一元一次方程應用題的幾種特殊類型

朱亞邦

一元一次方程應用題的類型有很多。下面請大家看幾種比較特殊的類型。

一、特殊設元型

1.求整體，設部分。

例1 有一個八位的電話號碼，前四位數(shù)字完全相同，從第四位到第八位是依次減小的連續(xù)自然數(shù)，全部數(shù)字之和恰好等于號碼的最后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)（兩位數(shù)字的前后順序不變），請寫出這個電話號碼。

分析：前四位數(shù)字完全相同，且它們與后四位數(shù)字有聯(lián)系，因此可將前四位數(shù)字設出來，這樣便于列方程求解。

解：設前四位數(shù)字均為x，則后四位數(shù)字依次為x-l，x-2，x-3。x-4。

由題意得

4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10（x-3）+x-4。

解得x=8。

故x-1=7，x-2=6，x-3=5，x-4=4。

所以這個電話號碼是88887654。

2.求部分，設整體。

例2 有四名同學，他們每人手中都有一些錢，其中每三名同學手中的錢加起來分別為22元、19元、27元、25元，這四名同學手中的錢分別有多少元？

分析：按常規(guī)解法，需設四個未知數(shù)，列出多個方程，但目前大家還不會求解。由于目前大家只學了一元一次方程，所以考慮把整體設為未知數(shù)。

解：設這四名同學手中的錢共有x元。則每人手中的錢分別有（x-22）元、（x-19）元、（x-27）元、（x-25）元。

由題意得

（x-22）+（x-19）+（x-27）+（x-25）=x。

解得x=31。

故x-22=9，x-19=12，x-27=4。x-25=6。

所以這四名同學手中的錢分別有9元、12元、4元、6元。

3.未知數(shù)多，增設輔助未知數(shù)。

例3 某人乘坐小船沿河逆流而上，途中不慎將手機保護殼丟失，手機保護殼在河中順流而下。15min后，此人發(fā)現(xiàn)這一情況，并立即掉轉(zhuǎn)方向去尋找手機保護殼。假設小船在靜水中的行駛速度不變，水流速度也不變，則此人掉轉(zhuǎn)方向后需要多長時間可追上手機保護殼？

分析：題中未知數(shù)較多，已知數(shù)只有一個，問題不易解決。此時可考慮增設輔助未知數(shù)，并通過運算將輔助未知數(shù)消去，從而解決問題。

解：設此人掉轉(zhuǎn)方向后需要xmin可追上手機保護殼，小船在靜水中的行駛速度為am/min，水流速度為bm/min，則小船逆流行駛15min的行程為15（a-b）m，順流行駛xmin的行程為（a+b）xm，手機保護殼的行程為b（15+x）m。

由題意得（a+b）x=15（a-b）+b（15+x）。

化簡，得ax=150a

因為a≠0，所以x=15。

所以此人掉轉(zhuǎn)方向后需要15min可追上手機保護殼。

二、巧買型

例4 王老師帶領甲、乙兩位同學到文具店買筆記本，文具店給出了以下優(yōu)惠措施：筆記本售價為2.3元/本，如果買100本以上（不含100本），售價調(diào)整為2.2元/本。王老師手中有222.2元錢，準備買100本筆記本。甲同學算了一下說買不到，而乙同學算了一下說能買到。這到底是怎么回事？請通過計算說明。

分析：兩位同學肯定是根據(jù)不同的售價進行計算的。當1≤n≤100時，買n本筆記本需2.3n元；當n>100時，買n本筆記本需2.2n元。

解：甲同學的算法是：按售價為2.3元/本計算，設222.2元能買x本，由題意得2.3x=222.2，解得x≈96.6，不夠100本。

乙同學的算法是：按100本以上（不含100本）售價為2.2元/本計算，設222.2元能買y本，由題意得2.2y=222.2，解得y=101，這樣能買101本。

三、簡解型

例5 國慶期間，劉同學決定從家門口搭乘公共汽車趕往火車站，再乘火車回老家看望爺爺。在搭乘公共汽車行駛了三分之一的路程后，他估算了一下，繼續(xù)乘公共汽車將會在火車開出后半小時到達火車站，于是隨即下車改乘出租車，車速提高1倍，結(jié)果趕在火車開出前15min到達火車站。假設公共汽車的速度始終為40km/h，求劉同學家到火車站的距離。

分析：只要明白節(jié)省的時間是因為在剩下的三分之二的路程中由公共汽車換了出租車，就能快速求解問題。

解：設劉同學乘公共汽車行駛xkm，則劉同學家到火車站的距離為3xkm，劉同學乘出租車行駛2xkm。

由題意得2x/40-2x/80=45。

解得x=30。

故3x=90。

所以劉同學家到火車站的距離為90km。

四、節(jié)省型

例6 某超市國慶期間舉行促銷活動。給出了以下優(yōu)惠措施：一次性購物少于200元的，不給予優(yōu)惠：一次性購物不少于200元但不超過500元的，給予九折優(yōu)惠；一次性購物超過500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過500元的部分給予八折優(yōu)惠。某人兩次購物分別花了134元、466元。

（1）此人兩次購物節(jié)省了多少錢？

（2）若此人將兩次購買的商品合起來一次性購買，是否更省錢？請通過計算說明。

分析：解決問題的關(guān)鍵在于確定一次性購物的原價所在的范圍（少于200元、不少于200元但不超過500元、超過500元）。

解：（1）因為200×90%=180>134，所以此人第一次花費134元購買的商品沒有優(yōu)惠。

因為500×90%=450<466，所以此人第二次花費466元購買的商品的原價超過500元。

設他第二次購買了原價為x元的商品，由題意得500×90%+（x-500）×80%=466。解得x=520。

所以此人兩次購買的商品的原價分別為134元、520元，節(jié)省了520-466=54（元）。

（2）若將兩次購買的商品合起來一次性購買，則商品的原價為134+520=654（元），他實際需要付500×90%+（654-500）×80%=573.2（元），能節(jié)省654-573。2=80.8（元）。

所以此人將兩次購買的商品合起來一次性購買更省錢。

責任編輯：潘彥坤