用函數(shù)定義域培養(yǎng)學(xué)生思維

陳迎春

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決實(shí)際問題中不加注意，常常會(huì)使誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域，對(duì)解數(shù)學(xué)題，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)都十分有益。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須考慮其定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。如例1：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為100m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：s=x（50-x），故函數(shù)關(guān)系式為：s=x（50-x）。如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量x取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量x的范圍：0

二、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}。如果不注意定義域，將會(huì)導(dǎo)致最值的錯(cuò)誤。如：例2：求函數(shù)y=x2-2x-3在[-1，4]上的最值。

解：∵ y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4

∴ 當(dāng)x=1時(shí)，ymin=-4

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。其實(shí)以上結(jié)論只是對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應(yīng)分如下情況：（1）當(dāng) 時(shí)，y=f（x）在[p，q]上單調(diào)遞增函數(shù)f（x）min=f（p），f（x）max=f（q）;（2）當(dāng)- >q時(shí)，y=f（x）在[p，q]上單調(diào)遞減函數(shù)f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）;（3）當(dāng)p<-

∵ -1<1<4

∴f（-1）=（-1）2-2x（-1）-3=0

f（4）=42-2x4-3=5

∴ f（x）max=max{f（-1），f（4）}=f（4）=5

f（4）=42-2x4-3=5

∴ 函數(shù)y=x2-2x-3在[-1，4]上的最小值是- 4，最大值是5。

三、函數(shù)值域與定義域

f（4）=42-2x4-3=5

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：例3：求函數(shù)y=4x-5+ 的值域。錯(cuò)解：令t= ，則2x=t2+3∴ y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+ ） ?2+ >

故所求的函數(shù)值域是[ ，+∞]。剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有t>0，而函數(shù)y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)，ymin=1。

故所求的函數(shù)值域是[1，+∞）。以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯(cuò)誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解題后，檢驗(yàn)已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯(cuò)誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，就體現(xiàn)出了良好的數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)。

四、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。如例4：指出函數(shù)f（x）=log2（x2+2x）的單調(diào)區(qū)間。

解：先求定義域：∵x2+2x>0∴x>0或x<-2

∴ 函數(shù)定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（0，∞）。令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上時(shí)，u為減函數(shù)，在x∈（0，∞）上時(shí)， u為增函數(shù)。

又∵f（x）=log2u在[0，∞）是增函數(shù)。∴函數(shù)f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是減函數(shù)，在（0，∞）上是增函數(shù)。即函數(shù)f（x）=log2（x2+2x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）。如果在做題時(shí)，沒有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

五、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不成中心對(duì)稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：例5：判斷函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性。

解：∵ 2∈[-1，3]而-2∈[-1，3]

∴ 定義域區(qū)間[-1，3]關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱

∴ 函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)。

若學(xué)生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現(xiàn)出學(xué)生解題思維的敏捷性。如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯(cuò)誤結(jié)論：

∵ f（-x）=（-x）3=-x3=-f（-x）

∴ 函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]是奇函數(shù)。

錯(cuò)誤剖析：因?yàn)橐陨献龇ㄊ菦]有判斷該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學(xué)生極易忽視的步驟，也是造成結(jié)論錯(cuò)誤的原因。

綜上所述，在求解函數(shù)關(guān)系式、最值（值域）、單調(diào)性、奇偶性等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對(duì)定義域?yàn)镽來說），對(duì)解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進(jìn)而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。