基于PI控制的雙慣量彈性系統(tǒng)機械諧振的抑制

王璨，楊明，徐殿國

（哈爾濱工業(yè)大學電氣與自動化工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

實際伺服驅(qū)動系統(tǒng)中的機械傳動部分由于彈性的存在必然會帶來機械諧振，機械諧振會導致系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、機械裝置等共同振蕩。因此，機械振蕩的研究以及抑制方法已經(jīng)成為提高伺服驅(qū)動系統(tǒng)性能的一個重要課題［1］。

當今伺服驅(qū)動系統(tǒng)中，主要有兩大類抑制機械諧振的措施，即被動方式和主動方式。被動方式就是在速度環(huán)輸出與電流環(huán)給定之間插入陷波濾波器，而控制系統(tǒng)其它設(shè)計不變［2-4］。主動方式就是主動改變控制器參數(shù)或控制器結(jié)構(gòu)用以消除諧振影響。主動方式可分為單純PI控制（雙自由度PI控制、RRC）［5-8］、基于PI的狀態(tài)反饋控制［9-10］、其它高級算法應(yīng)用［11-12］等多種方案。文獻［6］采用單純PI控制的主動諧振抑制方式，推導出單純使用IP控制器的整定公式，并得到系統(tǒng)動態(tài)特性受負載/電機慣量比制約這一重要結(jié)論。本文在文獻［6］的基礎(chǔ)上，主要針對基于傳統(tǒng)PI控制的雙慣量彈性系統(tǒng)，首先建立其數(shù)學模型并推導傳遞函數(shù)；然后通過Simulink 仿真，對比剛性與彈性系統(tǒng)在未經(jīng)優(yōu)化PI參數(shù)下的階躍響應(yīng)；最終，利用3種極點配置法來優(yōu)化控制器參數(shù)，從而達到諧振抑制的作用。

1 雙慣量彈性系統(tǒng)建模

圖1所示為雙慣量彈性系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)圖。

圖1中，電機和執(zhí)行機構(gòu)通過傳動軸系連接，傳動軸系具有一定的抗扭剛度Ks且其阻尼系數(shù)為D。當傳動軸系發(fā)生扭轉(zhuǎn)形變時軸系將產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩Ts，轉(zhuǎn)矩的大小受到軸系電機端與執(zhí)行機構(gòu)端旋轉(zhuǎn)角的差值和軸系的機械阻尼影響。伺服驅(qū)動器控制電機運行，為電機的轉(zhuǎn)軸提供電磁轉(zhuǎn)矩Te。電機端電磁轉(zhuǎn)矩Te和傳動軸系轉(zhuǎn)矩Ts作用于轉(zhuǎn)動慣量J1、阻尼系數(shù)C1的電機轉(zhuǎn)軸，對其速度產(chǎn)生影響。在執(zhí)行機構(gòu)端，執(zhí)行機構(gòu)具有大小為J2的等效轉(zhuǎn)動慣量以及阻尼系數(shù)C2，傳動軸系轉(zhuǎn)矩Ts與負載轉(zhuǎn)矩TL共同作用于執(zhí)行機構(gòu)，最終決定了執(zhí)行機構(gòu)的轉(zhuǎn)速。

根據(jù)以上理論分析，建立如下微分方程組：

為了進一步分析機械模型，建立機械模型的框圖和傳遞函數(shù)，需要對以上微分方程組進行拉普拉斯變換，同時忽略對系統(tǒng)影響較小的阻尼系數(shù)。由此可得化簡后基于PI 控制的雙慣量彈性系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 帶PI控制器的雙慣量彈性系統(tǒng)框圖Fig.2 Two-inertia elastic system block diagram with PI controller

由圖2可求得以下3個傳遞函數(shù)：

式中：ωa為抗諧振頻率；ω0為固有諧振頻率；R為負載/電機的慣量比。

它們的定義如下：

式（2）為機械系統(tǒng)驅(qū)動電機輸出轉(zhuǎn)速到給定轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)；式（3）為負載側(cè)轉(zhuǎn)速到給定轉(zhuǎn)速的傳遞函數(shù)，即為系統(tǒng)整體的傳遞函數(shù)；式（4）為負載側(cè)輸出轉(zhuǎn)速到擾動轉(zhuǎn)矩的傳遞函數(shù)。

2 無諧振抑制的仿真對比

仿真完成于圖2 所示的伺服驅(qū)動系統(tǒng)模型中。驅(qū)動電機額定功率為750 W，額定轉(zhuǎn)矩為2.39 N·m，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min；傳動軸扭轉(zhuǎn)彈性系數(shù)Ks為6.6 N·m/rad；負載轉(zhuǎn)動慣量J2為7.5×10-5kg·m2；驅(qū)動電機給定轉(zhuǎn)速為20 rad/s；系統(tǒng)突加負載為2.4 N·m，于0.1 s后加入。式（7）表明，當慣量比給定，驅(qū)動電機轉(zhuǎn)動慣量由負載轉(zhuǎn)動慣量決定。首先，實驗做于純剛性雙慣量系統(tǒng)中，此時的系統(tǒng)框圖有所改變，如圖3所示。

圖3 純剛性雙慣量系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of two-inertia system without elasticity

未考慮彈性負載時，根據(jù)工程法設(shè)計得到PI調(diào)節(jié)器參數(shù)KP為0.1，Ki為80，加入到如圖3 所示的純剛性系統(tǒng)中，在慣量比R=1，2時分別進行仿真實驗，負載側(cè)角速度階躍響應(yīng)如圖4a 所示。

方便起見，仍取KP為0.1，Ki為80。與上面仿真不同的是，此時將參數(shù)加入到實際考慮彈性的系統(tǒng)模型中，框圖見圖2。該仿真實驗分別在慣量比R=1，2時完成，負載側(cè)角速度階躍響應(yīng)如圖4b所示。

圖4 階躍響應(yīng)Fig.4 Step response

可見，未考慮彈性負載而根據(jù)工程法設(shè)計得到的PI調(diào)節(jié)器參數(shù)對于純剛性系統(tǒng)適用，但一經(jīng)考慮實際系統(tǒng)的彈性，就會帶來很大的振蕩。下面，將利用極點配置法來優(yōu)化PI 參數(shù)，適當減弱系統(tǒng)機械諧振。

3 3種極點配置法的比較

3.1 基本方程的建立

利用極點配置技術(shù)來計算控制器參數(shù)KP和Ki，首先應(yīng)建立基本方程。將式（3）整理如下：

式中：ω1，ω2為自然角頻率；ζ1，ζ2為阻尼系數(shù)。整理后得到如下4個方程：

可見，式中僅存在2個可調(diào)節(jié)參數(shù)（Kp，Ki），因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的4個極點和1個零點不能得到自由配置。這里式（11）和式（12）為零極點位置的限制方程，特別是零點的位置取決于積分系數(shù)Ki。

3.2 相同半徑的極點配置法

令4個極點具有相同的半徑，零點位置在此基礎(chǔ)上自然得到，如圖5所示。ζ1與ζ2沿半徑ω1=ω2的圓形軌道移動。ζ1與ζ2決定了系統(tǒng)的超調(diào)，如圖6所示。

圖5 相同半徑的相點配置Fig.5 Pole placement with identical radius

圖6 相同半徑的系統(tǒng)超調(diào)量Fig.6 Overshoot for identical radius

當ω1=ω2時，式（11）、式（12）化簡如下：

由max（ζ1，ζ2）≤1 可知，ζ1和ζ2的乘積應(yīng)不超過1，因此從式（11）可知該極點配置法僅對R≤4的情況才是有效的。調(diào)節(jié)ζ1與ζ2，使ζ1·ζ2=（0.5～1）。圖6表明，此時系統(tǒng)超調(diào)量較大。

仿真結(jié)果在圖7 中給出，這里令ζ1=2ζ2=，在R=1與R=2做出仿真。圖7表明，當2≤R≤4 時，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)出較好的超調(diào)量；當R＜2時，系統(tǒng)表現(xiàn)出欠阻尼特性。

圖7 相同半徑法的階躍響應(yīng)Fig.7 Step responses for identical radius

3.3 相同阻尼系數(shù)的極點配置法

令4 個極點具有相同的阻尼系數(shù)，零點位置在此基礎(chǔ)上自然得到，如圖8所示。其中，ω1與ω2沿著ζ1=ζ2的虛線軌道移動。此外，隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)超調(diào)逐漸變小，如圖9所示。當ζ1≥0.7 時，系統(tǒng)的超調(diào)量低于50%；當ζ1≥0.85 時，系統(tǒng)的超調(diào)量低于40%。

圖8 相同阻尼系數(shù)的極點配置Fig.8 Pole placement with identical damping coefficient

圖9 相同阻尼系數(shù)的系統(tǒng)超調(diào)量Fig.9 Overshoot for identical damping coefficient

當兩對共軛極點的阻尼系數(shù)相等時，限定式（11）、式（12）可化簡為

ω1與ω2的表達式可直接由式（15）、式（16）得到：

由于ω1為非負實數(shù)，因此有

仿真結(jié)果見圖10。當R=1，2 時，設(shè)計ζ1=；當R=4，5時，設(shè)計ζ1=0.707。該圖表明當R≥2時，這種極點配置法可為系統(tǒng)提供較好的阻尼。

圖10 相同阻尼系數(shù)的階躍響應(yīng)Fig.10 Step responses for identical damping coefficient

3.4 具有相同實部的極點配置法

令4 個極點具有相同的實部，零點位置在此基礎(chǔ)上自然得到，如圖11所示。圖11中，ζ1與ζ2沿-ω1ζ1=-ω2ζ2的虛線路徑移動。此外，從圖12 可見，系統(tǒng)的超調(diào)量與ω2和ω1的比值有關(guān)，且隨著ζ1的增加，系統(tǒng)的超調(diào)量在不斷減小。當ζ1≥0.85時，超調(diào)量在50%以內(nèi)。當4 個極點具有相同的實部時，限定方程可簡化如下：

圖11 相同實部的極點配置Fig.11 Pole placement with identical real part

圖12 相同實部的系統(tǒng)超調(diào)量Fig.12 Overshoot for identical real part

解這2個方程，得到ω1與ω2的表達式：

不失一般性，這里規(guī)定ω1≤ωa≤ω2，可以得到：

因為ζ1≤1，于是這里限定R≤4。尤其在時，可得ω1=ω2=ωa，此時，4個極點變成兩對共軛根。

在R≠1的情況下，式（21）可變形成下式：

因為ω1是一個非負實數(shù)，于是，R和1的大小限制了ζ1的范圍。下面針對不同慣量比R的范圍給出ζ1的可調(diào)范圍。

2）慣量比R=1。對于R=1 情況，ω1簡化式可由式（20）得到：

因為ω1為非負實數(shù)，所以由式（21）與式（25）可得到0.5 ≤ζ1≤0.707。調(diào)節(jié)ζ1，使0.5 ≤ζ1≤0.707，此時，ω2與ζ2的表達式變?yōu)?/p>

這里選ζ1=0.6和0.65，仿真結(jié)果見圖13中c，d曲線。該圖表明當R=1時，系統(tǒng)體現(xiàn)出輕微的欠阻尼特性。

3）慣量比R＜1。當R＜1時，在方程（17）中令4ζ14-4ζ12+R≥0，再綜合式（19），可得ζ1的可調(diào)范圍為由此選擇仿真參數(shù)，結(jié)果見圖13 e，f 曲線所示?？梢?，當R＜1時，該系統(tǒng)表現(xiàn)出較大的超調(diào)量，且當R不斷減小時，系統(tǒng)的阻尼特性越來越差。

圖13 相同實部的階躍響應(yīng)Fig.13 Step responses for identical real part

3.5 PI與IP控制器的比較

文獻［6］中雙慣量系統(tǒng)使用IP 控制器，引入兩對共軛極點；與其相比，傳統(tǒng)PI 控制器為雙慣量4 階系統(tǒng)多引入一個零點，而此零點位置不能得以自由配置。選用文獻［6］中參數(shù)，分別對基于IP 與PI 控制的雙慣量彈性系統(tǒng)進行阻尼特性仿真比較，超調(diào)量圖形如圖14所示，可見，零點的存在可使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。在R=1時，分別做出兩種系統(tǒng)經(jīng)相同半徑的極點配置法優(yōu)化后的負載側(cè)階躍響應(yīng)，如圖15 所示?？梢?，零點的引入會帶來較大振蕩，但同時響應(yīng)速度會加快。由于PI調(diào)節(jié)器在電力拖動系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)出了本文研究的實效性。

圖14 IP與PI調(diào)節(jié)器為系統(tǒng)帶來的超調(diào)量的比較Fig.14 Comparison of system overshoot carried by IP and PI regulator

圖15 IP與PI控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的比較Fig.15 Comparison of step response between PI and IP control system

4 結(jié)論

3種不同的極點配置方案表明系統(tǒng)阻尼特性與慣量比R密切相關(guān)，針對不同的R值，應(yīng)選擇不同的極點配置方案對機械諧振進行有效抑制。當1≤R＜2，可選擇具有相同實部的極點配置法；當2≤R≤4，3種方法均可提供系統(tǒng)良好的阻尼特性；當R＞4，只可選擇相同阻尼系數(shù)的極點配置法。但當R＜1 時，3 種方法均使系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼特性。相比于IP控制，傳統(tǒng)PI控制相當于在4階系統(tǒng)基礎(chǔ)上引入一個零點，因此導致較大超調(diào)。PI 控制器只能提供2 個可調(diào)變量，無法實現(xiàn)4 階系統(tǒng)零極點的自由配置。為進一步提高系統(tǒng)的抗諧振能力，應(yīng)引入狀態(tài)反饋等控制策略來改善傳統(tǒng)PI控制器零極點無法任意配置的缺陷。

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