高中數(shù)學(xué)解題思想方法之一
——換元法

吉林省龍井市龍井高級中學(xué) 李京玉

解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。

示范性題：

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由的有界性而求，即解不等式：這種方法是求函數(shù)值域時經(jīng)常用到的“有界法”。

【另解】 由S＝x2＋y2，設(shè)

移項平方整理得 100t2+39S2－160S＋100＝0 。

【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以，設(shè)

例3. 設(shè)a＞0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。

【解】 設(shè)sinx＋cosx＝t，則由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinx·cosx得：

t時，取最小值：－2a2－

當(dāng)2a≥時，取最大值：

當(dāng)時，t＝2a，取最大值： 。

【注】 此題屬于局部換元法，設(shè)sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍與sinx＋cosx對應(yīng)，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。