空氣阻力是滾擺能量損失的主要原因嗎？

楊 景 侯吉旋

（1南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，江蘇 南京 210008；2東南大學(xué) 物理系，江蘇 南京 211189）

物理學(xué)家一般習(xí)慣于將物理問(wèn)題理想化之后再來(lái)處理，在基礎(chǔ)物理課程之中尤為如此.然而，這樣做會(huì)使得部分學(xué)生產(chǎn)生一種觀點(diǎn)，就是物理課程與真實(shí)世界無(wú)關(guān)或者脫節(jié).進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)把真實(shí)情況和理想化后的情況同時(shí)介紹給學(xué)生會(huì)激發(fā)學(xué)生思考得更加全面[1].因此在課堂上多花一點(diǎn)時(shí)間來(lái)討論如何改進(jìn)物理模型是非常有益的.

圖1 麥克斯韋滾擺示意圖

在物理教學(xué)課堂中，麥克斯韋滾擺（見(jiàn)圖1）經(jīng)常被用來(lái)演示能量守恒[2].一般認(rèn)為該系統(tǒng)的重力勢(shì)能和動(dòng)能來(lái)回轉(zhuǎn)化并且總的機(jī)械能保持不變.但實(shí)際情況是滾擺每次都不能回到原來(lái)的高度，這是由于存在能量損失的緣故.我們相信合格的指導(dǎo)教師被問(wèn)到此問(wèn)題時(shí)并不會(huì)簡(jiǎn)單地將能量損失歸因于空氣阻力.除了空氣阻力，在這個(gè)系統(tǒng)中確實(shí)存在多種能量損失的因素.讓學(xué)生來(lái)找出各種能量損失的途徑絕對(duì)不是一個(gè)平凡的練習(xí)，這樣的練習(xí)可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)觀察并且像物理學(xué)家一樣思考.這也需要學(xué)生把有關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的各種因素（例如空氣阻力、繩子的可伸縮性等）綜合起來(lái)考慮，讓學(xué)生整合各種知識(shí)點(diǎn)也是物理教育的一個(gè)重要目標(biāo).對(duì)于更高要求的基礎(chǔ)物理課程，如果給學(xué)生一些相關(guān)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，學(xué)生應(yīng)該可以做一些理論推演來(lái)估算各種效應(yīng)的大小.

本文第1節(jié)將對(duì)無(wú)能量損失的麥克斯韋滾擺進(jìn)行分析，然后在第2節(jié)考慮各種能量損失因素對(duì)該系統(tǒng)的影響.在第3節(jié)中，我們將用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)分析哪一種能量損失因素占主導(dǎo)因素.結(jié)論和討論將在最后一節(jié)中呈現(xiàn).

1 無(wú)耗散的麥克斯韋滾擺系統(tǒng)

1.1 上升和下降

對(duì)于質(zhì)量為m，中軸半徑為r的滾擺，在上升或下降的過(guò)程中受力情況如圖2所示.滾擺的運(yùn)動(dòng)滿足方程

其中，J為滾擺繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；T為繩子的張力；a為滾擺的加速度；α為滾擺的角加速度.求解方程（1）得到

圖2 滾擺在上升和下降過(guò)程中的受力分析圖

對(duì)于一般滾擺來(lái)說(shuō)，J?mr2，因此繩子的拉力略微小于滾擺受到的重力.

1.2 最低點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)

當(dāng)繩子完全展開(kāi)，繩子與滾擺的連接點(diǎn)O點(diǎn)將發(fā)生偏移，滾擺的運(yùn)動(dòng)將變得十分復(fù)雜.這里我們假定O點(diǎn)不動(dòng)，因此在滾擺往復(fù)運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)軌跡是確定的，軌道是閉合的，如圖3所示.當(dāng)然這個(gè)假定并不符合實(shí)際，我們將在下一節(jié)對(duì)此進(jìn)行更進(jìn)一步的討論.由于O點(diǎn)不動(dòng)，滾擺的質(zhì)心將作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖3（b）.如果滾擺開(kāi)始滾動(dòng)時(shí)質(zhì)心的位置到O點(diǎn)的距離是h，根據(jù)式（2）可以求出當(dāng)質(zhì)心達(dá)到圖3中A點(diǎn)時(shí)的速度為

圖3 最低點(diǎn)附近質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡

當(dāng)質(zhì)心達(dá)到最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)，質(zhì)心的速度vCB略大于vCA，不過(guò)由于h?r，我們可以近似認(rèn)為vCB≈vCA.因此當(dāng)滾擺質(zhì)心運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子張力T′的大小為

因此當(dāng)滾擺質(zhì)心運(yùn)動(dòng)到底部時(shí)，繩子張力變化量為

2 各種能量損耗

由于能量損耗的具體物理過(guò)程非常復(fù)雜，因此要完全定量地計(jì)算也非常復(fù)雜，我們?cè)谶@里僅做半定量的討論.

2.1 空氣阻力

空氣阻力的大小fg和物體相對(duì)于空氣的運(yùn)動(dòng)速度v和形狀有關(guān).對(duì)于雷諾數(shù)很小的情形空氣阻力的大小正比于速度的大小，一般實(shí)驗(yàn)用的單擺做小角度擺動(dòng)時(shí)就屬于這種情況，

2.2 繩子的可伸縮性

文獻(xiàn)[3]認(rèn)為滾擺運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子張力迅速增大，由于實(shí)驗(yàn)中繩子不是完全剛性的，所以會(huì)帶來(lái)額外的能量損失.假設(shè)繩子伸長(zhǎng)正比于張力大小的變化量，根據(jù)式（5）有

由于繩子伸長(zhǎng)并且將機(jī)械能轉(zhuǎn)化成繩子的內(nèi)能，則滾擺往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所損失的能量為

2.3 軌道不閉合

上一節(jié)中我們分析滾擺在最低點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)了繩子與滾擺的連接點(diǎn)O點(diǎn)不動(dòng).這個(gè)假設(shè)并不合理，因?yàn)镺點(diǎn)會(huì)發(fā)生移動(dòng)，如圖4中（a）、（b）、（c）所示.從圖4中我們可以看到，在A點(diǎn)時(shí)質(zhì)心的速度是豎直方向的，在C點(diǎn)時(shí)質(zhì)心的速度的方向變?yōu)樗?，由于豎直的繩子無(wú)法提供水平方向的力，滾擺的軌道無(wú)法閉合，這樣質(zhì)心水平方向上平動(dòng)的動(dòng)能將傳遞到整個(gè)系統(tǒng)的繞懸掛點(diǎn)擺動(dòng)自由度上（見(jiàn)圖4（d））.因此，我們?cè)谧鰸L擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，無(wú)論多么小心地進(jìn)行操作，滾擺總是不可避免地繞著懸掛點(diǎn)擺動(dòng)起來(lái).

滾擺每次傳遞到其他自由度的能量可近似看成質(zhì)心在最低點(diǎn)時(shí)的平動(dòng)動(dòng)能.根據(jù)公式（3），我們得到

圖4 滾擺在最低點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)示意圖

在這個(gè)過(guò)程中總的機(jī)械能并沒(méi)有損失，而能量只是從一個(gè)自由度傳遞到了另一個(gè)自由度，于是滾擺就無(wú)法上升到原有高度.

綜合上面各種因素，滾擺上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所損失的能量為ΔEtot＝ΔE1＋ΔE2＋ΔE3，因此根據(jù)式（7）、（9）、（10）最大高度的減小量可以寫(xiě)為

其中c1，c2，c3為非負(fù)常數(shù).c2僅與空氣阻力有關(guān)，c3僅與繩子伸縮性有關(guān)，c1則包含了繩子伸縮性和軌道不閉合兩部分因素.

3 實(shí)驗(yàn)

我們選用3個(gè)用于課堂演示的麥克斯韋滾擺來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn).滾擺的質(zhì)量和中軸的直徑都可以直接測(cè)量.滾擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則只能通過(guò)間接方式測(cè)量得到.將滾擺從靜止釋放，測(cè)量滾擺向下運(yùn)動(dòng)20cm的距離所用的時(shí)間，就可以根據(jù)式（2）來(lái)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.3個(gè)滾擺的基本參數(shù)列在表1中.式（2）是在理想情況下推導(dǎo)出來(lái)的，但由此引起的誤差不足以改變本文定性結(jié)果.

實(shí)驗(yàn)過(guò)程如下：將滾擺向上繞使質(zhì)心升高一段距離（10cm和5cm），然后由靜止開(kāi)始釋放，并記錄之后滾擺質(zhì)心每次上升的最大高度.我們的每個(gè)數(shù)據(jù)都是根據(jù)8次獨(dú)立測(cè)量的平均值得到的，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖5所示.

表1 3個(gè)滾擺的基本參數(shù)

圖5顯示滾擺每次上升的最大高度隨上升次數(shù)單調(diào)減小，但是并不能提供更多的關(guān)于能量損失的信息.為了分析哪種能量耗散占主導(dǎo)地位，我們按照式（11）處理我們的數(shù)據(jù)，結(jié)果顯示在圖6中.其中式（11）中的Δh（n）我們用差分[h（n＋1）-h（n-1）]／2來(lái)表示.

圖6顯示Δh（n）與h（n）幾乎是線性關(guān)系，說(shuō)明在誤差范圍內(nèi)式（11）中c2與c3約等于零.按照式（11），非線性部分c2是由空氣阻力給出的，如果空氣阻力是能量損失的主要原因，那么圖6將呈現(xiàn)明顯的非線性.由圖6顯示的線性關(guān)系，可以判斷在測(cè)量誤差范圍內(nèi)空氣阻力造成的能量損失在滾擺豎直方向上振蕩的能量損耗中必然只占極小部分.

圖5 滾擺每次上升的最大高度

圖6 滾擺損失的高度與最大高度之間的關(guān)系

4 結(jié)果和討論

我們首先分析了理想的麥克斯韋滾擺的物理過(guò)程，然后半定量地分析了麥克斯韋滾擺系統(tǒng)中各種能量損失的物理原因，包括（1）空氣阻力、（2）繩子的可伸縮性和（3）軌道不閉合.通過(guò)測(cè)量麥克斯韋滾擺每次上升高度的變化，可以推斷出空氣阻力不是能量損失的主要原因.根據(jù)我們的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，還無(wú)法推斷繩子的可伸縮性和軌道不閉合哪一個(gè)是滾擺豎直方向上振蕩的能量損耗的主要原因.

本文潛在的教學(xué)價(jià)值在于教育學(xué)生如何從有限的數(shù)據(jù)中挖掘出需要的信息.例如在研究空氣阻力對(duì)麥克斯韋滾擺的影響時(shí)，當(dāng)然可以將滾擺置于真空與非真空條件下做對(duì)比性實(shí)驗(yàn)，從而判斷是非.然而在沒(méi)有大型的真空裝置的條件下，此法難以實(shí)現(xiàn).本文卻給出了現(xiàn)實(shí)可行的方法.

[1]Veronica C M，Butler P H，Undergraduate students’under-standing of falling bodies in idealized and real-world situations[J].Journal of Research in Science Teaching，2004，41（6）：569-583.

[2]Naimi E K，The Maxwell pendulum [J].Soviet Physics Journal，1979，22（11）：1225-1227.

[3]周雨青，劉甦，機(jī)械能守恒演示中一個(gè)值得商榷的案例“悠悠球”系統(tǒng)能量損失分析[J].大學(xué)物理，2011，30（8）：18-21，2011.