基于響應(yīng)面法的轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋空心半軸輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)*

汪朝暉,朱發(fā)淵,呂 密,陳 思

(1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081；2. 重慶建設(shè)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司，重慶 400054)

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2015248

基于響應(yīng)面法的轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋空心半軸輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)*

汪朝暉1,朱發(fā)淵1,呂 密2,陳 思1

(1.武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081；2. 重慶建設(shè)工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司，重慶 400054)

提出了一種基于數(shù)值優(yōu)化與有限元模擬相結(jié)合的汽車轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋空心半軸輕量化設(shè)計(jì)方法。以半軸各段的壁厚、長度和過渡角為設(shè)計(jì)變量，半軸質(zhì)量最小化為優(yōu)化目標(biāo)，2階約束模態(tài)頻率和半軸花鍵末端圓角過渡處等效應(yīng)力為約束條件，建立了半軸輕量優(yōu)化模型。利用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到10個(gè)設(shè)計(jì)變量和3個(gè)水平的數(shù)值模擬試驗(yàn)組合。采用最小二乘法建立了響應(yīng)面近似模型，并利用序列二次規(guī)劃算法對(duì)模型進(jìn)行了迭代優(yōu)化。結(jié)果表明：輕量化優(yōu)化后的變徑全空心半軸質(zhì)量比初始設(shè)計(jì)減少約16.7g，半軸2階約束模態(tài)頻率增加約0.6Hz，且半軸花鍵末端圓角過渡處和最小軸徑處的等效應(yīng)力值均低于半軸材料的抗扭強(qiáng)度。

空心半軸;輕量化設(shè)計(jì);正交試驗(yàn)設(shè)計(jì);最小二乘法;響應(yīng)面模型

前言

汽車輕量化設(shè)計(jì)是節(jié)約能源消耗的重要途徑，研究表明：汽車運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量每減輕1%，則可節(jié)油2%[1]。轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋半軸是汽車最重要的運(yùn)動(dòng)零部件之一，它對(duì)汽車的驅(qū)動(dòng)性能和運(yùn)行穩(wěn)定性有重要影響。傳統(tǒng)的轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋半軸結(jié)構(gòu)輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)主要是依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，其試驗(yàn)研究難度較大，設(shè)計(jì)周期冗長。因此，采用新的輕量化優(yōu)化方法設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋半軸勢在必行。

國內(nèi)外諸多學(xué)者在保證汽車傳動(dòng)軸工作可靠的基礎(chǔ)上引入材料低載強(qiáng)化特性獲取新型傳動(dòng)軸結(jié)構(gòu)，取得了較好效果。文獻(xiàn)[2]中以材料40Cr的低載強(qiáng)化特性為依據(jù)，設(shè)計(jì)出空心傳動(dòng)軸，并對(duì)輕量化的傳動(dòng)軸進(jìn)行強(qiáng)度校核及模態(tài)對(duì)比分析，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)可行性；文獻(xiàn)[3]中在傳動(dòng)軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中，以最佳累積強(qiáng)化效果為目標(biāo)，根據(jù)設(shè)計(jì)應(yīng)力分布區(qū)間與結(jié)構(gòu)低載強(qiáng)化特性區(qū)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系獲取了結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，驗(yàn)證了結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的有效性。但以上傳動(dòng)軸輕量化設(shè)計(jì)并不是軸類零部件最優(yōu)化結(jié)構(gòu)，其空心傳動(dòng)軸內(nèi)徑值不變，在一定程度上沒有達(dá)到節(jié)約材料的目的。

國內(nèi)外學(xué)者通常是尋找合適的替代模型來對(duì)具體的工程問題進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[4]中在白車身開發(fā)早期引入結(jié)構(gòu)輕量化思想，建立隱式全參數(shù)化白車身優(yōu)化設(shè)計(jì)近似模型，通過多學(xué)科優(yōu)化獲取了白車身零件形狀、尺寸、位置與厚度等各參數(shù)之間的最佳組合；文獻(xiàn)[5]中選擇拉丁超立方試驗(yàn)抽樣數(shù)據(jù)，并在考慮多變量和處理近似誤差的基礎(chǔ)上，使用稀疏響應(yīng)面法評(píng)估各種結(jié)構(gòu)機(jī)械的可靠性；文獻(xiàn)[6]中利用基于移動(dòng)最小二乘的響應(yīng)面法建立了機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性分析的近似模型，結(jié)果表明：對(duì)于隨機(jī)變量其基于移動(dòng)最小二乘的近似響應(yīng)面函數(shù)更加高效和準(zhǔn)確。

本文中以當(dāng)前利用材料低載強(qiáng)化特性理論自主研發(fā)的新型轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋變徑空心半軸作為進(jìn)一步輕量化設(shè)計(jì)對(duì)象，將數(shù)值優(yōu)化方法與有限元模擬技術(shù)相結(jié)合，利用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，通過最小二乘法對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，獲取具有較好預(yù)測精度的半軸輕量化的近似模型，并采用序列響應(yīng)面優(yōu)化方法對(duì)近似模型進(jìn)行優(yōu)化。本文中通過改變空心半軸的徑向厚度、縮徑段長度及其過渡角，尋找一組合適的半軸管參數(shù)，使空心半軸在滿足汽車驅(qū)動(dòng)性能和穩(wěn)定性的前提下質(zhì)量最小，研究結(jié)果可為汽車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)半軸及其相關(guān)零部件的輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法奠定基礎(chǔ)。

1 基于響應(yīng)面法的優(yōu)化方法

1.1 二次響應(yīng)面近似模型

工程實(shí)踐的大部分優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，其目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系是未知的。而以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)處理技術(shù)-響應(yīng)面法(response surface method,RSM)可較精確地建立目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的近似數(shù)學(xué)預(yù)測模型[7]。

2階多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型具有良好的連續(xù)性和可導(dǎo)性，具有易于實(shí)現(xiàn)快速尋優(yōu)等特點(diǎn)，因而在工程實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用[8]。本文中采用的近似模型為

(1)

式中：n為設(shè)計(jì)變量數(shù);xi和xj為第i和第j個(gè)設(shè)計(jì)變量；βi，βii和βij為回歸系數(shù)；ε為誤差項(xiàng)。

其矩陣形式為

Y=βX+λ

(2)

式中：X為設(shè)計(jì)變量矩陣；Y為試驗(yàn)實(shí)際響應(yīng)矩陣；β為回歸系數(shù)矩陣；λ為誤差項(xiàng)矩陣。

設(shè)b=[b1,b2,…,bk]T為β=[β1,β2,…,βk]T的最小二乘估計(jì)，由最小二乘法可知，[b1,b2,…,bk]T應(yīng)使全部觀察值yi與回歸值yi1的偏差平方和Q達(dá)到最小。

(3)

由微積分學(xué)的極值定理可知，b=[b1, b2,…, bk]T應(yīng)是式(4)方程組的解，解方程組即可得到式(5)所示的多項(xiàng)式系數(shù)的無偏估計(jì)[9]。

(4)

b=(XTX)-1XTY

(5)

式中：b0和bj分別為回歸系數(shù)β0和βj的無偏估計(jì)；b為回歸系數(shù)的無偏估計(jì)矩陣；X為設(shè)計(jì)變量矩陣；Y為試驗(yàn)實(shí)際響應(yīng)矩陣。

1.2 序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法

序列二次規(guī)劃算法源于擬牛頓法，是最簡單的約束非線性規(guī)劃算法[10]，工程上常見的具有不等式約束的非線性規(guī)劃問題一般表示為

(6)

序列二次規(guī)劃的原理為在當(dāng)前的迭代點(diǎn)xk處作泰勒展開，將目標(biāo)函數(shù)的二次近似及約束函數(shù)的一次近似構(gòu)成一個(gè)如式(7)所示的子二次規(guī)劃問題，然后通過求解這個(gè)二次規(guī)劃獲得下一迭代點(diǎn)xk+1。

(7)

式中：k為迭代次數(shù)；dk為第k次迭代的優(yōu)化搜索方向；Bk是正定矩陣，初始化時(shí)為單位矩陣。解式(7)所示的子二次規(guī)劃問題，得到的dk就是搜索方向，沿搜索方向進(jìn)行一維搜索，確定步長ak，然后按式(8)的格式進(jìn)行迭代，最終得到非線性約束問題的最優(yōu)解[11]。

xk+1=xk+akdk

(8)

2 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是構(gòu)建響應(yīng)面近似模型必不可少的環(huán)節(jié)，其主要作用是研究設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響。由于全面試驗(yàn)空間巨大，導(dǎo)致數(shù)值模擬和優(yōu)化迭代時(shí)間很長，因此，須要在整個(gè)設(shè)計(jì)空間選取有限數(shù)量能盡可能反映設(shè)計(jì)空間特性的樣本點(diǎn)，以提高運(yùn)算效率。

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)是研究和處理多因素試驗(yàn)的一種科學(xué)的方法，其思想是均勻分散和整齊可比，以減少試驗(yàn)次數(shù)，提高試驗(yàn)精度[12]。首先，利用合理的正交表安排少量試驗(yàn)，獲得反映全面試驗(yàn)的分析信息；其次，采用方差分析等數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法對(duì)試驗(yàn)分析結(jié)果進(jìn)行處理，從多個(gè)因素中獲得主、次要因素及其對(duì)試驗(yàn)的影響規(guī)律，得到更為科學(xué)和合理的結(jié)論。

由圖1 所示的三因素三水平試驗(yàn)的立體圖可以看出，采用正交表安排的試驗(yàn)，具有均衡分散、整齊可比、代表性強(qiáng)和效率高的特點(diǎn)。

3 半軸輕量化優(yōu)化模型

由半軸使用經(jīng)驗(yàn)和輕量化的多學(xué)科優(yōu)化問題可知，在半軸結(jié)構(gòu)安全設(shè)計(jì)學(xué)科中主要考慮其在使用過程中承受著較大的交變載荷，其結(jié)構(gòu)必須具有足夠的靜強(qiáng)度和剛度來滿足其疲勞壽命、裝配和使用的要求。另外，半軸的低階模態(tài)振型是其能否正常工作的重要性能之一，必須有合理的動(dòng)態(tài)特性來達(dá)到控制振動(dòng)與噪聲的目的。

文獻(xiàn)[13]中對(duì)變徑空心半軸的研究表明：半軸的1階約束模態(tài)為剛體模態(tài)，真正意義上的約束模態(tài)是從第2階模態(tài)振型開始的。因此，本文中考慮以空心半軸端花鍵圓角過渡處等效應(yīng)力、半軸2階約束模態(tài)和半軸質(zhì)量為設(shè)計(jì)響應(yīng)，其輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型可表示為

(9)

式中：m(d)為半軸質(zhì)量；fq為半軸的2階約束模態(tài)值；[f]為半軸的2階約束模態(tài)許用極限；σr為半軸在滿載工況下的最大應(yīng)力值；[σ]為半軸在滿載工況下的許用強(qiáng)度極限；d為設(shè)計(jì)變量矩陣。

采用上述有限元數(shù)值模擬和響應(yīng)面建模相結(jié)合的方法，在不改變圖2所示的變徑空心半軸材料及外形尺寸的前提下對(duì)其進(jìn)行輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)。

變徑空心半軸材料為34MnB5，標(biāo)準(zhǔn)為DIN 10305-2，編號(hào)為1.1166，等級(jí)為N級(jí)，試驗(yàn)測得半軸材料34MnB5的相關(guān)特性參數(shù)如表1所示。

表1 材料特性參數(shù)

4 半軸輕量化優(yōu)化計(jì)算

4.1 試驗(yàn)方案

對(duì)于本文中空心半軸輕量化優(yōu)化問題，考慮到半軸使用經(jīng)驗(yàn)和前期的數(shù)值模擬結(jié)果，最終選用10個(gè)設(shè)計(jì)變量，每個(gè)變量取3個(gè)水平，得到如表2所示的數(shù)值模擬試驗(yàn)組合?？紤]到正交表的選用規(guī)則，選用L27(311)正交表來安排數(shù)值模擬試驗(yàn)，留有1空列作為試驗(yàn)誤差衡量試驗(yàn)的可靠性。

表2 數(shù)值模擬試驗(yàn)因子及其水平

4.2 數(shù)值模擬結(jié)果分析

變徑空心半軸的三維有限元模型如圖3所示，其中圖3(a)為整軸模型，圖3(b)為軸端模型。由于軸端花鍵齒部位結(jié)構(gòu)較不規(guī)則，故采用10節(jié)點(diǎn)的四面體單元，半軸其他規(guī)則部位則采用20節(jié)點(diǎn)的六面體單元；在極限載荷下的半軸靜態(tài)有限元模型節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為152 738，單元數(shù)為103 258；在約束下的模態(tài)分析有限元模型節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為46 220，單元數(shù)為27 574。因半軸內(nèi)端花鍵與三銷式滑移節(jié)連接確保其能沿軸向移動(dòng)，故本文中約束空心半軸內(nèi)端花鍵節(jié)點(diǎn)的5個(gè)自由度。在其空心半軸外端施加極限轉(zhuǎn)矩Tmax=3 700 N·m，轉(zhuǎn)矩載荷加載于花鍵處，加載位置為花鍵的單側(cè)斜面。

在對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行方差分析時(shí)，如果誤差自由度(dfe)很小，F(xiàn)檢驗(yàn)靈敏度很低，即使因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有影響，用F檢驗(yàn)也判斷不出來[13]。本文中為了增大誤差自由度，提高F檢驗(yàn)靈敏度，在進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)之前，先比較各因素方差與誤差方差，若MSf小于2MSf，將這些因素的偏差平方和與自由度并入誤差的偏差平方和與自由度，使誤差的偏差平方和與自由度增大，從而提高F檢驗(yàn)的靈敏度。

半軸質(zhì)量響應(yīng)的方差分析如表3所示。由分析結(jié)果可知：T6和L2的F值分別為12.504和19.731，大于F0.01(2，16)=6.23，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響高度顯著；T2和α1的F值分別為4.480和6.004，大于F0.05(2，16)=3.63，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響顯著；T7的F值為3.127，大于F0.1(2，16)=2.67，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響比較顯著。其余設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響很小，基本可以忽略。因此，經(jīng)過方差分析，篩選出T6，L2，T2，α1和T7作為設(shè)計(jì)變量，構(gòu)建輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，半軸輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)的規(guī)模將很大程度上得到減小。

表3 半軸質(zhì)量響應(yīng)方差分析結(jié)果

4.3 響應(yīng)面預(yù)測模型與優(yōu)化

運(yùn)用本文中提出的輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，建立了變徑空心半軸質(zhì)量m的響應(yīng)面近似模型：

m=(10.1239+0.0105T2-0.6737T6-0.0298T7-

0.016172L2+0.0588α1+0.8651T2T6+0.6604T2T7+

0.5691T6T7-0.0340T2L2-0.0293T7L2-0.1630T2α1+

0.2794T6α1+0.3008T7α1+0.0039L2α1-0.0349T22+

3.9167T62-1.6042T72)×103

(10)

方差分析檢驗(yàn)了多項(xiàng)式響應(yīng)面的精度，其R2為0.951，Ra2為0.979。由此可知，該二次多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型的擬合精度較好，能精確反映目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，可用它來替代物理有限元模型。利用序列二次規(guī)劃算法(SQP)對(duì)上述多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型進(jìn)行迭代優(yōu)化計(jì)算，整個(gè)優(yōu)化過程僅需4次迭代就可收斂并得到最優(yōu)解，優(yōu)化前后半軸設(shè)計(jì)變量及其響應(yīng)的初始值和優(yōu)化值見表4。

表4 設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)值的初始值和優(yōu)化值

由表4可知，通過對(duì)采用最小二乘擬合得到的半軸質(zhì)量多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型進(jìn)行優(yōu)化，使半軸質(zhì)量比初始設(shè)計(jì)時(shí)減少約16.7g，較好地降低了半軸的質(zhì)量，它將對(duì)汽車的節(jié)能減排起到較為重要的作用；半軸的2階約束模態(tài)值增加了約0.6Hz，這將一定程度上改善汽車的乘坐舒適性能和平順性能。

新型輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)的半軸在極限轉(zhuǎn)矩下的等效應(yīng)力云圖如圖4所示，等效應(yīng)力最大值發(fā)生在一小部分半軸花鍵圓角過渡處，等效應(yīng)力大于1 500MPa的范圍很小，基本集中在花鍵圓角過渡部位。這是由于半軸在傳遞工作轉(zhuǎn)矩時(shí)，各花鍵齒近似受到單側(cè)均布載荷，所以在靠近半軸端面的鍵齒齒面應(yīng)力較小，齒形截面通過圓角過渡到光軸圓截面，引起應(yīng)力局部增大。但由于花鍵自身齒數(shù)較多，鍵齒受力均勻，所以圓角過渡處應(yīng)力梯度較小。半軸花鍵末端圓角過渡處和最小軸徑處的等效應(yīng)力值均低于半軸材料的抗扭強(qiáng)度1 934.10MPa，新型輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)的半軸滿足強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求。

5 結(jié)論

在滿足綜合機(jī)械性能的前提下，為獲得質(zhì)量較小的轉(zhuǎn)向驅(qū)動(dòng)橋變徑空心半軸，提出并建立了一種基于有限元數(shù)值模擬和近似響應(yīng)面法的半軸輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

(1)采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)采集數(shù)值模擬數(shù)據(jù)，基于最小二乘擬合法建立多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型，并將其引入到半軸輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可以較為準(zhǔn)確地描述設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)目標(biāo)之間的關(guān)系。

(2)在較好地滿足靜態(tài)扭轉(zhuǎn)剛度和強(qiáng)度要求下，建立了變徑空心半軸輕量化優(yōu)化設(shè)計(jì)的響應(yīng)面近似模型，運(yùn)用該多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，并結(jié)合序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法分析了半軸管參數(shù)對(duì)半軸質(zhì)量的影響。

(3)在滿足半軸工作安全性設(shè)計(jì)的同時(shí)，較好地達(dá)到了半軸質(zhì)量較小的優(yōu)化目標(biāo)，縮短了優(yōu)化設(shè)計(jì)周期，并且相對(duì)于原半軸結(jié)構(gòu)，左右兩半軸的頻率較好地達(dá)到一致，有效提升了整車舒適性。

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Lightweight Optimization Design of the Hollow Half Shaft of Steering Drive Axles Based on Response Surface Method

Wang Zhaohui1, Zhu Fayuan1, Lü Mi2& Chen Si1

1.CollegeofMechanicalEngineering,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430081;2.ChongqingConstructionIndustrial(Group)Co.,Ltd.,Chongqing400054

A lightweight design method is proposed for the hollow half shaft of a vehicle steering drive axle based on the combination of numerical optimization and finite element simulation. An optimization model for the lightweighting of half shaft is set up with the thicknesses and lengths of different parts and the transitional angle of half shaft as design variables, minimizing the mass of half shaft as optimization objective, and the 2ndorder constrained mode frequency and the equivalent stress at the filleted corner of spline end as constraints. A numerical simulation experiment combination of ten design variables with three levels each is determined by using orthogonal experimental design, a response surface approximation model for the half shaft is established by using least squares method, and an iteration optimization is conducted on the model with sequential quadratic programming algorithm. The results show that after lightweighting optimization the mass of hollow half shaft reduces by 16.7g, the frequency of 2ndorder constrained mode increases by 0.6Hz, and the equivalent stresses at both the filleted corner of spline end and the location with smallest diameter are lower than the torsional strength of half shaft material.

hollow half shaft; lightweight design; orthogonal experimental design; least square method; response surface model

*重慶市科技攻關(guān)計(jì)劃項(xiàng)目(CSTC2014YYKFB0187)和武漢科技大學(xué)研究生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)基金(JCX0018)資助。

原稿收到日期為2014年5月8日，修改稿收到日期為2014年8月21日。