第二類(lèi)曲面積分易錯(cuò)題分析研究

景慧麗

(第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710025)

第二類(lèi)曲面積分易錯(cuò)題分析研究

景慧麗

(第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710025)

正確地計(jì)算第二類(lèi)曲面積分既是本科生必須熟練掌握的也是全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試的重要內(nèi)容之一.但是，大部分學(xué)員在計(jì)算第二類(lèi)曲面積分時(shí)經(jīng)常出錯(cuò).學(xué)員解題過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型歸納起來(lái)主要有四種：一是找錯(cuò)積分曲面；二是不注意曲面的側(cè)；三是誤用對(duì)稱(chēng)性；四是錯(cuò)用高斯公式.文中就各種錯(cuò)誤類(lèi)型給出了相應(yīng)的例題，并重點(diǎn)對(duì)錯(cuò)解進(jìn)行了分析，最后給出了正確解法和注意事項(xiàng).

第二類(lèi)曲面積分；易錯(cuò)題；錯(cuò)解分析

0 引言

第二類(lèi)曲面積分是《高等數(shù)學(xué)》課程和《數(shù)學(xué)分析》課程中一個(gè)非常重要的概念，而關(guān)于第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算更是重點(diǎn)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)中的難點(diǎn).初學(xué)者甚至是有些復(fù)習(xí)考研的學(xué)員經(jīng)常是遇到第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算問(wèn)題就束手無(wú)策、無(wú)從下手.有的學(xué)員雖然知道用什么方法計(jì)算，但是經(jīng)常算錯(cuò)；有時(shí)即便結(jié)果是正確的，計(jì)算過(guò)程卻是錯(cuò)誤的.為了幫助學(xué)員掌握第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算方法，并能熟練、正確地計(jì)算第二類(lèi)曲面積分，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐就學(xué)員在解題過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了分析，歸納了學(xué)員解題過(guò)程中所出現(xiàn)錯(cuò)誤的類(lèi)型，并重點(diǎn)分析了出錯(cuò)的原因.常見(jiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型主要有以下幾種.

1 找錯(cuò)積分曲面

2 不注意積分曲面的側(cè)

計(jì)算第二類(lèi)曲面積分最基本的方法就是把積分曲面投影到坐標(biāo)面上，然后把第二類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)化成二重積分來(lái)計(jì)算，只是這個(gè)二重積分前有個(gè)正負(fù)號(hào).例如[1]87-90，若積分曲面Σ是由方程z=z(x,y)所給出的，Σ在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，函數(shù)z=z(x,y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)R(x,y,z)在Σ上連續(xù)，則

當(dāng)Σ取上側(cè)(即曲面Σ的法向量與z軸正向的夾角為銳角)時(shí)，(1)式右端取“+”號(hào)；當(dāng)Σ取下側(cè)(即曲面Σ的法向量與z軸正向的夾角為鈍角)時(shí)，(1)式右端取“-”號(hào).但是，大部分學(xué)員往往忽略了這個(gè)正負(fù)號(hào).

3 誤用對(duì)稱(chēng)性

利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算定積分、二重積分、三重積分、第一類(lèi)曲線積分和第一類(lèi)曲面積分都是一種非常巧妙的方法，所以，大部分學(xué)員遇到第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算就會(huì)習(xí)慣定式，也直接利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)計(jì)算.

若積分曲面Σ關(guān)于yoz坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，Σ1表示x≥0的部分，且Σ和Σ1所取的側(cè)一致，則

若積分曲面Σ關(guān)于xoz(或xoy)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng)，被積函數(shù)P,Q,R關(guān)于y(或z)有奇偶性，則第二類(lèi)曲面積分具有相似的結(jié)論，這里不再贅述.

注2：第二類(lèi)曲面積分的對(duì)稱(chēng)性是比較麻煩的，所以不鼓勵(lì)學(xué)員利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)計(jì)算第二類(lèi)曲面積分，建議學(xué)員先把第二類(lèi)曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分，在計(jì)算二重積分的過(guò)程中再考慮利用對(duì)稱(chēng)性，因?yàn)槎胤e分的對(duì)稱(chēng)性是學(xué)員比較熟悉的.

4 錯(cuò)用高斯公式

高斯公式是[2]229：設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有

這里Σ是Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)．

高斯公式為計(jì)算第二類(lèi)曲面提供了一種有效方法，使用高斯公式時(shí)必須滿足高斯公式的三個(gè)使用條件：a)函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)必須在Σ所圍區(qū)域Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；b)曲面Σ必須封閉；c)曲面Σ取外側(cè).但是，大部分學(xué)員經(jīng)常不管是否滿足高斯公式的使用條件，就直接使用高斯公式，學(xué)員常犯的錯(cuò)誤主要有三種：一種是積分曲面Σ取內(nèi)側(cè)直接利用高斯公式；第二種是對(duì)非封閉曲面直接利用高斯公式；第三種是在積分曲面Σ所圍區(qū)域Ω上存在奇點(diǎn)(使函數(shù)P、Q、R無(wú)定義的點(diǎn)或不具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為奇點(diǎn))時(shí)也直接利用高斯公式．下面分別舉例說(shuō)明：

4.1 積分曲面取內(nèi)側(cè)直接利用高斯公式

[錯(cuò)解] 記Σ所圍區(qū)域?yàn)棣?，則由高斯公式得

原式

[錯(cuò)解分析] 上述解法錯(cuò)在三重積分前少了一個(gè)負(fù)號(hào)，因?yàn)楦咚构匠闪⒌臈l件之一是積分曲面Σ取外側(cè)，且注意到第二類(lèi)曲面積分的值與積分曲面的側(cè)密切相關(guān)，側(cè)改變積分值也改變.所以，如果積分曲面Σ取的是內(nèi)側(cè)，則應(yīng)在公式的一端加上一個(gè)負(fù)號(hào)，即此時(shí)高斯公式應(yīng)為：

本解法忽略了高斯公式中積分曲面取外側(cè)這個(gè)條件，所以是錯(cuò)誤的.

[正確解法] 記Σ所圍區(qū)域?yàn)棣福瑒t由高斯公式得

原式

注3：使用高斯公式時(shí)，積分曲面Σ要取外側(cè)，如果Σ取內(nèi)側(cè)，需要在公式一端加上負(fù)號(hào).

4.2 非封閉曲面直接利用高斯公式

[錯(cuò)解] 記Σ所圍區(qū)域?yàn)棣?，則由高斯公式得

[錯(cuò)解分析] 上述解法錯(cuò)在直接利用高斯公式來(lái)計(jì)算，因?yàn)槭褂酶咚构綍r(shí)積分曲面Σ必須封閉，這里的Σ顯然是不封閉的，所以是不能直接利用高斯公式來(lái)計(jì)算.

原式

注4：使用高斯公式計(jì)算第二類(lèi)曲面積分時(shí)積分曲面Σ必須封閉，如果Σ不封閉，必須先補(bǔ)充有向曲面使其封閉，然后再使用高斯公式.補(bǔ)充有向曲面的一般原則是通常取平行于坐標(biāo)面的有向平面，該有向平面的側(cè)要與已知的積分曲面的側(cè)保持一致.另外，切記計(jì)算原曲面積分時(shí)還要把所補(bǔ)充的有向曲面上的曲面積分減去.

4.3 存在奇點(diǎn)直接利用高斯公式

原式

其中Ω：x2+y2+z2≤a2.

[正確解法] 原式

令P=x、Q=y、R=z，則由高斯公式得

原式

其中Ω：x2+y2+z2≤a2.

注5：使用高斯公式時(shí)，函數(shù)P、Q、R必須在Σ所圍區(qū)域Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果在Σ所圍區(qū)域Ω上存在奇點(diǎn)，一般是需要把奇點(diǎn)挖去，在挖去奇點(diǎn)的復(fù)連通域上再使用高斯公式，挖奇點(diǎn)的一般原則是根據(jù)被積函數(shù)的特征來(lái)挖.例如，若例5中積分曲面Σ是包圍原點(diǎn)的某一光滑閉曲面，則需要在Σ內(nèi)作有向曲面Σ1：x2+y2+z2=ε2(ε要足夠小)，然后在Σ和Σ1所圍復(fù)連通域上再使用高斯公式.其實(shí)，注意到曲面積分具有一個(gè)很好的性質(zhì)，可以把積分曲面的方程代入到被積函數(shù)中，如果先把積分曲面的方程代入到被積函數(shù)中就可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算.例如例5所給的正確解法就是利用了該性質(zhì)，首先把積分曲面Σ的方程x2+y2+z2=a2代入到被積函數(shù)中，此時(shí)新的曲面積分就滿足高斯公式的使用條件了，大大簡(jiǎn)化了曲面積分的計(jì)算.

5 結(jié)語(yǔ)

以上就是學(xué)員們?cè)谟?jì)算第二類(lèi)曲面積分時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤.其實(shí)只要學(xué)員真正理解了第二類(lèi)曲面積分的概念，掌握了第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算方法，上述錯(cuò)誤是完全可以避免的.在教學(xué)過(guò)程中教員也應(yīng)允許學(xué)員出錯(cuò)，學(xué)員對(duì)概念理解有偏差、解題過(guò)程出現(xiàn)錯(cuò)誤都是正常的，都是符合實(shí)際情況的，如果學(xué)員不出錯(cuò)反而是不符合常理的.另外，教員要正確看待這些錯(cuò)題資源，這些資源都是非常寶貴的教學(xué)資源，因?yàn)樾睦韺W(xué)家蓋耶說(shuō)過(guò)：“誰(shuí)不考慮嘗試錯(cuò)誤，不允許學(xué)生犯錯(cuò)誤，就將錯(cuò)過(guò)最富成效的學(xué)習(xí)時(shí)刻”[4]372-373.在教學(xué)中，教員要主動(dòng)挖掘?qū)W員錯(cuò)題中的“閃光點(diǎn)”，及時(shí)進(jìn)行探究、分析和講評(píng)，這不但可以為學(xué)員創(chuàng)造新的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，而且還可以培養(yǎng)學(xué)員的問(wèn)題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)員發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

[1] 景慧麗，張 輝.第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(4).

[2] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(下)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.

[3] 張?zhí)斓拢Y曉蕓.Б.П.吉米多維奇高等數(shù)學(xué)習(xí)題精選精解[M].1版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010.

[4] 錢(qián)怡杰.基于錯(cuò)題的高三基礎(chǔ)會(huì)計(jì)教學(xué)探究[J].經(jīng)營(yíng)管理者,2015(2).

[責(zé)任編輯 迎客松]

On the Second Type of Surface Integral Easy Wrong Topic

JING Huili

(SchoolofScience,theSecondArtilleryEngineeringUniversity,Xi’an710025,China)

Correctly calcuating the second type of surface integral is not only a skill undergraduate students must master, but also an important content of the national master’s degree students’ entrance examination. But most of the students often make mistakes when calculating the surface integral. The error that the students made in the process of problem solving is concluded in this paper. There four kinds of common errors: the first is the wrong integral surface; the second is not paying attention to the side of the surface; the third is the misuse of symmetry; the fourth is wrong use Gauss formula. Furthermore, some corresponding examples are given for each type of error, the right solution is analyzed, and the correct solution and some matters needing attention are discussed.

the second type of surface integral；easy wrong topic；error analysis

2015-07-28

第二炮兵工程大學(xué)2014年度教育教學(xué)立項(xiàng)課題(項(xiàng)目編號(hào)：EPGC2014023)

景慧麗(1983- )，女，河南平頂山人，第二炮兵工程大學(xué)講師，碩士，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

1671-8127(2015)05-0004-05

O172.4-4

A