橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾個亮點

于彩俠

【摘要】筆者參加學(xué)校組織的講課大賽的準(zhǔn)備工作中，對《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)進行了深度挖掘。本文從導(dǎo)入問題體現(xiàn)特色、分析方程加強運算（構(gòu)造方程，等量代換，化簡方程，注重形式、做好鋪墊，思維拓展）、數(shù)形結(jié)合直觀解題思想等幾個方面，分析了《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)知識的幾個亮點，展現(xiàn)了一些重要的數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造思想 思維方法 代換

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0127-02

若能夠恰當(dāng)?shù)倪\用課程資源，精當(dāng)?shù)脑O(shè)計適合學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，進行探究性、研究性的教學(xué)，則課堂教學(xué)不僅有利于學(xué)生掌握本節(jié)的基本內(nèi)容，而且能激發(fā)學(xué)生的探索性和求知欲，從而達到很好的教學(xué)效果。前階段，筆者有幸參加了本學(xué)校組織的青年教師講課大賽，接到參賽通知之后，翻看了一下自己所任學(xué)科的進度，到比賽時，教學(xué)進度應(yīng)該在橢圓那一單元，于是，沒有太多的思考就選擇了《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)，想著本節(jié)就一個定義兩個方程，前期的準(zhǔn)備工作和比賽過程應(yīng)該比較輕松，但是，深度的挖掘之后，發(fā)現(xiàn)內(nèi)容并非自己想象的那么淺顯、單一，本節(jié)涵蓋了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。經(jīng)過一番努力，此次大賽中，筆者受益匪淺，對本節(jié)中的幾處亮點感觸頗深，下面就談?wù)劚竟?jié)的一些亮點，以期拋磚引玉。

亮點一：導(dǎo)入問題，體現(xiàn)特色

課堂前期，學(xué)生用自己準(zhǔn)備的工具——筆、繩子、紙板畫出圓，回憶了圓的定義，然后再用工具按照一定的要求畫出橢圓，從而給出橢圓的定義。運用類比高中研究圓的性質(zhì)的方法進一步研究橢圓的性質(zhì)。初中學(xué)習(xí)圓的知識時，主要運用定理、公理以及結(jié)合題設(shè)來解決圓的相關(guān)問題，在高中用的是解析法學(xué)習(xí)圓的知識，先建立坐標(biāo)系，然后得出圓的方程，再運用所得方程去研究圓的有關(guān)性質(zhì)，即用代數(shù)方法解決幾何問題，為了更好的研究橢圓的性質(zhì)，類比高中研究圓的性質(zhì)的方法，也用解析法，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得出橢圓的方程，再研究橢圓的性質(zhì)。這一教學(xué)環(huán)節(jié)，使學(xué)生明白了接下來為什么要推導(dǎo)學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解了解析幾何的含義——用代數(shù)方法解決幾何問題。解析幾何的試題年年有，年年變化，但是萬變不離其宗的是對解析幾何思想和坐標(biāo)法的考查，《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一節(jié)的學(xué)習(xí)展開過程就是解析幾何整個課程的一個經(jīng)典縮影，最能體現(xiàn)出解析幾何的特色。

亮點二：分析方程，加強運算

根據(jù)解析幾何中求曲線方程的步驟和方法求出橢圓的方程：

（1）焦點在x軸上：■+■=2a（a>c>0）；

（2）焦點在y軸上：■+■=2a（a>c>0）.

對于這樣比較復(fù)雜的方程，應(yīng)該怎樣化簡呢？學(xué)生自由化簡時，由于學(xué)生在上課之前對本節(jié)都已經(jīng)預(yù)習(xí)了，所以學(xué)生都按照教材上的方法進行化簡的，運算復(fù)雜，運算量大。由于課堂上時間有限，在課外時間，筆者和學(xué)生一起探討了其它化簡方程的方法。

1.方法引入：構(gòu)造方程，等量代換

在學(xué)習(xí)必修一函數(shù)時，有這樣的類型題目：已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+2f（■）=2x，求函數(shù)f（x）的解析式。本題中可以把f（x）+2f（■）=2x看成關(guān)于f（x）和f（■）的方程，則一個方程是不能求出兩個未知量的，必須再構(gòu)造一個方程，即運用代換思想，得到f（■）+2f（x）=■，解方程組f（x）+2f（■）=2xf（■）+2f（x）=■，從而求出f（x）的解析式。例如題目：已知偶函數(shù)f（x）、奇函數(shù)g（x）滿足關(guān)系式f（x）+g（x）=x2+2x，也是用類似的方法解決。

2.化簡方程

（1）焦點在x軸上（構(gòu)造方程）

由以上例子得到啟發(fā)，在化簡橢圓方程時，把■和■分別看做兩個未知量，再構(gòu)造一個對偶式的方程■-■=M（？鄢），與原方程左右對應(yīng)相乘，得出M=■，（？鄢）式再與原方程相加，消去一個根號，得■=■+a，然后兩邊平方即可得到橢圓的方程為■+■=1。此化簡方程的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的構(gòu)造思想方法。

所要化簡的方程對稱優(yōu)美，結(jié)構(gòu)和諧，乍看無從下手，但抓住方程的對稱情況，構(gòu)造出新的方程，則能更簡單的解決出問題。

（2）焦點在y軸上（代換思想）

化簡焦點在y軸上時的方程時，不必重復(fù)上述化簡的過程，把此方程與焦在x軸上的方程對比，發(fā)現(xiàn)兩個方程形式相同，不同之處就是把x和y對調(diào)了一下位置，所以最終化簡的結(jié)果也即是x和y的位置對調(diào)。代換的方法是一種典型的解題方法，應(yīng)用于等量代換、不等量代換、變量代換、三角函數(shù)代換等知識領(lǐng)域。解題時，根據(jù)知識的內(nèi)在聯(lián)系，轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系，從而簡化整個解題過程。

3.注重形式，做好鋪墊

數(shù)學(xué)教材中，各節(jié)內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣，層層加深，橢圓的方程化簡到■+■=1時，讓學(xué)生從所建坐標(biāo)系的圖中找出表示a，c，■的線段，表示這三個量的線段恰巧是直角三角形的三條邊，令一直角邊的長■=b（b>0），則得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，方程簡單整齊，而且為下一節(jié)進一步研究橢圓的性質(zhì)做了鋪墊。由于引入了量b，性質(zhì)中的范圍、定點、軸等，表示的時候很方便，大大簡化了一些運算量。

4.思維拓展

筆者曾在一文章中看到作者對一道經(jīng)典試題的探究，亦覺得很感興趣，對此欣賞不已。

題：若（■+x）（■+y）=1，證明：x+y=0.

解析：根據(jù)題目條件的對稱性，設(shè)（■-x）（■-y）=M，

與原式對應(yīng)相乘，則M=1，即（■-x）（■-y）=1，

因為（■+x）（■-x）=1，

與原式對比，得到■-x=■+y.

設(shè)函數(shù)f（x）=■-x，顯然該函數(shù)為減函數(shù)，

則有f（x）=f（-y），從而x=-y，x+y=0.

本解題思路體現(xiàn)了函數(shù)和方程中的構(gòu)造和代換的思想方法。

課外時間和學(xué)生一起如此的探討，能夠大大調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求知欲，提升學(xué)生的解題技能，增強學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的形式美、本質(zhì)美。

亮點三：數(shù)形結(jié)合，直觀解題

華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”。數(shù)形結(jié)合這一重要思想貫穿了高中整個數(shù)學(xué)，它把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，往往使復(fù)雜問題簡單化，到達優(yōu)化解題的目的。本節(jié)由橢圓的圖形利用解析法得到了橢圓的方程，實現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)變，若已知了“數(shù)”，通過觀察分析，有時也會得到我們所熟悉的“形”。例如：求方程■+■=8所表示的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。若按部就班的化簡，顯然走了彎路，若從方程的含義出發(fā)，動點（x，y）的軌跡為橢圓，得出相應(yīng)的數(shù)a=4，c=3，很快就求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

在教學(xué)中，營造氛圍，引導(dǎo)學(xué)生開展問題探究，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的解題能力，重本真教學(xué)，輕形式教學(xué)，即讓學(xué)生透徹理解數(shù)學(xué)概念的成因，把握數(shù)學(xué)思想方法的原理，不僅要讓學(xué)生知其然，更讓學(xué)生知其所以然，這是一位教師應(yīng)有的教學(xué)智慧。在本節(jié)中，筆者不僅讓學(xué)生掌握了橢圓的定義和兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，而且把以上分析的思想方法滲透到了教學(xué)當(dāng)中，學(xué)生興致高漲，通過師生、生生之間的合作、交流、探討，學(xué)生感悟出了源于教材且高于教材的豐富知識。

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