一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽不等式試題的改進

●何 燈 李云杰 (福清市第三中學(xué) 福建福清 350315)

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一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽不等式試題的改進

●何 燈 李云杰 (福清市第三中學(xué) 福建福清 350315)

問題 設(shè)a,b,c>0，且abc=1，證明:

(1)

這是2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷第10題，安振平老師及宋慶老師均在其博文中對該不等式的證明及改進作了探討.文獻[1]將上式加強為

(2)

本文擬給出式(1)的另一種改進.

結(jié)論 設(shè)a,b,c>0，且滿足abc=1，則

(3)

整理并去分母，得

評注 上述證明采用的調(diào)整法，是證明條件為abc=1的不等式最常用的方法.令

可得

利用式(3)，可得宋慶老師微博上的一個不等式(Arqady不等式).

推論 設(shè)a,b,c>0，且滿足abc=1，則

(4)

證明 由式(3)得

去分母并整理，得

即

(5)

注意到lna+lnb+lnc=ln(abc)=0，則式(5)成立，從而式(4)成立.

評注 構(gòu)造“尾舵”函數(shù)同樣也是證明條件為abc=1的不等式的常用方法.

[1] 范花妹,秦慶雄.一道2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的探究[J],數(shù)學(xué)通訊,2014(5):24-25.