對(duì)一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的研究

湖北省武漢市黃陂六中 梅 磊 (郵編：430300)

對(duì)一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的研究

湖北省武漢市黃陂六中 梅 磊 (郵編：430300)

2014年高考數(shù)學(xué)湖北卷文科壓軸題(理科次壓軸題)如下：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1．記點(diǎn)M的軌跡為C.

(Ⅰ)求軌跡C的方程；

(Ⅱ)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1). 求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.

本題立足課本上的通性通法，考查求軌跡方程的基本方法、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查函數(shù)與方程的思想、分類與整合的思想，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力.該題運(yùn)算量適中，難度適宜，貼近課本，兩問(wèn)銜接自然，充分體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)，使得考生的理性思維和學(xué)科能力得到充分的考查.

1 解法分析

第(Ⅰ)問(wèn)求軌跡C的方程，考查曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，直接由題意列出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式|MF|=|x|+1，再化簡(jiǎn)即可，此問(wèn)是考生所熟知的類型，有利于穩(wěn)定考生的情緒，增強(qiáng)解題的信心.

第(Ⅱ)問(wèn)判斷直線l與軌跡C的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以用解析法來(lái)解決，即要討論直線l方程與軌跡C的方程組成的方程組的解的情況，由方程組的解的情況判斷直線l與軌跡C的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.注意到軌跡C的方程可以分為兩個(gè)部分(可分別記為C1和C2)，可以分別討論直線l的方程與C1的方程組成的方程組的解的情況和直線l方程與C2的方程組成的方程組的解的情況.在討論直線l方程與C1的方程組成的方程組的解的情況時(shí)，要分k=0和k≠0兩種情況討論，且在k≠0這種情形中又要分△=0，△>0和△<0三種情況討論，反復(fù)體現(xiàn)了分類與整合的思想，此問(wèn)也是考生所熟知的類型，有利于考生征服壓軸題，體驗(yàn)成功的喜悅.

具體解答如下(與參考答案略有不同)：

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，依題意當(dāng)x≥0時(shí)，點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線x=-1相等，由拋物線定義知，此時(shí)點(diǎn)M的軌跡C的方程為C1:y2=4x;

當(dāng)x<0時(shí)，點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離與它到直線x=1相等，顯然，此時(shí)點(diǎn)M的軌跡C的方程為C2:y=0(x<0).

(Ⅱ)依題意，可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2).

(1)先考慮直線l和C2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

當(dāng)k=0時(shí)，直線l與x軸平行，此時(shí)直線l與C2無(wú)公共點(diǎn)；

(2)再考慮直線l和C1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

當(dāng)k=0時(shí)，易知，直線l與C1恰有一個(gè)公共點(diǎn).

當(dāng)k≠0時(shí)，方程ky2-4y+4(2k+1)=0的判別式為△=-16(2k2+k-1).

2 題源探究

看到此題，我們不難聯(lián)想到下面三道題.

題源1 (1990年希望杯高二第一試第13題)若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離比P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離多1．則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是______.

題源2 (2011年湖南高考文科數(shù)學(xué)第21題)已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1．

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

題源3 (人教A版選修1-1課本第62頁(yè)例5，選修2-1課本第71頁(yè)例6)已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1)，斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí)，直線l與拋物線：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn).

顯然，試題由上述三道題整合加工而成，其中試題的第(Ⅰ)問(wèn)與題源1和題源2的第(Ⅰ)問(wèn)如出一轍，都是求軌跡C的方程，求解方法也一樣；試題的第(Ⅱ)問(wèn)與題源2極為相似，直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1)坐標(biāo)完全一樣，試題判斷直線l與C1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與題源2完全相同；試題判斷直線l與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與題源3完全類似.

3 導(dǎo)向解讀

本題滿分14分，其中第(Ⅰ)問(wèn)5分，第(Ⅱ)問(wèn)9分.考生只要了解求曲線的方程的基本方法，解答第(Ⅰ)問(wèn)是很容易.如果考生掌握判斷直線與拋物線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法，解答第(Ⅱ)問(wèn)也是不難的.故對(duì)于大多數(shù)考生而言，可以拿到一半左右的分?jǐn)?shù).

然而，本題的實(shí)測(cè)結(jié)果卻不盡人意，文科考生的平均分僅為2.18，理科考生的平均分也僅3.71分，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于預(yù)期.

為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？

長(zhǎng)期以來(lái)，說(shuō)到高考數(shù)學(xué)壓軸題，在很多師生眼中，那是尖子生的天下.從壓軸題的功能看，應(yīng)該具有必要的難度和較強(qiáng)的區(qū)分度，有利于高校選拔優(yōu)秀人才.為此，命題組擔(dān)心的是壓不壓得住的問(wèn)題，而高中師生考慮的則是做不做的問(wèn)題，命題與應(yīng)試之間的矛盾凸顯無(wú)疑.在認(rèn)同命題者水平的前提下，值得引起我們注意和反思的一個(gè)誤區(qū)，就是部分高中數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考的“異化”現(xiàn)象：即明確告訴學(xué)生不要在壓軸題上浪費(fèi)過(guò)多的時(shí)間，甚至干脆讓學(xué)生放棄壓軸題.在這種應(yīng)試意識(shí)的影響下，教師自己也疏于對(duì)壓軸題的研究，不愿意或舍不得花時(shí)間去領(lǐng)悟壓軸題的味道，從而也就難以指導(dǎo)學(xué)生去研究壓軸題，挑戰(zhàn)壓軸題，征服壓軸題.這種消極的影響造成考生對(duì)壓軸題的心理畏懼是可想而知的.每年總有部分考生因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系無(wú)暇顧及壓軸題，這是正常的，但仍有不少考生在時(shí)間允許的情況下完全放棄壓軸題，甚至考后連壓軸題是什么樣的題都不知道，這就不正常了.

2014年高考數(shù)學(xué)湖北卷文科壓軸題(理科次壓軸題)發(fā)出的信號(hào)是強(qiáng)烈的：不要完全放棄壓軸題，而要勇敢挑戰(zhàn)壓軸題，壓軸題一般都會(huì)設(shè)置層次分明的臺(tái)階，入口寬，上手易，只是深入難，解到底難，但即使難，解題所用的方法也是通性通法和常規(guī)常法.

其實(shí)，對(duì)于所有認(rèn)真復(fù)習(xí)備考的同學(xué)來(lái)說(shuō)，都有能力與實(shí)力在高考數(shù)學(xué)壓軸題上拿到一半左右的分?jǐn)?shù)，要獲取這一半左右的分?jǐn)?shù)，不需要大量針對(duì)性訓(xùn)練，也不需要復(fù)雜艱深的思考，只需要你有正確的心態(tài)！信心很重要，細(xì)心不可少.

對(duì)于教師而言，更要提高自身對(duì)壓軸題研究的意識(shí)和水平，幫助考生掌握正確解答壓軸題的策略，走出解答壓軸題的誤區(qū).

1 梅磊.求解一道2014年高考數(shù)學(xué)壓軸題的心路歷程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014(6)

2015-03-03)