從一道課本例題推廣

●章禮抗 (浮山中學(xué) 安徽樅陽 246736)

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從一道課本例題推廣

●章禮抗 (浮山中學(xué) 安徽樅陽 246736)

1 例題展現(xiàn)

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)人教A版4-4第33頁有這樣一道例題：

例1 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,B是拋物線y2=2px(其中p>0)上異于頂點(diǎn)的2個點(diǎn)，且OA⊥OB，OM⊥AB并相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡.

原解是用參數(shù)方程，這里筆者想用常規(guī)解法，并就此推出一般結(jié)論.

分析 設(shè)直線AB的方程為y=kx+m：若k不存在，設(shè)x=n(其中n>0)，則

由OA⊥OB，知

從而

x1x2+y1y2=0，

即

n=2p,

從而直線AB過定點(diǎn)(2p,0).

若k存在，則其與拋物線y2=2px聯(lián)立，得

k2x2+2(km-p)x+m2=0.

現(xiàn)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理知

由OA⊥OB，知

即

x1x2+y1y2=0，

亦即

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,

則

解得m=-2kp，從而直線AB的方程為y=k(x-2p).易知該直線恒過點(diǎn)(2p,0).又因?yàn)镺M⊥AB，所以點(diǎn)M的軌跡為

(x-p)2+y2=p2.

2 推廣

原題中的曲線是拋物線，如果改為橢圓又如何？

分析 設(shè)直線AB的方程為y=kx+m:若k不存在，設(shè)x=n,則

由OA⊥OB，知

從而

x1x2+y1y2=0，

即

若k存在，則

從而 (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.

現(xiàn)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理知

因?yàn)镺A⊥OB，所以

即

x1x2+y1y2=0，

亦即

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,

從而

則

3 結(jié)論應(yīng)用

(2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽試題)

分析 由以上結(jié)論知

1)求b2的值；

2)求|AB|的取值范圍.

(2013年河北省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

解得

b2=4.

2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，則

從而

(4+8k2)x2+16kmx+8(m2-4)=0.

因?yàn)镺A⊥OB，所以

即

x1x2+y1y2=0，

亦即

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,

解得

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理知

從而

4 推廣

原題中的曲線是拋物線，如果是雙曲線又如何？

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m:若k不存在，設(shè)x=n(其中n>a),則

由OA⊥OB，知

從而

x1x2+y1y2=0，

即

若k存在，則

從而 (b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0.

現(xiàn)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則根據(jù)韋達(dá)定理知

因?yàn)镺A⊥OB，所以

即

x1x2+y1y2=0，

亦即

(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,

此時，直線AB的方程為

點(diǎn)O(0，0)到該直線的距離為

以上就是相關(guān)的推廣與應(yīng)用，如有不足之處，望讀者給予批評指正.