，用G表示課程廣度，用T表示課程時間，課程難度用關(guān)系式：N=+（0<α<1，一般情況下取α=0.5）來刻畫課程的難度.其中α被稱為加權(quán)系數(shù)，滿足單位時間的課程深度和單位時間的課程廣度分別稱之為“可比深度”和“可比廣度”.那么，課程難度N就可以用可比深度和可比廣度的加權(quán)平均值來衡量.雖然有學(xué)者對策提出異議[2]，如不應(yīng)以知識點來確定課程的廣度，而應(yīng)代之以“三維目標(biāo)”，但由于過程與方法，情感、態(tài)度和價值觀不利于量化，而且“三維目標(biāo)”本身也包含對知識的要求，故研究仍采用知識點的數(shù)量來刻畫課程的廣度.

（二）研究對象

研究對象選擇按照兩種不同課標(biāo)編寫的教材，其中，按《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》編寫的教材選擇人民教育出版社的初中數(shù)學(xué)教材，按《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》編寫的教材上海教育出版社出版的7～9年級數(shù)學(xué)教材.人教版7～9年級“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容出現(xiàn)在三本教科書中，七年級上冊、八年級下冊和九年級上冊;上教版7～9年級“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容僅出現(xiàn)在兩本教材中，包括八年級下冊、九年義九年級下冊.

兩種不同版本的課標(biāo)教材分別在以上每冊教材中均出現(xiàn)一章“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容.

（三）研究方法

研究分別對人教版和上教版兩種不同課標(biāo)教材的課程廣度、課程深度、課程時間等三個基本要素進行定量統(tǒng)計分析，統(tǒng)計相關(guān)數(shù)據(jù)，再根據(jù)史寧中教授等提出的課程難度模型，計算出兩種不同課標(biāo)教材的統(tǒng)計與概率內(nèi)容的課程難度.

三、研究結(jié)果

（一）課程時間

人教版在課程時間安排上：“數(shù)據(jù)的搜集和描述”為9課時，“數(shù)據(jù)的分析”為14課時，“概率初步”設(shè)置為14課時，即統(tǒng)計部分的課時總設(shè)置為23課時.概率部分的總課時設(shè)置為14課時，“統(tǒng)計與概率”部分總課時為37課時，因此取T1=37;上教版在“概率初步”安排8課時，“統(tǒng)計初步”設(shè)置為15課時，“統(tǒng)計與概率”總課時為23課時，因此T2=23.

（二）課程廣度

表2 ?知識點比較

從表2可以看出，人教版中“統(tǒng)計與概率”部分合計24個知識點，即課程廣度G1=24.上教版中“統(tǒng)計與概率”部分合計28個知識點，即課程廣度G2=28.

從表2也可看出，人教版知識學(xué)習(xí)的數(shù)量相對少些，其中四個知識點在上教版教材中沒有出現(xiàn);而上教版教材中有8個知識點在人教版教材中沒有出現(xiàn).兩種不同的課標(biāo)教材共有的知識點有20個.這表明兩種不同的課標(biāo)教材的課程內(nèi)容在聚合化趨向下又各有特色.endprint

（三）課程深度

基于表1標(biāo)準(zhǔn)，兩種版本中相應(yīng)知識點的課程深度值分別如表3.

表3 ?兩種版本中知識點難度

根據(jù)表3，可以看出人教版教材對7～9年級“統(tǒng)計與概率”部分的要求相對不高.人教版“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容總計有24個知識點，賦值為1的知識點有3個，賦值為2的知識點有21個.由此，可計算出該版本教材的課程深度：S1==1.75.

同理，可計算上教版“統(tǒng)計與概率”部分的課程深度為S2==2.

從課程深度來看，研究發(fā)現(xiàn)人教版7～9年級數(shù)學(xué)教材對“統(tǒng)計與概率”部分的要求一般都是了解、知道、認(rèn)識、經(jīng)歷（感受）和理解、會求、能、體驗（體會），沒有要求掌握、靈活應(yīng)用或探索的知識.而上教版7～9年級數(shù)學(xué)教材對“統(tǒng)計與概率”部分的要求是以理解、會求、能或體驗（體會）為主.從這一點我們可以發(fā)現(xiàn)，在某些相同的知識點上，上教版教材比人教版要求高.如條形圖、折線圖、扇形圖等知識，在人教版中理解、會求等目標(biāo)要求，而在上教版中是掌握、靈活運用等要求.

（四）課程難度

研究根據(jù)史寧中教授提出的課程難度模型，計算結(jié)果見表4.

表4 ?兩版本7～9年級統(tǒng)計與概率課程難度

根據(jù)公式N=+，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)，就可以得到兩個版本教科書中“統(tǒng)計與概率”知識的課程難度.其中，人教版“統(tǒng)計與概率”課程難度為：

N1=+，取α=0.5，代入數(shù)據(jù)計算得N1=0.0235+0.324=0.3475.

同理，可計算上教版“統(tǒng)計與概率”的課程難度：N2=0.6520.

四、結(jié)論和討論

（一）上教版“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的課程難度高于人教版，但課程難度可以通過學(xué)習(xí)方式的改變進行合理削減

由表4可知，兩種不同的課標(biāo)教材“統(tǒng)計與概率”的課程難度方面，“上教版”的課程難度幾乎是人教版的2倍，遠(yuǎn)高于“人教版”教材.可能的原因在于人教版教材分三章講解了“統(tǒng)計與概率”的知識，而上教版用兩章講述了這部分知識.在課時設(shè)置上，人教版要遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于上教版（人教版37課時，上教版23課時）.另一方面，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》要求7～9年級學(xué)習(xí)的“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容比《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》少（人教版要求學(xué)習(xí)的知識點24個，上教版是28個），并且要求相對要低（見表3）.但課程難度并非完全決定學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，“只要利用必要的工具和信息資源，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生主動建構(gòu)的環(huán)境，即可幫助學(xué)生順利完成知識建構(gòu)”[3].因此，課程廣度、課程深度和課程時間也可以通過合理的學(xué)習(xí)方式來進行適宜的變通，從而使得學(xué)生樂學(xué)、好學(xué)，學(xué)習(xí)效果也更有效率.

為此，兩種課標(biāo)教材都注重教學(xué)的實踐環(huán)節(jié)，在實踐中都強調(diào)直觀、操作和實驗，重視調(diào)查研究，以及觀察、實驗和操作等寓教于樂的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生通過動手、動腦相結(jié)合，感受數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的過程，進而“激發(fā)起學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的積極性和潛力”以及“讓傳統(tǒng)課堂不斷向日常生活和社會延伸，為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和實踐能力提供廣闊空間”[4].

（二）人教版和上教版“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容各有特色，體現(xiàn)在課程廣度和課程深度上要求的側(cè)重點不盡相同

兩種不同版本的課標(biāo)教材在“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容上，共同的知識點有20個，合計學(xué)習(xí)的知識并集有32個知識點.這表明兩種不同的課標(biāo)教材在對該內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求上，既具有同質(zhì)化傾向，也具有個性化特征.

另一方面，上教版“統(tǒng)計與概率”課程難度總體水平遠(yuǎn)高于人教版，但人教版課程難度并沒有完全“鑲嵌”于上教版.在具體內(nèi)容學(xué)習(xí)上，兩種版本的教材知識點處理上側(cè)重點卻各有千秋.如上教版統(tǒng)計方面沒有關(guān)于簡單隨機抽樣的要求，對于樣本和總體的關(guān)系及通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差的要求也沒有相關(guān)說明.而人教版在此基礎(chǔ)上還多了推斷的過程.但上教版教材要求對概率知識的高度理解，即要在具體情境或?qū)嵗畜w驗等可能事件的概率或古典概型，而人教版教材沒有.相對于人教版而言，上教版對概率知識的應(yīng)用要求較高，諸如能按照指定概率大小的要求，找到相應(yīng)的等可能事件或能設(shè)計符合要求的方案等等，但對統(tǒng)計內(nèi)容的要求強調(diào)基礎(chǔ)，注重實際應(yīng)用.

當(dāng)然，研究僅僅是對兩種不同版本的課標(biāo)教材進行文本靜態(tài)的課程難度比較，在具體學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果還受教室環(huán)境、班級文化、教學(xué)方式及人數(shù)多少等多種因素的影響，課程難度只是這些影響因素之一.如幫助學(xué)生“獲得知識經(jīng)驗，推動思考以及獲得肯定和表揚”[5]，也許可以有效削減課程難度對學(xué)生學(xué)習(xí)的不利影響.但需要進一步思考的是，課程難度是如何影響學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的？影響的程度如何？如何刻畫這兩者關(guān)系？

參考文獻：

[1] 史寧中，孔凡哲，李淑文.課程難度模型：我國義務(wù)教育幾何課程難度的對比[J].東北師范大學(xué)學(xué)報（哲學(xué)社會科學(xué)版），2005（6）：151-155.

[2] 李高峰.課程難度模型運用中的偏差及其修正——與史寧中教授等商榷[J].上海教育科研，2010（3）：46-49.

[3] 寧連華，涂榮豹.利用數(shù)學(xué)是常識的精微化指導(dǎo)數(shù)學(xué)教與學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，200110（1）：25.

[4] 朱龍，胡典順，汪鈺雯.中美數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的比較及啟示[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）：52-57.

[5] 鄺孔秀，劉芳.初中數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的認(rèn)知差異與實踐策略——基于個案的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）：12-15.endprint