運用發(fā)散法提高學(xué)生解題能力

俞烽

【摘要】高中數(shù)學(xué)知識是一個環(huán)環(huán)相扣的整體，每一個知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系都非常緊密，一道數(shù)學(xué)題通常會涉及多個知識點，要想完整地解題，就需要學(xué)生要有較強的發(fā)散能力，在有充足的知識儲備的前提下，將各個知識點有機地聯(lián)系起來.因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散性思維就顯得特別重要了，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散能力成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標之一.本文將從幾個方面來談?wù)勅绾卫脤W(xué)生的發(fā)散性思維，來學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)，發(fā)揮學(xué)生的發(fā)散能力，提高解題能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；發(fā)散能力；解題能力；學(xué)習(xí)方法

受到傳統(tǒng)應(yīng)試教育思想的影響，部分高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，過于強調(diào)學(xué)生應(yīng)試技巧的訓(xùn)練，讓學(xué)生在固化的模板內(nèi)反復(fù)訓(xùn)練，而忽略了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生的思維被局限在一個狹窄的范圍內(nèi)，缺乏思維發(fā)散能力.學(xué)生在題海戰(zhàn)術(shù)中，只是每做一題算一題，而沒有捉住知識點之間的聯(lián)系和題目與題目之間的聯(lián)系.這樣的學(xué)習(xí)方法，不但浪費大量的時間而且效果也不好.長時間這樣下去，便會降低學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，最終導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績下降.

在素質(zhì)化教育的今天，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力成為數(shù)學(xué)教學(xué)的第一目標.在保障學(xué)生的數(shù)學(xué)思維充分發(fā)展的前提下，加強發(fā)散性思維訓(xùn)練，使學(xué)生能捉住題目的內(nèi)在聯(lián)系，達到提高學(xué)生解題能力的目標.接下來，筆者將結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)出四種有效的發(fā)散思維方法，來提高學(xué)生的發(fā)散能力和解題能力，供各位同仁參考與借鑒.

一、直接發(fā)散法

直接發(fā)散法是在題目本身提供了足夠多的已知條件的前提下，直接聯(lián)系到相對應(yīng)的數(shù)學(xué)概念和公式，以此來尋找關(guān)系，是比較簡單而直接的發(fā)散思維方法.這一種方法不需要太復(fù)雜的邏輯思維，只需要學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)知識就可以完成.在習(xí)題中，用這種方法可以解決基礎(chǔ)類的題目，這一類題目本身比較簡單，教師可以在講解完新知識后，及時用這類題目來鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識.

比如以下的題目：

例1 已知兩集合分別是P={x|x2≤1}，M={a}，則a為何值時，有P∪M=P？

例2 向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3），且a-2b與c共線，求k的取值.

例3 在△ABC中，b=5，∠B=π4，tanA=2，求sinA和a的值.

例題1，由題意可知這是一道與集合有關(guān)的問題，可以直接聯(lián)系到集合有關(guān)的知識.我們可以由P∪M=P推出MP，所以根據(jù)集合的知識容易求得a要滿足的條件，即a2≤1，a的取值就很容易算出.

例題2，這是一道向量問題，涉及向量平行的判定知識，由題意可知a-2b=λc，所以我們可以列出方程求出k的取值.

例題3，題目與三角形的三角函數(shù)有關(guān)，并且求的是長度和正弦值，因此可以發(fā)散到解三角形有關(guān)的知識.在解三角形的公式中，主要是正弦定理和余弦定理，以及基本的三角形面積公式.題目中求正弦那么可以確定和正弦定理有關(guān)，對于sinA，我們用三角形誘導(dǎo)公式可以求得.

上述三道題，都可以經(jīng)過簡單的發(fā)散，聯(lián)系到相關(guān)的知識和公式.這類題型考查的是基礎(chǔ)知識的掌握情況，應(yīng)該作為學(xué)生的基礎(chǔ)訓(xùn)練，強化學(xué)生的直接發(fā)散思維能力.

二、間接發(fā)散法

有些題目的表層含義很模糊，不容易摸透題目的本質(zhì)，這就需要利用語言的間接發(fā)散能力，通過題目中的文字語言描述或者是圖形語言描述的內(nèi)容來進行間接的發(fā)散.這類題是考試的難點，需要學(xué)生對題目有較深入的理解，對題目進行一定的提煉、轉(zhuǎn)換、類比等才能解得答案.

比如以下幾題

例4 設(shè)y=f（x）的函數(shù)周期為2，且存在x∈[-1，1]，f（x）=x2，求函數(shù)y=f（x）和y=|lgx|的交點個數(shù).

例5 假設(shè)y=f（x）的函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a以及點（b，0）對稱，試證明：原函數(shù)的周期是4|a-b|，（a≠b）.

例題4，由題意可知這是一道涉及對數(shù)函數(shù)的題目，直接用代數(shù)方法很難進行計算.此時需要教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮語言間接發(fā)散能力，將文字語言轉(zhuǎn)換為圖像語言，畫出坐標軸和函數(shù)圖像，利用特殊點找出兩圖像的位置關(guān)系，然后進行定性判斷，求出答案，如下圖.

例題5，可以用作圖法證明，但是這樣不夠嚴謹，學(xué)生也不會信服.教師要從代數(shù)的知識出發(fā)，進行推理，引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)換為代數(shù)語言，就像看到f（x）關(guān)于x=a對稱，就可以轉(zhuǎn)換為f（x+a）=f（a-x）.此題也需要進行轉(zhuǎn)換后才能求解，教師應(yīng)該在日常訓(xùn)練中注意這方面的訓(xùn)練.

三、抽象發(fā)散法

當題目中沒有明顯提及相關(guān)的知識點，但通過題目條件進行抽象后，可以找出題目內(nèi)在關(guān)系，以此來尋找題目的著手點.這就需要學(xué)生發(fā)揮抽象發(fā)散能力，挖掘題目深處的本質(zhì)，對學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力要求比較高.這類問題目在考試當中占絕大部分，同時對這類題目的訓(xùn)練，是學(xué)生思維能力提高的關(guān)鍵，教師需要重點對這類題目加以輔導(dǎo)，幫助學(xué)生突破思維障礙.

比如以下幾題：

例6 當x，y∈[-π4，π4]時，有8x3-lg1-2x1+2x+sin2x=y3-lg1-y1+y+siny，則2x-y的值為多少？

例7 函數(shù)f（x）=ax4+bsin3x+cx3+dx+2滿足f（1）=7，f（-1）=9，且f（-2）+f（2）=124，求f（2）+f（-2）.

例題6，從題目的形式上來看也比較難的題目，學(xué)生會有種無從下手的感覺.此時，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮抽象發(fā)散能力，對原式進行仔細的觀察，并加以抽象處理，可以聯(lián)想到等式左邊是關(guān)于2x的表達式，右邊是關(guān)于y的表達式，且等式兩邊的表達形式是一樣的.由此我們可以大膽地推出：f（x）=x3-lg1-x1+x+sinx，因此，原式就可以轉(zhuǎn)換為f（2x）=f（y）的形式.接著由原函數(shù)的單調(diào)性，可以推算出函數(shù)變量和函數(shù)值的關(guān)系，最后便可解得答案.

例題7，題目中涉及的未知數(shù)比較多，但給定的已知條件無法列出相對應(yīng)的方程來求解，因此，這道題無法通過直接列方程解答.教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重新觀察題目，進行抽象概括，發(fā)揮思維發(fā)散能力，可以聯(lián)系到f（1）和f（-1），f（2）和f（-2）具有對稱關(guān)系，那么就可以用偶函數(shù)的性質(zhì)，通過整體法代入即可解得.

上述兩題都是比較難的題目，要求學(xué)生發(fā)揮一定的觀察能力和抽象能力，在此基礎(chǔ)上進行思維的發(fā)散，還能聯(lián)系到對應(yīng)的知識點，找到解題的切入點.抽象發(fā)散對于解析幾何和三角函數(shù)類的題目尤為有效，在日常訓(xùn)練中需多加練習(xí).

四、綜合發(fā)散法

對于一些綜合性強，涉及知識點多的題目，就需要學(xué)生從問題出發(fā)或者從結(jié)論出發(fā)，進行逆向的綜合發(fā)散，以此來將已有的知識、已做過的題型、已形成的思路聯(lián)系起來解題.

例8 設(shè)在實數(shù)范圍內(nèi)，y=f（x）為周期函數(shù)，T=5，在x∈[-1，1]內(nèi)，y=f（x）是奇函數(shù)，在[0，1]內(nèi)是一次函數(shù)，在[1，4]內(nèi)是二次函數(shù)，在x=2時有最小值-5.

（1）證明：f（1）+f（4）=0；（2）求f（x）在[1，4]的解析式；

（3）求f（x）在[4，9]的解析式.

對于這題，信息量比較大，需要學(xué)生往幾個方面發(fā)散思維：

方向一：由周期為5，可得f（x+5）=f（x），由奇函數(shù)，可得f（-x）=f（x）.

方向二：由函數(shù)的形式求解析式，可確定的是用常用的二次函數(shù)求法.

方向三：要求[4，9]的函數(shù)解析式，可以通過周期轉(zhuǎn)化為求[-1，4]的解析式.

從這三個方向出發(fā)便可以解得此題.對這類題目，只要在清楚審題的基礎(chǔ)上，進行綜合發(fā)散，聯(lián)系到相關(guān)知識，便可以迎刃而解.平時訓(xùn)練中，要多加歸納總結(jié)題目規(guī)律，做到以不變應(yīng)萬變.

總的來說，數(shù)學(xué)發(fā)散能力在一定程度上決定了學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的發(fā)散能力，能幫助學(xué)生提高解題能力，達到事半功倍的效果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和動力.上述四種思維發(fā)散方法，只是冰山一角，作為數(shù)學(xué)教師，還需在教學(xué)中不斷研發(fā)新的方法和思想，來幫助學(xué)生克服困難，不斷提高思維的發(fā)散性，保證學(xué)習(xí)效率，提高數(shù)學(xué)成績.

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