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    平行四邊形中的數學思想方法

    2015-06-11 13:53:08許峰
    初中生世界·八年級 2015年6期
    關鍵詞:四邊形數形平行四邊形

    許峰

    數學思想是對數學內容的進一步提煉和概括,是對數學內容的一種本質認識,數學方法是實施有關數學思想的一種方式、途徑、手段,數學思想方法是數學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的關鍵和動力. 抓住數學思想方法,善于迅速調用數學思想方法,更是提高解題能力根本之所在. 為了方便同學們快速解決平行四邊形的問題,現(xiàn)將平行四邊形中常用的數學思想方法略作介紹如下.

    一、 轉化思想

    轉化思想要求我們居高臨下地抓住問題的實質,在遇到較復雜的問題時,能夠辯證地分析問題,通過一定的策略和手段,使復雜的問題簡單化,陌生的問題熟悉化,抽象的問題具體化. 具體地說,比如把隱含的數量關系轉化為明顯的數量關系;把從這一個角度提供的信息轉化為從另一個角度提供的信息. 轉化的內涵非常豐富,已知與未知、數量與圖形、概念與概念、圖形與圖形之間都可以通過轉化,來獲得解決問題的轉機. 在解決四邊形有關問題時,常利用轉化思想,通過添加適當的輔助線,把四邊形轉化為三角形,或把一般四邊形轉化為特殊四邊形等.

    例1 如圖1,△ABC中,AB=8,AC=6. AD是BC邊上的中線,則AD的取值范圍是_________.

    【分析】要確定AD的取值范圍,聯(lián)想到三角形三邊關系,但又不能把AB、AC和AD放在同一個三角形里,故不能直接利用三角形三邊關系,由AD是中線,聯(lián)想到延長中線,得到平行四邊形,得AB=CE,將已知量與未知量集中到三角形中來求解.

    解:延長AD到點E,使DE=AD,連接BE、CE.

    ∵BD=CD,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴CE=AB=8,在△ACE中,8-6

    【點評】當題中有三角形的中線時,可延長中線,構造平行四邊形,這種作輔助線的方法在解題中經常用到,要注意掌握.

    例2 如圖2,在?ABCD中,AD=2AB,F(xiàn)是AD的中點,作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,連接EF、CF,求證:EF=CF.

    【分析】利用中點F,延長EF交CD于點M,分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF(ASA),得出對應線段之間關系進而得出答案.

    【解答】證明:如圖3,延長EF,交CD延長線于點M,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠A=∠MDF,∵F為AD中點,∴AF=FD,在△AEF和△DMF中,

    ∠A=∠FDM,

    AF=DF,

    ∠AFE=∠DFM,

    ∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=FM,∠AEF=∠M,∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,

    ∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴FC=EF.

    【點評】由中點延長構造全等三角形是本題的關鍵. 本題也可以過點F作FN∥AB,將問題轉化到三角形FEC中,借助“三線合一”解題,同學們可以自己試一試.

    二、 方程思想

    方程和方程組是解決應用題、實際問題和許多方面的數學問題的重要基礎知識,應用范圍非常廣泛. 很多數學問題,特別是有未知數的幾何問題,就需要用方程或方程組的知識來解決. 在解決問題時,把某個未知量設為未知數,根據有關的性質、定理或公式,建立起未知數和已知數間的等量關系,列出方程或方程組來解決,這就是方程思想. 具有方程思想就能夠很好地求得問題中的未知元素或未知量,這對解決和計算有關的數學問題,特別是綜合題,是非常需要的.

    例3 如圖4,?ABCD的周長是36,由鈍角頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF,且DE=4,DF=6,求這個平行四邊形的面積.

    【分析】由周長可知AB+BC=18,由面積可知,DE×AB=DF×BC,即4AB=6CD.

    【解答】設AB為x,CD為y.

    由題意得x+y=18,

    4x=6y,解得x

    =,

    y

    =.

    則平行四邊形的面積為4x=43.

    【點評】在幾何計算中,通過設立未知數,借助幾何的定義、公式或題目的條件,建立方程或方程組來解決問題,是一種重要的解題思想方法,是幾何問題代數化的體現(xiàn).

    三、 數形結合

    數學家華羅庚說得好:“數形結合百般好,隔離分家萬事休,幾何代數統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系莫分離. ”幾何圖形的形象直觀,便于理解,代數方法的一般性,解題過程的機械化,可操作性強,便于把握,因此數形結合思想是數學中重要的思想方法. 所謂數形結合就是根據數學問題的題設和結論之間的內在聯(lián)系,既分析其數量關系,又揭示其幾何意義,使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來,并充分地利用這種結合,探求解決問題的思路,使問題得以解決的思考方法.

    例4 在?ABCD中,下列結論一定正確的是( ).

    A. AC⊥BD B. ∠A+∠B=180°

    C. AB=AD D. ∠A≠∠C.

    【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形,畫出圖形,可得AD∥BC,即可證得∠A+∠B=180°.

    【解答】如圖5,∵四邊形ABCD是平行四邊形,

    ∴AD∥BC,

    ∴∠A+∠B=180°.

    故選B.

    【點評】此題比較簡單,注意掌握數形結合思想的應用.

    例5 如圖6,將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊,使點C落在點A處,點D落在點E處,直線MN交BC于點M,交AD于點N.

    (1)求證:CM=CN;

    (2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1,求的值.

    【分析】(1)由折疊的性質可得:∠ANM=∠CNM,由四邊形ABCD是矩形,可得∠ANM=∠CMN,則可證得∠CMN=∠CNM,繼而可得CM=CN;

    (2)首先過點N作NH⊥BC于點H,由△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1,易得MC=3ND=3HC,然后設DN=x,由勾股定理,可求得MN的長,繼而求得答案.

    【解答】(1)證明:由折疊的性質可得:∠ANM=∠CNM,

    ∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,

    ∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,

    ∴CM=CN;

    (2)解:如圖7,過點N作NH⊥BC于點H,

    則四邊形NHCD是矩形,

    ∴HC=DN,NH=DC,

    ∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1,

    ∴===3,

    ∴MC=3ND=3HC,

    ∴MH=2HC,

    設DN=x,則HC=x,MH=2x,

    ∴CM=3x=CN,

    在Rt△CDN中,DC==2x,∴HN=2x,

    在Rt△MNH中,MN==2x,∴==2.

    【點評】此題應用了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理以及三角形的面積. 注意掌握輔助線的作法,注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.

    四、 分類討論

    分類討論,就是在研究和解決數學問題時,當問題所給對象不能進行統(tǒng)一研究時,我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點,將對象區(qū)分為不同種類,然后逐類進行研究和解決,最后綜合各類結果得到整個問題的解決,這一思想方法,我們稱之為“分類討論的思想”. 分類討論思想本質上是“化整為零,積零為整”. 運用分類討論思想解題的基本步驟是:(1)確定討論對象和確定研究的全域;(2)對所討論的問題進行合理分類(分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統(tǒng)一、分層不越級);(3)逐類討論:即對各類問題進行詳細討論,逐步解決;(4)歸納總結,整合得出結論.

    例6 學校要在花園里栽四棵樹,已知其中三棵如圖8所示,請你栽上第四棵樹,使得這四棵樹組成平行四邊形.

    【分析】由平行四邊形定義可知,AB,AC,BC皆可作平行四邊形的對角線,故有三種情況,分別過A,B,C三點作BC,AC,AB的平行線.

    【解答】如圖9.

    【點評】明確如何分類是解決本題的關鍵.

    例7 在?ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2,則?ABCD的周長等于_______.

    【分析】根據題意分別畫出圖形,BC邊上的高可以在平行四邊形的內部和外部,進而利用勾股定理求出即可.

    【解答】

    如圖10,∵在?ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2,

    ∴EC==2,AB=CD=5,

    BE==3,

    ∴AD=BC=5,

    ∴?ABCD的周長等于20.

    如圖11,

    ∵在?ABCD中,BC邊上的高為4,AB=5,AC=2,

    ∴EC==2,AB=CD=5,

    BE==3,∴BC=3-2=1,

    ∴?ABCD的周長等于1+1+5+5=12.

    則?ABCD的周長等于12或20.

    【點評】借助三角形的知識可知,BC上的高可以在△ABC內部和外部,準確地畫出圖形,利用分類討論得出BC的長是解題關鍵.

    (作者單位:江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學校)

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