Hom-L-dendriform代數(shù)與Hom-L-quadri代數(shù)

安慧輝, 王治淳, 薛 晨

Hom-L-dendriform代數(shù)與Hom-L-quadri代數(shù)

安慧輝, 王治淳, 薛 晨

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116029)

Hom-L-dendriform代數(shù)和Hom-L-quadri代數(shù)分別是由L-dendriform代數(shù)和L-quadri代數(shù)通過(guò)代數(shù)形變得出的。引入Hom-L-dendriform代數(shù)和Hom-L-quadri代數(shù)的定義,給出了利用L-dendriform代數(shù)以及L-dendriform代數(shù)上的代數(shù)同態(tài)構(gòu)造Hom-L-dendriform代數(shù)的方法,同時(shí)給出利用L-quadri代數(shù)以及L-quadri代數(shù)上的代數(shù)同態(tài)構(gòu)造Hom-L-quadri代數(shù)的方法,最后給出Hom-pre-Lie代數(shù)、Hom-L-dendriform代數(shù)和Hom-L-quadri代數(shù)之間的關(guān)系。

Hom-pre-Lie代數(shù);Hom-L-dendriform代數(shù);Hom-L-quadri代數(shù)

0 引 言

Dendriform代數(shù)是一類(lèi)重要的Loday代數(shù)[1],Quadri代數(shù)是由Aguiar和Loday引入的,也是一類(lèi)常見(jiàn)的Loday代數(shù)。Loday代數(shù)的種類(lèi)有很多,例如NS代數(shù)[2]、octo代數(shù)、dendriform-Nijenhuis代數(shù)[2]等。概括來(lái)說(shuō),Loday代數(shù)是一系列具有“分裂結(jié)合性”的代數(shù),與Lie代數(shù)、組合學(xué)、量子場(chǎng)論和同調(diào)論等領(lǐng)域密切相關(guān),近年來(lái)的發(fā)展極為迅速,已被廣泛而深入地研究。L-dendriform代數(shù)[3]可以看作是dendriform代數(shù)的Lie代數(shù)類(lèi)似結(jié)構(gòu),L-quadri代數(shù)則可以看作是Quadri代數(shù)的Lie代數(shù)類(lèi)似結(jié)構(gòu)。Lie代數(shù)是由結(jié)合代數(shù)的換位運(yùn)算給出的,pre-Lie代數(shù)[4]是由dendriform代數(shù)的某種換位運(yùn)算給出的。同樣的,L-dendriform代數(shù)也可以給出pre-Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)。結(jié)合代數(shù)、Dendriform代數(shù)與Quadri代數(shù)存在如下關(guān)系:

結(jié)合代數(shù)←Dendriform代數(shù)←Quadri代數(shù)

類(lèi)似的,Lie代數(shù)、pre-Lie代數(shù)、L-dendriform代數(shù)與L-quadri代數(shù)有如下關(guān)系:

Lie代數(shù)←Pre-Lie代數(shù)←L-dendriform代數(shù)

←L-quadri代數(shù)

本文先介紹了Hom-L-dendriform代數(shù)的定義,研究了Hom-L-dendriform代數(shù)與L-dendriform代數(shù)之間的關(guān)系,以及Hom-L-dendriform代數(shù)與Hom-pre-Lie代數(shù)、Hom-Lie代數(shù)之間的關(guān)系。然后介紹了Hom-L-quadri代數(shù)的定義,給出了Hom-L-quadri代數(shù)與L-quadri代數(shù)之間的關(guān)系,以及Hom-pre-Lie代數(shù)、Hom-L-dendriform代數(shù)以及Hom-L-quadri代數(shù)之間的關(guān)系。

1 基本結(jié)論

定義1.1[5]假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,[,]是A上的代數(shù)運(yùn)算,且[,]是雙線(xiàn)性的,α:A→A是代數(shù)同態(tài),若?x,y,z∈A,有

則稱(chēng)(A,[,],α)是Hom-Lie代數(shù)。

定義1.2[4]假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,?是A上的代數(shù)運(yùn)算,且?是雙線(xiàn)性的,若?x,y,z∈A,

則稱(chēng)(A,?)是pre-Lie代數(shù)。

定義1.3[5]假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,?是A上的代數(shù)運(yùn)算,且?是雙線(xiàn)性的,α:A→A是代數(shù)同態(tài),若?x,y,z∈A,有

則稱(chēng)(A,?,α)是Hom-pre-Lie代數(shù)。

命題1.1[5]設(shè)(A,?,α)是Hom-pre-Lie代數(shù),定義

則(A,[,],α)是一個(gè)Hom-Lie代數(shù),稱(chēng)為A的相關(guān)Hom-Lie代數(shù),記作g(A)。

定義1.4[3]假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,?,?是2個(gè)A?A→A上的雙線(xiàn)性運(yùn)算,如果對(duì)?x,y,z∈A,滿(mǎn)足

其中

則稱(chēng)(A,?,?)為L(zhǎng)-dendriform代數(shù)。

定義1.5[6]假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,↘,↗,↖,↙是4個(gè)A?A→A上的雙線(xiàn)性運(yùn)算,如果對(duì)?x,y,z∈A滿(mǎn)足

其中

則稱(chēng)(A,↘,↗,↖,↙)為L(zhǎng)-quadri代數(shù)。

2 Hom-L-dendriform代數(shù)

定義2.1假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,?,?是2個(gè)A?A→A的雙線(xiàn)性運(yùn)算,α:A→A是代數(shù)同態(tài),如果對(duì)?x,y,z∈A滿(mǎn)足

其中

則稱(chēng)(A,?,?,α)為Hom-L-dendriform代數(shù)。

命題2.1假設(shè)(A,?,?)是L-dendriform代數(shù),α:A→A是代數(shù)同態(tài),令α??=?α,α??=?α,則(A,?α,?α,α)是Hom-L-dendriform代數(shù)。

證令α?·=·α,由已知

因此,(A,?α,?α,α)是Hom-L-dendriform代數(shù)。

命題2.2假設(shè)(A,?,?,α)為Hom-L-dendriform代數(shù),

(1)如果定義

則(A,≥,α)是一個(gè)Hom-pre-Lie代數(shù),稱(chēng)(A,≥, α)為(A,?,?,α)的相關(guān)水平Hom-pre-Lie代數(shù)。

(2)如果定義

則(A,≤,α)是一個(gè)Hom-pre-Lie代數(shù),稱(chēng)(A,≤, α)為(A,?,?,α)的相關(guān)垂直Hom-pre-Lie代數(shù)。

(3)(A,?,?,α)的相關(guān)垂直與水平Hompre-Lie代數(shù)(A,≤,α)和(A,≥,α)有共同的Hom-Lie代數(shù)g(A),括積運(yùn)算為

[x,y]=x?y+x?y-y?x-y?x,?x,y∈A,稱(chēng)此Hom-Lie代數(shù)為(A,?,?,α)的相關(guān)Hom-Lie代數(shù)。

證由于(1),(2)的證明相似,因此只給出(1)的證明。

由Hom-L-dendriform代數(shù)定義,可以得到

所以,(A,≥,α)是一個(gè)Hom-pre-Lie代數(shù)。

由(1),(2)以及“命題1.1”即可推出(3)。

3 Hom-L-quadri代數(shù)

定義3.1假設(shè)A是一個(gè)線(xiàn)性空間,↘,↗,↖,↙是4個(gè)A?A→A上的雙線(xiàn)性運(yùn)算,α:A→A是代數(shù)同態(tài),如果對(duì)?x,y,z∈A滿(mǎn)足

其中

則稱(chēng)(A,↘,↗,↖,↙,α)為Hom-L-quadri代數(shù)。

命題3.1假設(shè)(A,↘,↗,↖,↙)是L-quadri代數(shù),α:A→A是代數(shù)同態(tài),令α?↘=↘α,α?↗=↗α,α?↖=↖α,α?↙=↙α,則(A,↘α,↗α,↖α,↙α,α)是Hom-L-quadri代數(shù)。

證令α??=?α,α??=?α,α?∨=∨α, α?∧=∧α,α?*=*α,由Hom-L-quadri代數(shù)定義,

同理可證“命題3.1”的剩余4個(gè)條件。因此,(A,↘α,↗α,↖α,↙α,α)是Hom-L-quadri代數(shù)。

命題3.2假設(shè)(A,↘,↗,↖,↙,α)為Hom-L-quadri代數(shù),

(1)如果?x,y∈A,定義

則(A,?,?,α)是一個(gè)Hom-L-dendriform代數(shù),稱(chēng)(A,?,?,α)為(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)垂直Hom-L-dendriform代數(shù)。

(2)如果?x,y∈A,定義

則(A,∨,∧,α)是一個(gè)Hom-L-dendriform代數(shù),稱(chēng)(A,∨,∧,α)為(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)深度Hom-L-dendriform代數(shù)。

(3)如果?x,y∈A,定義

則(A,?,?,α)是一個(gè)Hom-L-dendriform代數(shù),此時(shí)稱(chēng)(A,?,?,α)為(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)水平Hom-L-dendriform代數(shù)。

證由于(1),(2),(3)的證明相似,因此只給出(3)的證明。

由Hom-L-quadri代數(shù)的定義,可得到

同理

所以,(A,?,?,α)是一個(gè)Hom-L-dendriform代數(shù)。

推論3.1(A,↘,↗,↖,↙,α)是Hom-L-quadri代數(shù),

(1)如果?x,y∈A,定義

則(A,≥,α)是一個(gè)Hom-pre-Lie代數(shù),(A,≥,α)是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)水平Hom-L-dendriform代數(shù)(A,?,?,α)的相關(guān)水平Hom-pre-Lie代數(shù),是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)垂直Hom-L-dendriform代數(shù)(A,?,?,α)的相關(guān)水平Hom-pre-Lie代數(shù),是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)深度Hom-L-dendriform代數(shù)(A,∨,∧,α)的相關(guān)水平Hom-pre-Lie代數(shù)。

(2)如果?x,y∈A,定義

則(A,≤,α)是一個(gè)Hom-pre-Lie代數(shù),(A,≤,α)是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)水平Hom-L-dendriform代數(shù)(A,?,?,α)的相關(guān)垂直Hom-pre-Lie代數(shù),是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)垂直Hom-L-dendriform代數(shù)(A,?,?,α)的相關(guān)垂直Hom-pre-Lie代數(shù),是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)深度Hom-L-dendriform代數(shù)(A,∨,∧,α)的相關(guān)垂直Hom-pre-Lie代數(shù)。

(3)如果?x,y∈A,定義

則(A,[,],α)是Hom-Lie代數(shù),是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)水平Hom-L-dendriform代數(shù)(A,?,?,α)的相關(guān)Hom-Lie代數(shù),是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)垂直Hom-L-dendriform代數(shù)(A,?,?,α)的相關(guān)Hom-Lie代數(shù),也是(A,↘,↗,↖,↙,α)的相關(guān)深度Hom-L-dendriform代數(shù)(A,∨,∧,α)的相關(guān)Hom-Lie代數(shù)。

證由“命題3.2”“命題2.2”和“命題1.1”即可推出。

[1]AGUIAR M,LODAY J L.Quadri-algebras[J]. Journal of Pure and Applied Algebra,2004,191:205-221.

[2]LEROUX P.Construction of Nijenhuis operators and dendriform trialgebras[J].International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences,2004,49: 2595-2615.

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Hom-L-dendriform algebras and Hom-L-quadri algebras

AN Huihui, WANG Zhichun, XUE Chen
(School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,China)

Hom-L-dendriform algebras and Hom-L-quadri-algebras are the deformation of L-dendriform algebras and L-quadri-algebras respectively.The definition of Hom-L-dendriform algebra and Hom-L-quadri-algebra was introduced,and the method constructing Hom-L-dendriform algebra by an L-dendriform algebra and an algebra homomorphism,together with the method constructing Hom-L-quadri-algebra by an L-quadri-algebra and an algebra homomorphism were given.After that, the relationship among Hom-pre-Lie algebra,Hom-L-dendriform algebra and Hom-L-quadri-algebra were got.

Hom-pre-Lie algebra;Hom-L-dendriform algebra;Hom-L-quadri algebra

O152.5

:A

文章編號(hào):1674-1404(2015)05-0387-04

2014-11-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471151).

安慧輝(1981-),女,副教授.