非線性分數(shù)階Volterra積分-微分方程的SCW數(shù)值方法

朱 莉

（廈門理工學院應用數(shù)學學院，福建廈門361024）

非線性分數(shù)階Volterra積分-微分方程的SCW數(shù)值方法

朱 莉

（廈門理工學院應用數(shù)學學院，福建廈門361024）

推導第二類Chebyshev小波 （SCW）分數(shù)階算子矩陣，利用SCW算子矩陣方法求解了一類非線性分數(shù)階Volterra積分-微分方程.此方法將分數(shù)階積分-微分方程轉(zhuǎn)化成非線性代數(shù)方程組求解，可以簡化分數(shù)階方程的求解，所得到的數(shù)值結(jié)果表明該方法是有效和精確的.

分數(shù)階微積分；SCW；Volterra積分-微分方程；算子矩陣；Block Pulse函數(shù)

近年來，分數(shù)階微分方程的應用引起了不同領域?qū)W者的高度重視［1-3］.然而，由于分數(shù)階微分是擬微分算子，它的保記憶性在對現(xiàn)實問題進行優(yōu)美刻畫的同時，也給分析和計算造成了很大困難，所以發(fā)展分數(shù)階微分方程數(shù)值解法是一個迫切需要解決的問題.與其他方法相比，小波數(shù)值方法的優(yōu)點是：1）離散后得到的代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是稀疏的；2）求解高階方程問題只導致離散后代數(shù)方程組的維數(shù)增加；3）方程的解具有收斂性.本文主要利用第二類Chebyshev小波 （SCW）算子矩陣方法求解非線性分數(shù)階Volterra積分-微分方程：

其中y（i）（t）表示y（t）的i階導數(shù)；i是常數(shù)；f∈L2［0，1），k∈L2（［0，1））2是已知函數(shù)；y（x）是未知函數(shù)；Dα（r-1＜α≤r）是Caputo意義下的分數(shù)階導數(shù)；F（y（x））是y（x）的多項式函數(shù).為簡便起見，令F（y（x））=［y（x）］q，q＞1是正整數(shù)，并假設函數(shù)f和k足夠光滑.

1 基礎知識

1.1 分數(shù)階微積分［4-6］

定義1稱實函數(shù)f（t），t＞0，屬于空間Cυ，υ∈R，如果存在實數(shù)k（k＞υ），使得f（t）= tkf1（t），其中f1（t）∈C［0，∞），稱f（t），t＞0，屬于空間當且僅當∈Cυ，m∈N.

定義2函數(shù)f∈Cυ，υ≥-1的α階Rieman-Liouville分數(shù)階積分算子定義為：

其α（α≥0）階分數(shù)階導數(shù)為：

定義3函數(shù)f（t）的Caputo意義下的分數(shù)階導數(shù)定義為：

1.2 SCW的構造及函數(shù)逼近

定義在區(qū)間［0，1）上的SCW［7］滿足：其中n=1，…，2k-1和k是任意正整數(shù)，且

定義在［0，1］區(qū)間上的平方可積函數(shù)f（t）可以用SCW展開成如下形式：

其中系數(shù)

對式 （5）截斷有限項，可表示為

其中系數(shù)向量C和SCW函數(shù)向量Ψ（t）形式為：

1.3 分數(shù)階積分的算子矩陣

首先給出Block Pulse函數(shù) （BPFs）的定義.定義在區(qū)間［0，1）的BPFs為：

其中i=0，1，2，…，m-1.BPFs具有共軛性和正交性：

定義在［0，1］區(qū)間上的平方可積函數(shù)f（t）可以展開成如下BPFs級數(shù)的形式：

式 （11）表明SCW也可以用BPFs展開成m′項級數(shù)：

文獻 ［8］給出了Block Pulse分數(shù)階算子矩陣Fα：

其中

并且ξk=（k+1）α+1-2kα+1+（k-1）α+1.令

由式 （13）和 （14）可以得到：

2 分數(shù)階積分算子矩陣的應用

考慮非線性分數(shù)階Volterra積分微分方程：

函數(shù)Dαy（x）和f（x），k（x，t）均可以用SCW近似表示為：

利用式 （3），（16）和 （20），可以得到：

將式 （19）帶入上式，并用SCW逼近，可以得到：

定義

等式 （25）變?yōu)?/p>

利用BPFs的共軛性，有

更一般的，有

將式 （13）帶入式 （20），（21），然后將所得結(jié)果和式 （28）帶入式 （18），得到

對式 （29）兩邊同乘以Bm′（x），并在區(qū)間［0，1］積分，根據(jù)BPFs的正交性得到

式 （30）是一個非線性的代數(shù)方程組.通過求解此方程組，可以根據(jù)式 （23）得到式 （18）的近似解.

3 數(shù)值算例

利用本文的方法求解兩個分數(shù)階微分方程.為了在例1和例2中比較SCW和CAS小波方法，采用與文獻 ［9］相同的誤差定義，即

其中y（x）表示精確解，ym′（x）表示近似解.在數(shù)值算例中，給出當k增大時，數(shù)值解的誤差情況.可以看到，當M固定時，k越大，方程的近似解越精確.所以k的最優(yōu)取值由預先給定的精度來確定.

例1考慮非線性分數(shù)階Volterra積分微分方程：

例2考慮方程：

表1給出了當α=2時，由SCW和CAS（見文獻 ［9］）兩種小波方法得到的例1和例2的誤差.通過比較兩種小波方法，發(fā)現(xiàn)在求解相同方程時SCW方法可以得到更高的精確度.

圖1 參數(shù)k取不同值時例1的數(shù)值結(jié)果Fig.1 NumericaI resuIts for varied vaIues of k

圖2 當α=1.25，1.5，1.75，2時例2的數(shù)值結(jié)果Fig.2 ApproximaIe soIution of exampIe 2 forα=1.25，1.5，1.75，2

表1 當SCW小波的參數(shù)k取不同值時的誤差，以及當CAS小波的參數(shù)k=4，5時的誤差［9］TabIe 1 Approximate norm-2 of absoIute errors for some k of the SCW，and for k=4，5 of the CAS waveIet［9］

4 結(jié)論

本文中引入了SCW，并推導了SCW的分數(shù)階積分算子矩陣.利用積分算子矩陣給出了求解一類非線性分數(shù)階Volterra積分-微分方程的數(shù)值方法.通過數(shù)值算例，將所得到的數(shù)值結(jié)果與方程的精確解和由CAS小波得到的數(shù)值結(jié)果進行了比較，從而表明SCW方法是有效的，而且具有更高的精度.

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Numerical Solution of Nonlinear Fractional-Order Volterra Integro-Diferential Equations by SCW

ZHU Li
（School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）

In this paper，we first derived the second Chebyshev wavelet（SCW）operational matrix of fractional integration.Then based on its results we proposed the SCW operational matrix method to solve a kind of nonlinear fractional-order Volterra integro-differential equations.The main characteristic of this approach is that it reduces the integro-differential equations into a nonlinear system of algebraic equations that simplifies solution to the problem of fractional order equation.The obtained numerical results indicate that the proposed method is efficient and accurate for equations of this kind.

fractional calculus；SCW；Volterra integro-differential equations；operational matrix；Block Pulse functions

O242.2

A

1673-4432（2015）03-0096-06

（責任編輯 曉 軍）

2014-07-07

2014-11-13

廈門理工學院高層次人才項目 （YKJ12029R）

朱莉 （1984-），女，講師，博士，研究方向為微分方程數(shù)值解.E-mail：zhulwhu@163.com