新課程數(shù)學教學中關于數(shù)學實踐的探索

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學 錢玉飛

新課程數(shù)學教學中關于數(shù)學實踐的探索

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學 錢玉飛

眾所周知，新課程對學生學習數(shù)學的要求有了不同于傳統(tǒng)課程的變化，其在標準中提出：“要求學生努力通過動手實踐、積極探索，使學生對數(shù)學知識的形成過程要有充分的了解和掌握，注重對數(shù)學實踐的探索和嘗試，使學生正確建構(gòu)知識和自主探索知識.”相比傳統(tǒng)教學，課程對學生自主學習和探索知識的要求有了充分的指導性建議，筆者認為這與下列原因是分不開的.

其一，創(chuàng)造性、創(chuàng)新型人才的培養(yǎng).我們的教育從建國以來一直遵從前蘇聯(lián)的教育模式，注重基本知識和基本技能，不斷地在熟練程度上進行訓練、培養(yǎng)，這一點上放眼世界已無出其右，這鑄就了我們培養(yǎng)了大量機械化的熟練操作工，推動經(jīng)濟發(fā)展的同時也帶來了國家戰(zhàn)略層面的深思.近日，蘋果公司市值首次突破7000億美元，一個僅僅靠幾款電子產(chǎn)品的科技公司，卻成為世界最大的科技公司，其創(chuàng)新的產(chǎn)品和精益求精的工藝成為推動其發(fā)展的源泉.這是擁有大量熟練機械工的富士康永遠無法做到的.

其二，數(shù)學教學要有別于傳統(tǒng)的改變.傳統(tǒng)教育一直以教師為核心，不太注重學生對所學知識的感受和接受，這種教育方式在培養(yǎng)情感和動手能力方面存在重大的缺失.新課程致力于不同層次的學生學習不同層次要求的數(shù)學，并注重通過實踐感知去認識所需要的數(shù)學，這一點結(jié)合教師所屬的學情可以進行良好的教學實際實施.

其三，數(shù)學實踐在于培養(yǎng)動手、思維和探索方面的驅(qū)動力.數(shù)學實踐包括很多，諸如解題、講題、說題、探索、研究性學習、數(shù)學實驗等，通過多元化的學習手段讓學生擁有學習數(shù)學的興趣，為培養(yǎng)其自主學習、積極思維開拓一定的可能性.鑒于上述緣由，筆者認為新課程理念下的數(shù)學教學，要積極加強學生的數(shù)學實踐探索.

一、課堂教學的實踐探索

要改變課堂教學，筆者認為需要加強學生對數(shù)學知識、數(shù)學問題解決的參與度，因此課堂教學中教師要積極改變教學的方式，提高學生參與數(shù)學實踐的可行性，從課堂教學中向?qū)W生滲透自主探索的重要性、建構(gòu)知識的可行性.

案例1：“對數(shù)”概念的課堂教學實踐探索.

（1）問題情境.

①某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果分裂一次需要1分鐘，那么4分鐘后，一個細胞分裂成多少個細胞？

②某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)的剩留量是原來的84%，寫出這種物質(zhì)的剩留量關于時間的關系式.

（2）學生探索實踐.

以上問題是已知底數(shù)和指數(shù)的值，求冪的問題，即指數(shù)式ab=N中，已知a和b的值，求N的值.現(xiàn)在，我們再來看問題情境中的兩個問題.

①請問經(jīng)過了多長時間一個細胞分裂成了128個？2x=128?x=？

②經(jīng)過多少年這種物質(zhì)的剩留量為原來的一半？0.84x=0.5?x=？

以上問題是已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)的問題，即指數(shù)式ab=N中，已知a和N的值，求b的值.那么在0.84x=0.5中的x有解嗎？解唯一嗎？怎么表示？

學生活動：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知方程0.84x=0.5的解存在且唯一.

（3）自主建構(gòu).

師：怎么表示呢？稱x是以0.84為底0.5的對數(shù).0.84叫做對數(shù)的底數(shù)，0.5叫做真數(shù)，log就是一個符號，就好比方程x3=2的根我們用表示一樣.那么，在前面我們提到的27=128中的7，24=16中的4分別可以表示為？

生：7=log2128，4=log216.

師：一般地，如果a（a＞1，a≠1）的b次冪等于N，即ab= N，那么b如何用a和N來表示呢？

生：logaN=b.

師：這就是我們今天要給大家介紹的對數(shù)的定義，請同學們看課本第72頁藍底部分.

師：在指數(shù)式ab=N和對數(shù)式logaN=b中，a，b，N的名稱有什么變化？N的取值范圍是什么？

生：如圖1所示（.老師書寫，投影儀展示）

圖1

由對數(shù)的定義可知，我們可以將指數(shù)式化為對數(shù)式，請同學們將下列指數(shù)式化為對數(shù)式（略）.

說明：從學生參與對數(shù)概念的形成過程，利用細胞分裂、物質(zhì)衰變等參與數(shù)學概念的形成和數(shù)學實踐問題的探索，將實際問題引入到數(shù)學知識的建構(gòu)中去，對于學生而言是一種數(shù)學實踐在課堂教學中的具體體現(xiàn)，也是教學中體現(xiàn)數(shù)學實踐最廣泛的地方，最值得教師在教學過程中進行精心設計，讓學生積極參與實踐.

二、說題教學的實踐探索

學生說題，是近年來對于數(shù)學解題教學中新出現(xiàn)的一種學生解題探索方式.諸多文獻在這一方面做出了一定的嘗試，筆者認為學生說題要關注的是：其一，問題所運用知識的正確性；其二，問題解決是否正確；其三，從一類問題能否聯(lián)想相關類似問題的解決等，這種說題訓練對于學生數(shù)學實踐的嘗試、問題本質(zhì)的探索是大有益處的.

案例2：過拋物線y2=4x焦點的直線l，與拋物線相交于A、B兩點.設線段AB的中點為P，若點P到準線的距離是3，則直線l的斜率是_________.

生甲：本題是典型的拋物線焦點弦問題.我的處理方式是：考慮到中點，我想到利用點差法-x1-x2，則

生乙：設過焦點的直線AB的方程為y=k（x-1），用聯(lián)立方程組和韋達定理解決，這是我認為比較常規(guī)的方法，比較適合求解一般解析幾何問題.

從分析結(jié)果(見圖8)來看：加強筋高度在一定范圍內(nèi)變動(高度變動范圍受限)，不同狀態(tài)下不均勻收縮影響差異很少，對整體翹曲變形影響較小。

師：同學們通過自身的實踐，對于本問題既發(fā)現(xiàn)了一般性的通法通解，也想到了利用性質(zhì)解決問題，從同學們解決問題來看，對拋物線焦點弦的一般處理掌握得不錯.

說明：本題設計常規(guī)，拋物線焦點弦是考查的重點，本題的說題處理方式既有點差法的常規(guī)處理、也有弦長相關的方式處理，更有一般性質(zhì)的運用，從這里看出學生對于本題的處理其實并不亞于教師的方式方法，鼓勵學生對問題進行說、做、思，讓學生在解決問題的過程中產(chǎn)生了思維的發(fā)散性和自發(fā)性，多利用說題有利于學生，尤其是優(yōu)秀學生思維的開拓，久而久之也將提升教師對新課程教學的理解和實施.

三、數(shù)學實驗的實踐探索

新課程中的數(shù)學教學，也可以依賴信息化時代的工具進行數(shù)學實驗的嘗試，這種基于CAI的教學并通過學生親自進行的數(shù)學操作實踐，對于其理解數(shù)學問題、掌握數(shù)學知識有一定的探索價值.

案例3：Rt△ABC的兩直角邊都是區(qū)間（0，1）上的隨機數(shù)，試求斜邊長小于的概率.

學生對問題的理解不完全基于等可能，因此學生常見的錯解如下：

錯解：設兩直角邊分別為x、y（0＜x，y＜1），由題意，0＜為事件A，為了使計算簡便，令m=x2，n=y2，則上述條件變?yōu)?＜m＜1，0＜n＜1，事件A發(fā)生的條件，如圖3所示，則

圖3

辨析：初看學生錯解并無特別明顯的問題.學生喜歡運用一一對應的方式，將復雜的問題進行簡單化，這是數(shù)學學習過程中常見的換元思想的體現(xiàn)，值得推薦！這其中到底產(chǎn)生了何種變換錯誤，導致兩種解答并不一致呢？我們細細回看題意：本題要求兩直角邊x、y是區(qū)間（0，1）內(nèi)的隨機數(shù)，因此點（x，y）落在正方形區(qū)域內(nèi)任一點處都是等可能的；如果強行對兩直角邊x、y進行換元變換，表面上看似一一對應簡化了計算，但在變換過程中產(chǎn)生了一個非常隱蔽和巨大的變化，卻又無法讓師生明顯察覺：變換后的點（m，n）落入正方形區(qū)域內(nèi)不是等可能的！

很多學生產(chǎn)生了質(zhì)疑，教師為讓學生對本題等可能變化有一個更直觀的認識，筆者建議使用CAI中的Excel VBA設計一個程序，來闡述一一對應與等可能并非有必然聯(lián)系！步驟如下：

（1）第一列記為橫坐標x，選中A1格，利用Excel自帶函數(shù)Rand，填寫為Rand（0，1），自動產(chǎn)生一個隨機數(shù)，按住右下角拖動至A3000，產(chǎn)生3000個隨機數(shù)；

（2）同理：第二列記為縱坐標y，選中B1格，產(chǎn)生3000個隨機數(shù)；

（3）第三列記為橫坐標x2，選中C1格，計算“= A1*A1”，按住右下角拖動至A3000，產(chǎn)生3000個隨機數(shù)；

（4）同理：第四列記為縱坐標y2，選中D1格，計算3000個隨機數(shù)；

（5）選中A、B兩列，插入—圖表—散點圖，得到（x，y）均勻分布于圖4；

（6）選中C、D兩列，插入—圖表—散點圖，得到（x2，y2）非均勻分布于圖5.

圖4

圖5

說明：通過以上CAI的數(shù)學實驗，師生一起感受到了變量的一一對應，并進行換元并非完全是等可能實現(xiàn)的，因此在概率中必須以研究等可能為第一準則，在等可能下的概率才是符合中學概率要求的.

四、結(jié)束語

數(shù)學實踐的探索有很多的方式，可以從課堂教學、解題教學、說題嘗試、數(shù)學實驗、研究性學習等方面入手.新課程力主學生自主對數(shù)學學習的過程進行充分的實踐，而不完全依賴于數(shù)學形式化結(jié)果的掌握.從國家十二五對教育規(guī)劃的指導意見來看，中學教育致力于向動手、實踐、操作和研究做轉(zhuǎn)型，不再將傳統(tǒng)的熟練、記憶、模仿作為首要發(fā)展目標，這也是體現(xiàn)國家層面的戰(zhàn)略要求：即將精英教育和大眾教育共同發(fā)展，這是時代的需要.

筆者認為，面對高中數(shù)學教學而言，教師可以從上述闡述的三個方面做一些開拓性的嘗試，在新一輪課改即將到來之際，教師努力將自身的思維意識提高到操作層面，為適應課程改革和教學新型模式做出自己的一些探索.本文從課堂教學的實踐探索、說題教學的實踐探索與數(shù)學實驗的實踐探索進行了案例說明和分析，限于篇幅未在數(shù)學研究性學習、動手操作實踐等方面進行涉及和展開，請讀者以本文之磚給出更有見解之玉.

1.劉薇.綠燈式教學的實踐［J］.中小學數(shù)學（高中版），2012（5）.

2.金秀青.說題——讓數(shù)學課堂更精彩［J］.中學數(shù)學（上），2009（11）.

3.沈恒.兩道幾何概型趣題［J］.數(shù)學通訊，2011（6）.

4.何宗羅.整體凸顯結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題引領［J］.教學月刊，2012（4）.FH