彈性地基上具有初始構(gòu)型的輸液管動(dòng)力穩(wěn)定性

李海港, 胡育佳, 楊善升

(1.上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093;2.北京石油化工工程有限公司上海分公司,上海 200032)

彈性地基上具有初始構(gòu)型的輸液管動(dòng)力穩(wěn)定性

李海港1, 胡育佳1, 楊善升2

(1.上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,上海 200093;2.北京石油化工工程有限公司上海分公司,上海 200032)

解決了研究彈性地基上任意初始構(gòu)型輸液曲管穩(wěn)定性的難點(diǎn).在以弧長(zhǎng)為參數(shù)的自然坐標(biāo)系中建立了彈性地基上可伸長(zhǎng)任意初始構(gòu)型輸液管道力學(xué)分析的數(shù)學(xué)模型,采用微分求積法(DQM)和分塊矩陣的方法求解輸液曲管的固有頻率以及臨界流速,研究了彈性地基和初始構(gòu)型對(duì)輸液管道動(dòng)態(tài)特性的影響.結(jié)果表明,彈性地基將增大輸液管道的臨界流速,且輸液直管初始構(gòu)型微小的變化將引起其臨界流速較大的變化.

彈性地基;輸液管道;固有頻率;臨界流速;微分求積

輸液管道的振動(dòng)問(wèn)題一直是工程問(wèn)題中的一個(gè)研究熱點(diǎn),眾多學(xué)者對(duì)輸液管道開展了廣泛的研究,考慮了不同條件下輸液管道的動(dòng)力學(xué)特性,例如脈動(dòng)流速[1]、支撐條件[2]、外部激勵(lì)[3]等對(duì)輸液管道動(dòng)力學(xué)特性的影響.在彈性地基對(duì)輸液管道動(dòng)力學(xué)特性的影響方面,王忠民等[4-5]已作了相關(guān)研究.文獻(xiàn)[4]用冪級(jí)數(shù)法計(jì)算了Winkler模型地基和雙參數(shù)模型地基輸液管道的臨界流速和復(fù)頻率,分析了彈性地基對(duì)輸液管道穩(wěn)定性的影響.文獻(xiàn)[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析了粘彈性地基上粘彈性輸液管道的穩(wěn)定性.馬小強(qiáng)等[6]利用傳遞矩陣法研究了彈性地基上任意支承輸液直管的穩(wěn)定性問(wèn)題.

以上研究都是針對(duì)輸液直管的,對(duì)于輸液曲管的研究相對(duì)較少,現(xiàn)有文獻(xiàn)主要集中在圓弧形輸液曲管的穩(wěn)定性問(wèn)題上進(jìn)行研究.李寶輝等[7]采用波動(dòng)法獲得曲管內(nèi)振動(dòng)波的傳播和反射矩陣,提出了計(jì)算輸液曲管平面內(nèi)振動(dòng)固有頻率的計(jì)算方法. Misra[8-9]等使用有限元方法研究了圓弧形輸液管道的振動(dòng)特性.王琳等[10]將微分求積法推廣到圓弧形輸液曲管的振動(dòng)穩(wěn)定性分析上,在處理邊界條件時(shí),引入了輔助點(diǎn).然而,對(duì)于復(fù)雜構(gòu)型的輸液管道的分析和研究結(jié)果比較少見(jiàn).

本文建立了彈性地基上具有任意初始構(gòu)型的輸液曲管的動(dòng)力學(xué)特性分析模型,采用微分求積法和分塊矩陣的方法求解輸液曲管的固有頻率及臨界流速,分析了地基參數(shù)和管道的初始構(gòu)型對(duì)輸液管道固有頻率和臨界流速的影響.不同于文獻(xiàn)[10],在邊界條件的處理過(guò)程中,將引入獨(dú)立變量,避免了引入輔助點(diǎn)可能產(chǎn)生的問(wèn)題.研究發(fā)現(xiàn),彈性地基和輸液管道的初始構(gòu)型對(duì)輸液管道的臨界流速的影響比較顯著.

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 曲管變形前后的示意圖Fig.1 Initial and deformed configurations of a curved pipe

式中,R1(s)-1為軸線的伸長(zhǎng)率;θ=θ(s,t)為曲管已變形構(gòu)形上任意點(diǎn)處的切向方向與y軸的夾角.將式(1)中直角坐標(biāo)系下的位移(u,w)用弧線坐標(biāo)系下切向和法向的位移(ws,wη)來(lái)表示,可以得到

從流體和輸液管上截取長(zhǎng)度為δs的單元作為 研究對(duì)象,受力分析如圖2所示.

圖2 流體管道單元受力分析Fig.2 Force diagram of fluid and pipe elements

式中,v為流體的流速.假設(shè)輸液管道的材料是線性的,則由線彈性本構(gòu)關(guān)系可以得到

式中,w為輸液曲管的有量綱固有頻率.將式(6),(11)～(14)無(wú)量綱化得

2 求解方法

想要獲得上述問(wèn)題的嚴(yán)格通用解析解是困難的,微分求積方法將用來(lái)求解在邊界條件為式(22)下的控制方程(19),(20),(21).微分求積方法的基本原理是將函數(shù)對(duì)某方向的自變量的偏導(dǎo)數(shù)近似表達(dá)為沿自變量方向各離散點(diǎn)上相應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)和.為了保證計(jì)算精度,如果沒(méi)有特別說(shuō)明,本文將采用Chebyshev-Lobatto多項(xiàng)式零點(diǎn)的布點(diǎn)方式,取布點(diǎn)數(shù)N=21.

將式(19)～(22)離散得[12]

式中,i=2,…N-1;(··)=?(·)/?τ表示位移對(duì)無(wú)量綱時(shí)間τ的一階導(dǎo)數(shù);(···)=?2(·)/?τ2表示位移對(duì)無(wú)量綱時(shí)間τ的二階導(dǎo)數(shù);A(r)ik為第r階的權(quán)系數(shù);N1i～N11i表示N1～N11在S=Si處的離散值.當(dāng)管道內(nèi)流速恒定,流體兩端的邊界為自然流動(dòng)狀態(tài)的情況時(shí),p—A—是常量,在管道的固有頻率和臨界流速的分析中,忽略p—A—,g—的影響.由式(23)可得到如下的矩陣表達(dá)式

式中,[Φ]=[Ws2,Ws3,…,WsN-1,Wη2,Wη3,…, WηN-1]T,[M],[C],[K]分別為相應(yīng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.在求解方程(25)之前,初始構(gòu)型在x-y坐標(biāo)系統(tǒng)中為y=f(x)的輸液曲管,需要轉(zhuǎn)換到以轉(zhuǎn)角θ0(s)為參數(shù)的弧坐標(biāo)系統(tǒng)中,則分析中必須要事先獲得已知布點(diǎn)處的初始轉(zhuǎn)角值,即θ0( Si).本文將采用梯形積分和二分法數(shù)值解決這個(gè)問(wèn)題,計(jì)算流程如圖3所示.圖中,a,b分別為初始構(gòu)型中變量x的上、下限;Si為無(wú)量綱弧長(zhǎng)坐標(biāo)上的坐標(biāo)點(diǎn);Xi為坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x軸坐標(biāo).

圖3 采用弧長(zhǎng)來(lái)表示轉(zhuǎn)角的計(jì)算流程圖Fig.3 Calculation process of angle in arc coordinate system

3 數(shù)值結(jié)果

3.1 結(jié)果的驗(yàn)證

為了說(shuō)明本方法的有效性,首先研究了無(wú)彈性地基兩端固定軸向可伸長(zhǎng)的輸液直管的穩(wěn)定特性,并與已有結(jié)果進(jìn)行了比較,管道的材料及尺寸參數(shù)見(jiàn)參考文獻(xiàn)[13].如圖4(a)所示,本文的結(jié)果與Lee[13]的結(jié)果相當(dāng)吻合,且得到的無(wú)量綱臨界流速為6.28,與Lee的數(shù)值結(jié)果一致,這也說(shuō)明本文方法正確.

圖4 輸液直管的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Results of straight pipe conveying fluid

圖4(b)給出了上述管道在無(wú)量綱彈性地基系數(shù)分別為K0=0,100,200工況下的前三階無(wú)量綱固有頻率Ω隨流速的變化.數(shù)據(jù)結(jié)果表明,后兩種彈性地基情況的臨界流速分別為V=6.88和V=7.40,相對(duì)沒(méi)有彈性地基(K0=0,V=6.28)分別提高了9.55%和17.83%,但是彈性地基對(duì)高階固有頻率的影響較小.

3.2 彈性地基上初始構(gòu)型有缺陷的輸液直管的振動(dòng)穩(wěn)定性分析

初始構(gòu)型有缺陷的輸液直管的構(gòu)型如圖5所示,尺寸及材料給定如下:mp=mf=1.78 kg/m,彈性模量E=10 GPa,截面慣性矩I=7.491×10-8m4.管道的初始構(gòu)型為y=A1cos[π(x-0.5L0)/L0],0≤x≤1.0 m.其中,A1為初始構(gòu)型幅值.如果沒(méi)有特殊說(shuō)明,質(zhì)量比ν=mf/m=0.5,Ap/I=2.5×104m-2,跨距L0=1.0 m.在計(jì)算中給定有量綱彈性地基系數(shù)分別為k1=0,k2=1×105N/m2,k3=2×105N/m2,無(wú)量綱固有頻率為ω*=Ω(R0/l)2=Ω/σ2.同時(shí)為了便于討論,消除管道長(zhǎng)度的影響,進(jìn)一步定義無(wú)量綱流速V*=V/σ(σ=l/R0,取特征長(zhǎng)度R0=0.5 m).

圖5 彈性地基上的輸液管道Fig.5 Pipe conveying fluid on elastic foundation

圖6給出了3種不同工況下輸液管道的無(wú)量綱固有頻率隨無(wú)量綱流速的變化.當(dāng)A1=0,地基系數(shù)為k1時(shí),表示工況為無(wú)地基輸液直管的情況,此時(shí)的臨界流速Vc=3.14;當(dāng)A1=0.01 m,地基系數(shù)為k1時(shí),即為無(wú)地基初始構(gòu)型幅值為0.01 m的輸液管道,其臨界流速為Vc=3.47,相比前者增大了10.51%;當(dāng)A1=0.01 m,地基系數(shù)為k2時(shí),臨界流速為Vc= 3.81,相比Vc=3.14增大了21.34%.然而,彈性地基和初始構(gòu)型幅值A(chǔ)1對(duì)高階固有頻率影響很小.

圖6 輸液曲管無(wú)量綱固有頻率與無(wú)量綱流速的變化曲線Fig.6 Varying curve of dimensionless frequencies and dimensionless fluid velocity of curved pipe

圖7進(jìn)一步研究了初始構(gòu)型幅值A(chǔ)1以及彈性地基系數(shù)對(duì)輸液管道臨界流速Vc的影響.如圖7所示,虛線與3條曲線的交點(diǎn)P1,P2,P3為輸液直管的情況.其中P1點(diǎn)為無(wú)彈性地基輸液直管的臨界流速點(diǎn),此時(shí)的臨界流速達(dá)到最小值為Vc=3.14;隨著彈性地基系數(shù)的增大,臨界流速均會(huì)增加.另外可以注意到3種彈性地基情況的輸液曲管的臨界流速均會(huì)出現(xiàn)一個(gè)突變區(qū)域.

圖7 不同初始構(gòu)型輸液曲管的臨界流速Fig.7 Critical velocity of curved pipes with different initial configuration

為了研究這種現(xiàn)象,圖8給出了彈性地基系數(shù)分別為k1,k2的工況下臨界流速發(fā)生突變時(shí)相對(duì)應(yīng)的管道初始構(gòu)型所占的區(qū)域,也就是說(shuō),當(dāng)管道的初始構(gòu)型在圖示陰影范圍內(nèi),則此管道的臨界流速會(huì)發(fā)生突變.兩種工況所對(duì)應(yīng)的幅值范圍A1分別為-0.023～0.023 m,-0.021～0.021 m.同時(shí)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)有彈性地基的影響時(shí),突變區(qū)域相對(duì)縮小了.然而,相對(duì)一個(gè)跨距L0=1.0 m的輸液直管,突變區(qū)域還是非常小的.在突變區(qū)域內(nèi)的輸液管道的構(gòu)型可以被認(rèn)為初始構(gòu)型有一定缺陷的輸液直管,因此對(duì)于一個(gè)輸液直管,初始構(gòu)型的微小變化將引起其臨界流速的突變.換句話說(shuō),由于輸液直管構(gòu)型不可避免的初始缺陷影響,實(shí)驗(yàn)得到的臨界流速將偏大于其理論分析解.

圖8 不同地基系數(shù)下管道臨界流速的突變區(qū)域Fig.8 Mutation region of critical velocity of pipes with different coefficients of elastic foundation

4 結(jié) 論

本文在自然坐標(biāo)系中建立了彈性地基上可伸長(zhǎng)輸液曲管的模型,該模型適用于具有任意初始構(gòu)型的輸液管道,并采用微分求積法和分塊矩陣技術(shù)進(jìn)行求解.研究發(fā)現(xiàn):a.考慮彈性地基的影響將增大輸液管道的臨界流速,隨著彈性地基系數(shù)的增大,臨界流速逐漸增大,特別是對(duì)于低階固有頻率影響很大,但是對(duì)高階固有頻率影響較小;b.對(duì)于輸液直管的情況,管道微小的缺陷將引起臨界流速增加,換句話說(shuō),輸液直管臨界流速的理論解總是會(huì)偏低于其實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果,這是由于在實(shí)驗(yàn)中直管的初始缺陷是不可避免的.

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(編輯:丁紅藝)

Dynamic Stability of Pipes Conveying Fluid with Arbitraty Initial Configuration on Elastic Foundation

LIHaigang1, HUYujia1, YANGShansheng2
(1.School of Mechanical and Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China; 2.Subsidiary Company of Beijing Petrochemical and Engineering in Shanghai,Shanghai 200032,China)

The dynamic model of an extensible curved pipe with arbitrary initial configuration on elastic foundation was established in an arc coordinate system.Differential quadrature method (DQM)and partitioned matrix method were employed to obtain the natural frequencies and critical velocities of the pipe conveying fluid.The influences of elastic foundation and initial configuration on the dynamic stability of the pipe conveying fluid were discussed in detail.The numerical results show that the elastic foundation will increase the critical velocity of the pipe conveying fluid,and a small defect of the straight pipe will lead to a major effect on the critical velocity.

elastic foundation;pipe conveying fluid;natural frequency;critical velocity; differential quadrature method

O 327

A

1007-6735(2015)01-0036-07

10.13255/j.cnki.jusst.2015.01.007

2013-11-14

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11002084);上海市教委科研創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(12YZ092,12YZ074);國(guó)家國(guó)際科技合作專項(xiàng)資助項(xiàng)目(2014DFA40370);陜西省科技統(tǒng)籌創(chuàng)新工程資助項(xiàng)目(2011KTZB01-05);滬江基金資助項(xiàng)目(D14005)

李海港(1987-),男,碩士研究生.研究方向:輸液管道振動(dòng).E-mail:lihaigangusst@126.com

胡育佳(1979-),男,副教授.研究方向:結(jié)構(gòu)非線性、健康檢測(cè).E-mail:huyujia@126.com