基于高階累積量帶噪盲源分離算法

趙國偉， 王宏志

（長春工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，吉林 長春 130012）

0 引 言

盲信號分離理論近年來在信號處理領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，比如通信系統(tǒng)、語音增強(qiáng)、醫(yī)學(xué)成像、機(jī)械故障診斷等領(lǐng)域［1－4］，吸引了越來越多的學(xué)者對其進(jìn)行研究。盲源分離（Blind Source Separation，BSS）其核心思想是，在傳輸信道特性未知或僅有少量先驗(yàn)知識(shí)的情況下，輸入源信號混合情況未知，僅僅依據(jù)觀測到的混合信號來估計(jì)或分離出各個(gè)源信號的特點(diǎn)，進(jìn)而重現(xiàn)輸入源信號或進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)的一種技術(shù)。而獨(dú)立分量分析（Independent Components Analysis，ICA）技術(shù)是伴隨著解決BSS問題逐漸發(fā)展起來的，ICA技術(shù)是在源信號相互獨(dú)立且僅有或者至多有一個(gè)高斯信號的條件下，利用相關(guān)知識(shí)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，并通過優(yōu)化算法使得變化后的估計(jì)信號之間的非高斯性最大，即源信號相互獨(dú)立，從而使信號得到分離［5］。

然而，大部分ICA方法都以無噪假設(shè)為前提條件［6－8］，使用的優(yōu)化算法為牛頓迭代算法和梯度下降算法，在信號分離的過程中，收斂過程相對較慢，并且在算法迭代的過程中容易陷入局部最優(yōu)。在實(shí)際應(yīng)用中，傳感器接收到的信號不止一個(gè)，往往是各個(gè)信號的延遲混合以及噪聲的疊加，使得分離變得更加復(fù)雜。

因此，針對以上問題，文中研究了基于非高斯有色噪聲的條件下，采用基于四階累積量和粒子群優(yōu)化的盲分離算法。粒子群優(yōu)化算法與其他智能優(yōu)化算法相比，其具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)置參數(shù)少、易于實(shí)現(xiàn)和較強(qiáng)全局優(yōu)化能力等一系列的優(yōu)點(diǎn)［9－10］。

1 盲信號分離算法模型

1.1 混合模型

含有n個(gè)源信號和m個(gè)傳感器的多輸入、多輸出線性瞬時(shí)混合模型如圖1所示。

圖1中，

其中

表示n個(gè)源信號。

式中：A——n×m的混合矩陣；

n（t）——加性噪聲。

為得到的觀測信號。

通常，它們滿足如下的一些假設(shè)條件：

1）源信號個(gè)數(shù)小于或等于傳感器個(gè)數(shù)，即n≤m。為了簡化算法，一般取n＝m。

2）各個(gè)源信號si（t），i＝1，2，…，n之間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且至多含有一個(gè)高斯信號。

3）混合矩陣A列滿秩。

圖1 混合模型

1.2 解混模型

分離系統(tǒng)的輸出可以表示為：

式中：y（t）——得到的估計(jì)信號；

W——解混矩陣。

解混模型如圖2所示。

圖2 解混模型

如果在理想狀態(tài)下不考慮噪聲的影響，分離過程可以簡寫為

在對信號進(jìn)行分離前，通常需要先對觀測信號進(jìn)行預(yù)處理，即去均值和白化過程，以使信號滿足相互獨(dú)立的要求。當(dāng)信號可以分離時(shí)，系統(tǒng)矩陣C滿足如此關(guān)系［11：

式中：P——交換矩陣；

D——非奇異對角矩陣。

2 基于四階互累積量的帶噪盲分離算法

去噪是盲源分離研究中的一個(gè)重要方面，針對含有噪聲的盲源分離問題，眾多學(xué)者提出了各種方法來解決噪聲對分離過程的影響，其中Hyvarinen［12］在基于經(jīng)典FastICA算法的基礎(chǔ)上加入了白化偏移技術(shù)，Douglas等在自然梯度算法中引入了偏移方法，這些技術(shù)雖然在一定程度上降低了白噪聲的影響，然而在背景噪聲中含有色噪聲時(shí)，上述提出的方法對分離就沒有太大的幫助了。文中首先通過Hilbert變換構(gòu)造含噪觀測信號復(fù)數(shù)情況下的接收值，根據(jù)一種特殊四階累積量的定義和SVD－TLS方法來估計(jì)非高斯有色噪聲模型的參數(shù)，進(jìn)而對去噪的觀測信號采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化得到分離信號。

2.1 去噪算法

由以上分析可以得到觀測信號為：

式中：nNG（t）——非高斯有色噪聲，假設(shè)為非高斯ARMA過程。

根據(jù)文獻(xiàn)［13］，首先定義一種復(fù)數(shù)域上的特殊四階累積量。

定義1 復(fù)數(shù)過程?X（t）的四階累積量為：

式中：Re［?X（t＋τ1）］——?X（t＋τ1）的實(shí)部。

實(shí)際上，定義1可以看作是兩種四階累積量的結(jié)合，即：

根據(jù)定義1，有以下兩個(gè)結(jié)論［13－15］：

（3）當(dāng)?shù)卮迕裥∞r(nóng)思想較為嚴(yán)重，不愿意進(jìn)行土地流轉(zhuǎn)，愿意進(jìn)行土地流轉(zhuǎn)的村民也由于當(dāng)?shù)赝恋刭|(zhì)次、鹽堿化嚴(yán)重，很難吸收到大型涉農(nóng)企業(yè)進(jìn)行投資，所以集約化種植也較為困難。

采用SVD－TLS方法求解噪聲的AR模型階數(shù)N和系數(shù)bi，i＝1，2，…，N，得到噪聲的估計(jì)，進(jìn)而可以獲得去噪的觀測信號x（t）。

2.2 分離算法

基于ICA分離算法的核心思想是確定一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，選取合適的優(yōu)化算法求其最大或者最小值，從而求得分離矩陣W。

中心極限定理證明了由各相互獨(dú)立的隨機(jī)量之和組成的一個(gè)隨機(jī)量，如果其各成分量是具有有限方差和均值的，則與各獨(dú)立隨機(jī)分量的分布無關(guān)，此隨機(jī)量的分布將接近高斯分布。因此，如果獲得的觀測信號是源信號的一個(gè)線性疊加，那么結(jié)果是觀測信號的非高斯性相比于源信號，其高斯性更弱。由此，可以通過衡量分離信號之間的高斯性來判斷各信號之間的獨(dú)立性，從而判別信號是否分離。信號的四階累積量可以衡量信號的非高斯性，因此，選取四階累積量作為獨(dú)立性的判據(jù)，得到以下的目標(biāo)函數(shù)為：

信號的非高斯性越強(qiáng)，K（y）的絕對值越大?；诖耍岢鲆韵碌哪繕?biāo)函數(shù)：

當(dāng)J（W）最大時(shí)，就可認(rèn)為達(dá)到了盲源分離的目的，這時(shí)求解的W即為所要求的分離矩陣。采用粒子群算法對式（7）進(jìn)行優(yōu)化：為在第t次迭代中，第i個(gè)粒子的第d維的當(dāng)前位置，當(dāng)前飛行速度為，此時(shí)該粒子搜索到的最優(yōu)位置為pid，整個(gè)粒子群搜索到的最優(yōu)位置為pgd，對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行全局尋優(yōu)得到盲源分離算法步驟如下：

1）將觀測信號X（t）進(jìn)行Hilbert變換，構(gòu)造復(fù)數(shù)過程?X（t）。

2）按定義1估計(jì)?X（t）的四階累積量C4，?X（τ1，τ2，τ3），利 用 其 滿 足 高 階 累 積 量Yule－Walker方程，使用SVD－TLS方法估計(jì)噪聲AR模型的階次N和系數(shù)bi，i＝1，2，…，N，得到去噪的觀測信號x（t）。

3）對觀測信號x（t）進(jìn)行預(yù)處理：中心化和白化。

4）根據(jù)分離矩陣W維數(shù)確定粒子維數(shù)。

5）隨機(jī)產(chǎn)生一定數(shù)量的粒子，在約束范圍內(nèi)對粒子的位置和速度初始化。

6）對粒子種群初始測量一次，根據(jù)式（7）計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，找到初始狀態(tài)下個(gè)體最優(yōu)和群體最優(yōu)粒子位置。

7）根據(jù)粒子群算法，采用式（8）～式（10）更新每個(gè)粒子的位置和速度，計(jì)算每個(gè)粒子當(dāng)前適應(yīng)度值。

8）如果式（7）達(dá)到最大，則保存最佳粒子，迭代結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步驟7）。

3 算法仿真

為了驗(yàn)證算法的有效性，采用3個(gè)人工源信號分別為：

s1＝sin（36＊pi＊k／Fs）；

s2＝sin（18＊pi＊k／Fs）；

s3＝sin（1.8＊pi＊k／Fs）＊sin（60＊pi＊k／Fs）；

采樣頻率為1kHz，混合矩陣A為隨機(jī)產(chǎn)生。

n1（k），n2（k）為非高斯有色噪聲，并滿足ARMA（2，2）模型：

e（k）滿足指數(shù)非高斯分布。

粒子群算法參數(shù)設(shè)置：粒子維數(shù)為D＝9，種群個(gè)數(shù)為K＝20，粒子每一維限制在［－1，1］，c1＝c2＝2，r1，r2為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，慣性權(quán)重系數(shù)umax＝0.8，umin＝0.3。最大迭代次數(shù)tsum＝100，算法運(yùn)行40次。

源信號波形圖如圖3所示。

加噪后的觀測信號X（t）如圖4所示。

去噪信號x（t）如圖5所示。

分離信號如圖6所示。

圖3 源信號波形圖

圖4 加噪觀測信號

圖5 去噪混合信號

圖6 分離信號

通過以上仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，文中提出的算法可以較好地使信號分離。由圖6可以發(fā)現(xiàn)，分離信號的幅度大小和順序與源信號不同，這是由于盲分離中的不確定性導(dǎo)致的，但這并不影響分離效果，因?yàn)樾盘柌ㄐ纬休d著信號的主要信息。

粒子群算法收斂曲線如圖7所示。

圖7 粒子群算法收斂曲線

自然梯度算法收斂曲線如圖8所示。

為了驗(yàn)證算法的有效性，我們定義了源信號和分離信號的相關(guān)系數(shù)來作為評判標(biāo)準(zhǔn)，見下式：

式中：sj，yi——分別是源信號和分離信號，相似度越大，說明分離效果越好。

由式（11）知，若ζij趨近于零，表明分離信號yi（t）與源信號sj（t）是不相關(guān)的。當(dāng)ζij越接近1，說明相似度越大，分離效果越好。

圖8 自然梯度算法收斂曲線

分別采用粒子群優(yōu)化算法和自然梯度優(yōu)化算法對混合信號進(jìn)行盲分離仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較，以及算法達(dá)到穩(wěn)定時(shí)所需的最小迭代次數(shù)，見表1。

表1 不同優(yōu)化算法比較

4 結(jié) 語

研究了非高斯有色噪聲下的盲信號分離算法，首先利用特殊定義下的復(fù)數(shù)域信號的四階累積量和方法來估計(jì)噪聲信號的AR模型參數(shù)，進(jìn)而獲得去噪的混合信號。然后采用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化獲得分離信號，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性，同時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)的采用自然梯度算法相比，基于智能優(yōu)化算法的粒子群算法具有更快的收斂速度和分離精度。

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