考慮反彈行為的單纖維過濾穩(wěn)態(tài)捕集效率的數值模擬

馮 豐，付海明，雷陳磊，張 杰，趙洪亮，朱 輝

（東華大學 環(huán)境科學與工程學院，上海 201620）

考慮反彈行為的單纖維過濾穩(wěn)態(tài)捕集效率的數值模擬

馮 豐，付海明，雷陳磊，張 杰，趙洪亮，朱 輝

（東華大學 環(huán)境科學與工程學院，上海 201620）

采用穩(wěn)態(tài)單纖維表面粉塵樹枝生長隨機模擬，并考慮纖維過濾中氣溶膠粒子碰撞反彈行為，討論穩(wěn)態(tài)下斯托克斯數（St）與哈梅克常數（H）對粒子運動軌跡的影響，計算分析了St與H對穩(wěn)態(tài)單纖維捕集效率的影響.研究結果表明：當H值一定時，考慮反彈的捕集效率與不考慮反彈的捕集效率可以按斯托克斯數臨界值Stc為分界點寫成分段函數，通常1.0≤Stc≤3.5，在St≤Stc的階段，考慮反彈的捕集效率與不考慮反彈的捕集效率相等，且與文獻研究結果基本吻合；在St＞Stc階段，考慮反彈的捕集效率小于不考慮反彈的捕集效率，需對文獻研究結果進行修正，修正結果為文獻研究結果乘以反彈系數k，k是St、攔截系數Rp、填充率c及H的函數.

纖維過濾；粒子反彈；捕集效率；數值模擬

隨著工業(yè)的迅猛發(fā)展，空氣污染日益嚴重，大量微粒尤其是氣溶膠粒子（指懸浮在空氣中的固體或液體粒子物）對人類生存環(huán)境和健康產生了嚴重的威脅.目前，解決空氣質量問題最有效的方法之一是空氣過濾［1］.國內外已有學者在不考慮粒子碰撞反彈作用條件下，對纖維介質的過濾性能進行了詳細的實驗及數值研究［2-4］，而實際過濾過程中，通常存在反彈作用，其作用大小與纖維材料相關，文獻中單纖維捕集效率的計算結果往往高于實際的捕集效率.目前，考慮粒子碰撞反彈作用的研究報道較少.

本文使用隨機模擬方法，考慮粒子碰撞反彈后的運動特性，對纖維表面的反彈行為進行數值模擬，并在考慮反彈作用情況下，研究單纖維捕集效率與斯托克斯數（St）及哈梅克常數（H）的函數關系.

1 數學模型

1.1 Kuwabara模型

Kuwabara單纖維模型［5］用于分析纖維過濾介質表面塵粒捕集問題，其流場示意圖如圖1所示.由圖1可知，圓柱單纖維垂直氣流方向置于Kuwabara流場單元的中心，控制面隨機產生的粉塵粒子在流動阻力作用下向纖維運動.粒子以速度U進入流場，其徑向速度分量為U r，法向速度分量為Uθ.

圖1 Kuwabara流場單元模型Fig.1 Model of Kuwabara flow cell

Kuwabara流場的邊界條件：在纖維表面上速度等于零，在流場邊緣處的旋度等于零，徑向速度為Ucosθ.引入下列無量綱參量：

則在圖1所示直角坐標系下粒子運動方程為

其中：St為表征粒子慣性的斯托克斯數；rf為纖維半徑，m；u∞為主流平均速度（即過濾風速），m／s；u x和u y為氣流繞纖維流動速度分量，m／s.

在圖1所示的直角坐標下，Kuwabara流場速度在x軸和y軸方向分量按式（3）計算

式中：ψ為流函數，m2／s，其解為

其中：U為氣流的參照速度，m／s，U＝U0／（1-c），U0為未受干擾的流體速度，c為填充率；r′＝r／rf，r′為無量綱徑向坐標；Ku為Kuwabara動力學因子，由式（5）確定

對給定的初始速度和位置，采用四階Rung-Kutta方法對式（1）和（2）數值積分獲得粒子的運動軌跡［6-7］.

1.2 粒子碰撞反彈模型

本文采用 Dahneke［8-10］碰撞反彈理論分析纖維過濾中粒子碰撞反彈行為，其模型如圖2所示.

圖2 捕集體表面粒子碰撞反彈模型Fig.2 Model of particle impact and rebound on collector surface

輸送粒子以速度vi與纖維或已沉積粒子發(fā)生碰撞，其法向碰撞速度分量為vi，n，切向碰撞速度分量為vi，t；粒子反彈速度為vr，法向反彈速度分量為vr，n，切向反彈速度分量為vr，t.根據能量守恒原理，粒子碰撞前后的能量守恒方程式為

式中：Ek，in為粒子沿法向的碰撞動能；Ek，rn為粒子沿法向的反彈動能；Ep，i和Ep，r分別為粒子碰撞前后的動力學勢能；e為碰撞彈性恢復系數.由式（6）可知，粒子被捕集的條件為反彈動能Ek，rn＝0，假設Ep，i＝Ep，r＝Ew，則粒子反彈臨界速度vcr表示為

式中：mp為粒子質量，kg.若粒子碰撞法向速度vi，n＞vcr，則粒子發(fā)生反彈；反之，粒子被捕集.

1.3 單纖維捕集效率

單纖維捕集效率通常分為穩(wěn)態(tài)捕集效率及非穩(wěn)態(tài)捕集效率.當不考慮已沉積顆粒對捕集效率的影響時，為穩(wěn)態(tài)捕集效率；當考慮隨過濾時間的增加，已沉積顆粒成為新的捕集體，使捕集效率隨沉積量變化時，為非穩(wěn)態(tài)捕集效率［11-12］.

本文對過濾初期穩(wěn)態(tài)捕集效率進行研究，此時不考慮已沉積粒子對隨后來流粒子沉積的影響，僅由纖維體本身對粒子進行捕集，采用基于極限軌跡的單纖維捕集效率計算方法.令t時間內通過控制面的粒子數為N，其中被捕集的粒子數為N0，則穩(wěn)態(tài)單纖維捕集效率η的計算式可表示為

2 結果與分析

本文討論粒子直徑dp＞0.5μm的情形，并忽略其他外力場作用，因此，粒子捕集機制為攔截效應和慣性碰撞.H為表征物質之間范德華吸引能大小的參數.選取不同H作為影響粒子碰撞反彈作用的綜合參量，H越小，意味著粒子的黏附能越小，與捕集體碰撞后越容易發(fā)生反彈作用.H＝∞表示非反彈碰撞，即粒子一旦與沉積粒子或纖維發(fā)生碰撞，粒子就被捕集.纖維長度取Lf＝50μm.

由于氣流中粒子分布的隨機特征，每次模擬結果為一次隨機事件，因此，在相同計算條件下執(zhí)行多次模擬結果的平均才具有統(tǒng)計意義.穩(wěn)態(tài)單纖維捕集效率隨取平均值的數據組數的增加而變化的趨勢如圖3所示，其中，縱坐標為多次重復模擬計算效率的平均值η，Rp為攔截系數.由圖3可知，在模擬次數為25次之后的捕集效率平均值已趨于穩(wěn)定，因此，在本文的計算中，每種計算條件下執(zhí)行30次重復模擬，然后對計算結果取平均值.

不同St值下粒子反彈作用對輸送粒子運動軌跡的影響如圖4所示.模擬計算中所需參數如下：H＝1×10-19J，纖維直徑df＝10μm，dp＝1μm，粒子密度ρp＝1 g／cm3，c＝0.05，vi＝0.1 m／s.由圖4可知，當St值比較小時，粒子仍按照原有運動軌跡運動，例如St＝0.1時粒子與纖維碰撞后幾乎沒有反彈；隨著St值的增大，粒子運動軌跡發(fā)生了明顯的變化，與纖維碰撞后的反彈越來越劇烈，導致纖維背風處的“遮蔽區(qū)”越來越大，更多的粒子反彈后即逃逸，造成纖維捕集效率降低，例如St值從1.0增大到4.0時，粒子與纖維碰撞后被反彈的部分也隨之增加，造成被捕集的粒子越來越少，捕集效率越來越低.

圖3 捕集效率平均值隨數據組數增大而變化的趨勢圖Fig.3 The average of collection efficiency with the increase of the number of data sets

圖4 St值對粒子運動軌跡的影響Fig.4 Effect of Stokes number on particle trajectories

不同H值下粒子反彈作用對輸送粒子運動軌跡的影響如圖5所示.模擬計算中所需參數如下：df＝10μm，dp＝2μm，ρp＝1 g／cm3，c＝0.05，vi＝1 m／s.由圖5可知，當H值很小時，粒子與纖維碰撞后幾乎都被反彈；隨著H值越來越大，粒子與纖維碰撞后反彈的頻率越來越小，反彈效果越來越弱；當H值足夠大時，粒子與纖維碰撞后幾乎不再被反彈.

圖5 H值對粒子運動軌跡的影響Fig.5 Effect of H on particle trajectories

不考慮反彈時捕集效率模擬數據與經驗公式計算結果的對比如圖6所示，其中的模擬數據線為誤差圖表示方式，上下點分別為模擬計算中該組捕集效率值中的最大值與最小值.模擬計算中所需參數如下：df＝10μm，dp＝1μm，ρp＝1 g／cm3，c＝0.05.

圖6 無反彈捕集效率的模擬結果與實驗研究比較Fig.6 Comparison of collection efficiency between simulated collection efficiency and experimental results without rebounding

由圖6可知，捕集效率模擬數據與Davies修正公式及Torgeson公式［13］的計算結果和變化趨勢基本一致，兩個公式的部分計算結果也在模擬數據的最大值與最小值范圍內.隨著St值的增大，捕集效率η整體遞增，這說明穩(wěn)態(tài)情況或非穩(wěn)態(tài)情況下的顆粒沉積初始階段，St值對顆粒的捕集起著決定性的作用，這與經典纖維過濾理論的結論吻合［13］.圖6中Torgeson公式為

Davies公式為

考慮填充率的修正公式為

不同H值下St對單纖維捕集效率的影響如圖7所示.模擬計算中所需參數如下：df＝10μm，ρp＝1 g／cm3.由圖7可知，在St值較小時，St對反彈影響很小，幾條反彈曲線基本重合，與不考慮反彈時的效率變化曲線接近一致，捕集效率都隨著St值的增大而增大.當St值大于某一個臨界值以后，St對于反彈的影響開始變得很顯著.不考慮反彈時，捕集效率曲線仍舊隨著St的增大而增大；考慮反彈時，在St值大于該臨界值的區(qū)域捕集效率有一個驟降，之后捕集效率的減小速度開始變慢，最終趨向于一個穩(wěn)定值.這是因為St值大于反彈臨界值的粒子具有較大慣性，與纖維表面發(fā)生碰撞頻率較高，碰撞后發(fā)生反彈的頻率也較高，所以造成捕集效率驟降.由于反彈頻率有一個上限，不能無限制增長，所以最終捕集效率趨向穩(wěn)定值，而St值小于反彈臨界值的粒子慣性較小，與纖維碰撞的頻率較低，捕集效率仍然會提高.此外，當St大于臨界值且H比較小時，捕集效率比較低，當H變大時，捕集效率也相應變高，且H越大，該St的臨界值越大.當Rp＝0.1，c＝0.05時，臨界Stc范圍為1.0≤Stc≤1.5；當Rp＝0.5，c＝0.15時，Stc范圍為1.0≤Stc≤3.5.

圖7 不同H值下St對單纖維捕集效率的影響Fig.7 Effect of Stokes number on collection efficiency in different H

不同H值下反彈捕集效率／無反彈捕集效率與St之間的關系如圖8所示.由圖8可知，當St≤Stc時，考慮反彈的捕集效率（η反）與不考慮反彈的捕集效率（η0）變化一致；當St＞Stc時，η反／η0隨St值變大而減小，關系圖像近似為反比例函數圖象.將此兩種關系寫成表達式，有

式中：k＝f（St，Rp，c，H），在Rp和c一定的情況下，H值越大時，k值越大，Stc也越大.式（12）說明，在以往的過濾研究中，忽略粒子反彈作用是不準確的，考慮粒子反彈作用與否與該捕集過程的Stc有關，而Stc與Rp，c，H的關系，以及k與Stc，Rp，c，H的關系，需要進一步深入研究.

圖8 η反／η0與St的關系Fig.8 Relationship betweenη反／η0 and Stokes number

3 結 語

（1）本文采用計算機模擬的方法，對考慮粒子反彈作用下穩(wěn)態(tài)單纖維過濾介質表面粒子的沉積進行了模擬，觀察粒子在不同斯托克斯數St時和不同H值時的運動軌跡.由粒子運動軌跡可以看出，在H一定時，St值越大，反彈越劇烈；在St一定時，H值越小，反彈越劇烈.

（2）對數值模擬結果進行分析，隨著St值的增大，考慮反彈與不考慮反彈的捕集效率變化在初始基本一致，到某一個St臨界值之后（通常1≤Stc≤3.5），考慮反彈的捕集效率均低于不考慮反彈時的捕集效率.這是由于St較大的粒子具有較大慣性，與纖維表面發(fā)生碰撞頻率較高，碰撞后發(fā)生反彈的頻率也較高，較小粒徑粒子與纖維碰撞的頻率較低.

（3）不考慮反彈行為時，模擬結果與文獻研究結果基本吻合.在Rp和c一定的情況下，當H值一定時，考慮反彈的捕集效率與不考慮反彈的捕集效率可以按St臨界值為分界點寫成分段函數，在St≤Stc階段，兩者相等，且等于文獻研究結果；在St＞Stc階段，考慮反彈的捕集效率小于不考慮反彈的捕集效率，需對文獻研究結果進行修正，修正結果為文獻研究結果乘以反彈系數k，k是斯托克斯數St、攔截系數Rp、填充率c及哈梅克常數H的函數，在Rp和c一定的情況下，H值越大時，k值越大，St的臨界值也越大.

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Numerical Simulation of Stationary Collection Efficiency of a Single Fiber Filtration Considering the Rebounding Behavior

FENGFeng，FUHai-ming，LEIChen-lei，ZH ANGJie，ZHAOHong-liang，ZHUHui

（School of Environmental Science and Engineering，Donghua University，Shanghai 201620，China）

By using stochastic simulation technique in the growing process of particle dendrites on a single fiber and considering the behavior of aerosol particles collision，adhesion and rebound on surface of fibers，the effects of Stokes number（St）and Hamake constant（H）on particle trajectories in steady state were investigated.The effects ofStandHon stationary collection ef ficiency of a single fiber were examined.The results show that whenHis a fixed value，the relationship between rebounding collection efficiency and no-rebounding collection efficiency can be written as a piecewise function which the demarcation point isStc，these two are equal in the stage of the value ofStis less than or equal toStc，and the findings are consistent with the literature；whenStis greater thanStc，rebounding collection efficiency is less than no-rebounding collection efficiency，the research results are revised，multiplied by rebounding coef ficientk，kis a function ofSt，intercept coefficientRp，filling rateCandH.

fiber filtration；particles bounce；collection efficiency；numerical simulation

TQ 021；TU 834；X 701.2

A

2014-04-25

國家自然科學基金資助項目（51178094；41371445）

馮 豐（1990—），男，陜西寶雞人，碩士研究生，研究方向為建筑環(huán)境空氣質量控制.E-mail：fengfengbj0917＠163.com

付海明（聯(lián)系人），男，高級工程師，E-mail：fhm＠dhu.edu.cn

1671-0444（2015）05-0682-07