從負折射現(xiàn)象重新認識波

杜春光

（清華大學物理系，北京 100084）

波是物理學中的一個極其重要的基本概念，在經(jīng)典物理中，波可以簡單描述成某種振動在空間中的傳遞.例如，機械波可以看作是機械振動在介質(zhì)中的傳遞，電磁波可以看作是電場和磁場的振動在真空或介質(zhì)中的傳遞.在量子力學中，波是一個基本概念，它與粒子概念相伴，形成互補，有著極其深刻的物理內(nèi)涵.隨著科學和技術的不斷發(fā)展，人們對波動現(xiàn)象的認識也在不斷深化.從當今物理學的發(fā)展看，大量新奇物理現(xiàn)象都源于量子力學中的波動性概念.但是，我們不禁會反思：在經(jīng)典物理理論的框架內(nèi)，是否也有一些需要重新理解的問題？就波動概念而言，無論是經(jīng)典意義上還是量子意義上，都存在一個共同的需要深度思考的問題，即，如何理解波的傳播速度.這一問題給人們帶來了許多困惑，同時推動人們開展了一系列新的研究，包括介質(zhì)中的反常相速度和群速度.例如，關于相速度，有負折射現(xiàn)象[1]；關于群速度，有超慢傳輸現(xiàn)象[2]，還可能在增益的介質(zhì)中獲得超過真空光速的群速度[3].這些現(xiàn)象都已經(jīng)在特殊的介質(zhì)中實現(xiàn)，近年來已被大量研究.就負折射率材料而言，目前的實現(xiàn)手段主要是通過人工微結(jié)構方法，微結(jié)構的單元類似原子或分子，它們比波長小，但仍然是宏觀尺度的，實現(xiàn)這種功能的材料稱作特異材料或超材料（metamaterial）[4]，其物理機制通常是經(jīng)典的（理論模型中電磁場和介質(zhì)中的電子都視為經(jīng)典的）.

負折射現(xiàn)象近年來被大量研究，但對這一新問題，以往的分析都比較復雜，涉及的知識面較廣，將相關概念和方法引入到大學物理教學中仍然存在一定的困難.例如，關于折射率什么情況下取負值的問題，以往的分析雖然也是從因果律出發(fā)，但論證較為復雜，涉及的數(shù)學推導過多，對初學者而言，不易把握其物理實質(zhì).在物理教學中，如何用簡單直觀的方式解釋負折射現(xiàn)象仍然有待于研究.另一方面，負折射現(xiàn)象給人們帶來的啟示是多方面的，例如：（1）能夠激發(fā)人們更深入思考電磁場的運動方程的物理含義；（2）更深入研究介電常數(shù)、磁導率、折射率等重要物理量的微觀起源；（3）推動人們開展相關新現(xiàn)象和新應用的研究；（4）由于波動現(xiàn)象存在共性，負折射現(xiàn)象有可能獲得廣泛推廣.基于以上幾點，將負折射現(xiàn)象引入到物理教學中是十分有益的.本文考慮到大學物理的知識體系，給出了簡單的理論推演，重新分析了麥克斯韋方程及其求解過程，自然給出了“負折射”解，并結(jié)合常規(guī)邊界條件，分析了負折射材料非凡的物理特性.本文還進一步分析了負折射現(xiàn)象的微觀起源，并討論了其可能的推廣及給人們帶來的啟示.

1 根據(jù)因果律確定相速度的方向

為簡單起見，先考慮一個沿著z方向傳播的單色平面電磁波，假設是線偏振的，電場方向沿x方向，則電場函數(shù)可寫成

觀察這一波函數(shù)，很容易知道相位傳遞的速度為

對實際介質(zhì)，由于電磁波與其內(nèi)部電子在相互作用時難免會存在能量損耗，因此，嚴格講k應該是一個復數(shù)，k的虛部代表吸收，從方程（1）可以看出，如果k的虛部大于零，則電場E隨z而減小.本文只考慮吸收很小的情況，這時k的虛部可當作正無窮小量，方程（2）仍然可以用來計算相速度的絕對值，但相速度的方向需要根據(jù)因果律來判斷.我們可以根據(jù)k的虛部為正這一事實，判斷出相位速度的方向.其證明如下：

根據(jù)因果律，如果波源放在一個均勻的無邊界的被動（無增益）介質(zhì)中，則波總是由波源向外輻射.于是，考慮到介質(zhì)的損耗，方程的解中的電場E隨傳播距離應該是逐漸減小的，而不能是指數(shù)增長的（指數(shù)增長的解在無窮遠處發(fā)散，為非物理解，必須舍棄）.考慮沿z正方向的傳播（即假設波源在左，觀測者在右），這時只能取k的虛部為正的解（它代表電磁波隨z衰減，是合理的解），而不能取k的虛部為負的解（它代表E隨z增長，將導致能量放大，并在無窮遠處發(fā)散，這是不合理的解，必須舍去）.但是，一個容易引起困惑的問題出現(xiàn)了：k的虛部為正時實部一定為正嗎？這對普通正折射率介質(zhì)的確都是成立的，但理由常常被誤解為相位傳遞的方向必須由波源指向觀測者，負折射的研究已證明這是個誤區(qū).以下分析將發(fā)現(xiàn)，對負折射率介質(zhì)，k的實部和虛部是異號的.由于因果律要求k的虛部為正，所以此時k的實部和相速度必然為負值.下面從電磁運動的基本方程出發(fā)證明這一點.

2 從基本方程導出“負折射解”

考慮電磁波在常規(guī)介質(zhì)中的傳播（不考慮增益介質(zhì)情況），假設沒有自由電荷與傳導電流，電磁場滿足麥克斯韋方程組

對相對介電常數(shù)和相對磁導率分別為ε、μ的材料，其本構關系為

對實際的介質(zhì)，都存在吸收和色散，為方便起見，方程（2）中各個物理量都采用復數(shù)形式（電場E和磁場B的實際值取以上方程解的實部）.由于介質(zhì)的響應存在滯后，ε和μ均為復數(shù)，其虛部不為零，這源于介質(zhì)對電磁波的吸收，這一點后面從微觀機制角度分析.

從式（3）～（8）出發(fā)我們可以得到電場所滿足的波動方程

把平面單色波電場表達式E（z）＝E0eikz-iωt代入波動方程，可以得到色散關系

其中c為真空中的光速，為真空中波矢的模.相對折射率n按照下式定義

于是，由式（10）和（11），n可以寫成

為保證n的虛部為正（否則違反因果律），式（13）正負號的選取是唯一的，于是Re（n）的正負號是確定的，即，

（1）當ε′＞0，μ′＞0時，上式應該取“＋”號，Re（n）＞0，對應正折射率材料情況；

（2）當ε′＜0，μ′＜0時，上式應該取“-”號，Re（n）＜0，對應負折射率材料情況.

于是，由式（11），折射率的正負決定k的正負.即，對負折射介質(zhì)，Re（k）＜0.如果將介質(zhì)損耗當作無窮小，則可以簡單表述成：由于n＜0，所以k＜0，vph＝（ω／k）＜0，即相速度為負（注意默認了從波源指向觀測者的方向為正方向）.

3 群速度

方程（1）雖然是滿足麥克斯韋方程的特解，但實際電磁波不可能是絕對單頻的，總是存在頻率展寬，即實際上是由方程（1）那樣的無窮多頻率連續(xù)分布的特解的線性疊加.為簡單起見，我們先考慮兩個頻率非常接近的單色平面波的疊加.假設第一個波的角頻率和波矢分別為ω和k，第二個波為ω＋Δω和k＋Δk，假設兩個場的振幅都是實數(shù)A，則疊加后總的電場為

真實場應該對上式取實部，定義ER（z，t）＝ReE（z，t），有

假設Δω?ω和Δk?k，則

根據(jù)式（16），可知電磁場的運動是一個快變的振蕩“cos（kz-ωt）”被一個慢變包絡所調(diào)制.包絡運動速度（即群速度）為Δω→0時，

我們也可以換個角度理解式（17）.考慮到光周期平均能量密度正比于｜E｜2，由式（14）可得

式（17）的推導只考慮了兩個頻率成分的疊加，實際中電磁波由無窮多連續(xù)分布的頻率成分構成.根據(jù)傅里葉變換原理，可以證明：當頻率展寬很窄時，慢變振幅中的“cos”函數(shù)將替換成一個非周期函數(shù)（代表電磁脈沖的包絡），此時式（17）仍然成立[5].

由方程（17）的推導過程可知，它對波矢k為正和負值的情況均成立.對有色散的介質(zhì)，群速度和相速度一般不等.由于波包的運動才代表真實的傳播，所以式（17）給出的速度才是真實的傳播速度.一般的介質(zhì)中這兩個速度盡管大小不等，但方向相同.然而，負折射材料中卻不同，前面已通過分析表明負折射材料中波的相速度為負值，而式（18）表明群速度就是能量傳遞的速度，根據(jù)因果律，總是正值（圖1）.群速度為正值也可以根據(jù)材料的色散關系k（ω）來證明，但考慮到需要借助于微觀分析，較為復雜，下一節(jié)換用另一種方法，從能流密度（玻印亭矢量）角度分析，將發(fā)現(xiàn)負折射材料中相速度和能流傳遞的方向相反.

圖1 負折射材料中群速度和相速度示意圖

4 關于左手性的討論

可以看到，若忽略吸收，則ε和μ均為實數(shù).考慮ε和μ同時為正和同時為負兩種情況（方程有傳播解），下面通過證明：負折射材料中準單色電磁波的波矢k的方向與玻印亭矢量S的方向相反.

假設平面電磁波的表達形式為代入麥克斯韋方程組，可以得到

由式（3～6）4個方程可以看出，電場E、磁場H、波矢k三者的方向兩兩垂直.當ε＞0、μ＞0時，三者的方向滿足右手螺旋關系；當ε＜0、μ＜0時，三者的方向符合左手螺旋關系，因此稱為左手材料.

對傳播解，玻印亭矢量的表達形式為[5]

玻印亭矢量的定義決定了S、E、H三者總成右手螺旋關系.當ε＞0、μ＞0時，S、k方向相同，為前向波.當ε＜0、μ＜0時，S、k方向相反，為后向波（圖2），這是負折射與正折射現(xiàn)象的最根本的差別.

5 電磁波在界面處的反射與折射

對各向同性的負折射率材料，忽略介質(zhì)的吸收，根據(jù)電磁場邊界條件，容易發(fā)現(xiàn)反射與折射定律仍然成立.根據(jù)電場E的切向（即沿界面方向）分量連續(xù)，得入射波、反射波、透射波的波矢的切向分量都相等[7]，設入射角為θi，反射角為θr，折射角為θt（圖3），則

圖2 負折射材料的左手性（E，H，k成左手系）

其中ki、kr、kt分別是入射、反射、折射波的波矢的大小，通常介質(zhì)中它們都取正值，對負折射介質(zhì)則取負值（代表相速度與能流方向相反）.由于入射和反射波在同一介質(zhì)中，所以ki＝kr.假設電磁波從折射率為ni的介質(zhì)進入折射率為nt的介質(zhì)中，則

由式（26）得反射、折射定律如下

這與通常的反射、折射定律形式相同，只是折射率允許取負值.如果用“光線”描述光的傳播方向，對通常兩介質(zhì)界面處的折射現(xiàn)象，入射和折射光線位于法線的兩側(cè)，而對兩介質(zhì)的折射率符號相反的情況，則折射與入射光線位于法線的同一側(cè).

圖3 反射、折射定律示意圖

6 倏逝波放大

通過電磁場邊界條件（E、H切向分量連續(xù)）可以導出電磁波在兩個無限大介質(zhì)交界面處的反射系數(shù)r與透射系數(shù)t，假設電磁波從介質(zhì)i入射到介質(zhì)t，兩介質(zhì)的相對介電常數(shù)和磁導率分別為（εi，μi）和（εt，μt），考慮 TE模式（電場E方向垂直于入射面），透射系數(shù)定義為反射系數(shù)定義為它們分別由以下方程給出[1，7]

其中kz、kz′分別代表入射和折射波的波矢在法線（z）方向的分量，注意到波矢的切向分量相等，有

上式中的正負號的選取依據(jù)的原則與前面相同，即電磁波的電場E不能在無窮遠處發(fā)散.假設介電常數(shù)和磁導率的虛部都很?。梢越迫檎裏o窮小量），若入射波滿足條件則kz變成純虛數(shù)，為倏逝波場.現(xiàn)通過一個特殊情況（即εi＞0，μi＞0，且εt＝-εi，μt＝-μi），分別討論傳播場和倏逝波場兩種情況，從而表明倏逝場具有極不尋常的性質(zhì).

7 負介電常數(shù)和負磁導率的“微觀起源”

介電常數(shù)ε和磁導率μ很容易被誤認為是恒正的.對交變電場，由于介質(zhì)的響應具有滯后性（極化強度P和電場E之間可能有相位差，磁化強度M和磁感應強度B之間也可能有相位差），它們實際上都有可能為負值.這一點我們從微觀上分析.假設組成材料的電介質(zhì)中的電子的運動可以簡單描述成受電磁波驅(qū)動諧振子，其固有角頻率為ω0，將能量耗散用阻尼系數(shù)為γe描述（γe＞0），它是吸收的起源.設電子有效質(zhì)量為m，相對平衡位置的位移為r，在電場E的驅(qū)動下，有如下運動方程[7]

根據(jù)極化強度P＝ -Ner（N為電子數(shù)密度），及D＝ε0E＋P＝εE，可得相對介電常數(shù)

另一方面，考慮磁響應，可以類似給出相對磁導率

其中ωpm為磁響應等離子體角頻率.式（33）與式（34）形式相同，也必然存在Reμ＜0的頻段.忽略損耗的情況下，ε＜0和μ＜0兩個頻段的交集就是相對折射率n＜0的頻段.這種材料在自然界中很難找到，但可以通過人工微結(jié)構組成的特異材料（metamaterial）來實現(xiàn)[4].

8 討論

反思一下波動方程的求解，其中根據(jù)因果律舍棄了非物理解.其實這種做法在以往問題的分析中也是慣用的，例如量子力學中薛定諤方程的求解，也需要舍棄無窮遠處發(fā)散的解，其原理是類似的，但值得深入思考.

從前面的分析不難看到，負折射現(xiàn)象是一類普遍存在的現(xiàn)象.實際上，負折射的研究已經(jīng)不限于電磁現(xiàn)象，在聲波、電子波、原子物質(zhì)波等不同場合都存在.在聲波的負折射方面已有不少實驗報導[8，9].人們還發(fā)現(xiàn)電子波的負折射可以在石墨烯（graphene）材料中實現(xiàn)[10，11].另外，本文只給出了經(jīng)典機制，實際上還存在量子機制，例如，材料的結(jié)構單元可以是超導量子電路[12].量子負折射材料中的新現(xiàn)象是另一個受到關注的新問題.另外，以上介電常數(shù)和磁導率同時為負的材料是產(chǎn)生負折射的一種可能方式，但不是唯一方式，還有可能通過其他方式產(chǎn)生，例如四波混頻自相位共軛[13].

負折射現(xiàn)象具有普遍性，經(jīng)典機制的負折射材料已經(jīng)顯示了大量新奇效應（例如在反常多普勒效應、反常切侖科夫輻射、超衍射極限的成像機制等）.由經(jīng)典理論得到的新現(xiàn)象必然在量子理論中存在對應物，推廣到量子領域可能有更多的新發(fā)展.

9 結(jié)語

本文探索性地用大學物理中的電磁學和波動理論簡單解釋了負折射現(xiàn)象.負折射現(xiàn)象使我們不得不重新思考關于波動方程的求解、相速度、群速度、能量傳遞和因果律、Snell定律等內(nèi)容，以及電介質(zhì)和磁介質(zhì)的微觀機制.這對更好掌握電磁學、光學以及一般波動理論都是大有幫助的.負折射理論可以用于課堂講授，有利于增強經(jīng)典物理教學內(nèi)容的活力，激發(fā)學生探索新問題的興趣；也可以與科研專題訓練相結(jié)合，培養(yǎng)學生探索未知問題的能力.

我們從負折射現(xiàn)象可以得到一個啟示：雖然我們對經(jīng)典物理貌似很熟悉，但經(jīng)典物理中仍然隱藏著被忽略的問題（負折射問題或許只是其中一個例子）.大學物理中關于電磁學、光學、波動理論等知識其實并不老，我們需要結(jié)合物理學新進展，不斷地重新思考這些基礎知識，有可能獲得新的發(fā)現(xiàn).

波動性是物質(zhì)的一個最基本屬性，在經(jīng)典和量子理論中都扮演著極其重要的角色.經(jīng)典物理中的問題往往更具普遍性，我們也許可以從這些問題入手，從新的角度重新思考包括量子物理在內(nèi)的整個物理學，這在筆者看來是一個值得深入探索的問題.

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