構(gòu)建模式直觀揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)

朱明俠

【摘要】模式直觀是理解數(shù)學(xué)概念、原理、方法的本質(zhì)的有效途徑，本文給出了構(gòu)建模式直觀的五種具體方法.

【關(guān)鍵詞】模式直觀；生活實(shí)例；圖形；運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；情景；實(shí)驗(yàn)

西南大學(xué)張廣祥教授曾就中學(xué)代數(shù)教學(xué)中如何揭示、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)做了深入的探討，提出了“模式直觀”的概念.筆者認(rèn)為，“模式直觀”不僅對(duì)于改變目前中學(xué)代數(shù)教學(xué)過于強(qiáng)調(diào)運(yùn)算而忽視對(duì)其本質(zhì)揭示的傾向有著重要的引領(lǐng)作用，而且對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的“去數(shù)學(xué)化”現(xiàn)象也是一劑良藥.下面筆者就“模式直觀”的理解和想法談一點(diǎn)體會(huì)，與同行交流.

1.用生活實(shí)例構(gòu)建模式直觀

數(shù)學(xué)中的許多概念、原理，若僅從純數(shù)學(xué)角度講授，學(xué)生一時(shí)很難理解，這時(shí)，教師可靜心思考、推敲，尋找學(xué)生身邊熟悉的，與所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)、哲理類同的生活實(shí)例，借以啟迪學(xué)生思維的閘門，引爆思維的火花，誘發(fā)其頓悟，以幫助其理解，把握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).如對(duì)于三垂線定理，由于涉及三條直線，學(xué)生往往無所適從，很難理解，這時(shí)可借助學(xué)生熟悉的削鉛筆過程構(gòu)建模式直觀，展示其原理.先將可折疊小刀的刀刃略打開（使刀刃與刀把不在一條直線上），這時(shí)鉛筆（平面內(nèi)的一條直線）與刀把（斜線在平面內(nèi)射影）垂直時(shí)，很明顯這時(shí)鉛筆就和刀刃（平面的斜線）垂直；反之，若鉛筆與刀刃垂直，鉛筆也就自然和刀把垂直.實(shí)際上，數(shù)學(xué)知識(shí)中的許多原理都是從實(shí)踐中歸納總結(jié)出來的，只要我們?nèi)フJ(rèn)真挖掘，就一定能夠找到合適的生活實(shí)例去構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式直觀，疏通制約學(xué)生思維的瓶頸，幫助學(xué)生真正理解所學(xué)知識(shí)的本質(zhì).

2.用圖形構(gòu)建模式直觀

圖形具有較強(qiáng)的直觀性，若將數(shù)學(xué)原理能用圖形表示出來，這對(duì)于幫助學(xué)生理解知識(shí)，把握本質(zhì)是非常有益的.如對(duì)于證明不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）的證明過程，語言表述學(xué)生都覺得沒有問題，但對(duì)其反映的兩正數(shù)間基本規(guī)律的實(shí)質(zhì)卻感到朦朧，導(dǎo)致在解題中難以靈活應(yīng)用.針對(duì)這一情況，我們可構(gòu)建一長(zhǎng)方形，使其長(zhǎng)為a，寬為b，則其面積為ab，而ab表示與其面積相等的正方形的邊長(zhǎng)，這樣不等式a+b2≥ab就表示以長(zhǎng)為a，寬為b的矩形兩相鄰邊長(zhǎng)度的一半不小于其等積的正方形的邊長(zhǎng)，這樣學(xué)生便依托圖形加深了對(duì)這一不等式本質(zhì)的把握.用同樣的方法，可構(gòu)建長(zhǎng)方體幫助學(xué)生理解不等式a+b+c3≥3abc的實(shí)質(zhì).

3.用運(yùn)動(dòng)狀態(tài)構(gòu)建模式直觀

數(shù)學(xué)中的許多原理與某些運(yùn)動(dòng)中所固有的規(guī)律是類同的，對(duì)于這些數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可構(gòu)建某些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來展示其規(guī)律和實(shí)質(zhì).數(shù)學(xué)歸納法證題兩個(gè)步驟的實(shí)質(zhì)學(xué)生往往不理解，他們做題只是形式上的模仿.為了幫助學(xué)生理解證題中各個(gè)步驟的原理，我們可用磁帶盒做實(shí)驗(yàn).數(shù)學(xué)歸納法證題第一步（證明n=1或第一個(gè)自然數(shù)成立），就相當(dāng)于證實(shí)第一個(gè)磁帶盒是能夠倒下的，而第二步（假設(shè)n=k成立時(shí)再去證n=k+1時(shí)也能成立）就相當(dāng)于證實(shí)當(dāng)前一個(gè)磁帶盒倒下時(shí)要保證緊隨其后的這個(gè)磁帶盒也能倒下.顯然，如果我們能做到這兩點(diǎn)，不論豎立的磁帶盒有多少就一定會(huì)全部倒下.正是基于這一有序傳遞原理，用數(shù)學(xué)歸納法證有關(guān)自然數(shù)的命題就必須經(jīng)過這兩個(gè)步驟才能完成.

4.用情境構(gòu)建模式直觀

數(shù)學(xué)中許多概念、原理看似難以信服，不可想象，但若使學(xué)生置于創(chuàng)設(shè)的情境中去聯(lián)系，去思考，便可眼前一亮，馬上產(chǎn)生頓悟.極限的概念與思想學(xué)生理解有困難，因?yàn)樗菑某Ａ繑?shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)過渡的第一個(gè)明顯的拐點(diǎn)，這時(shí)我們可用“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”情境誘發(fā)學(xué)生去思考.將一根粉筆用小刀進(jìn)行切割，第一次切割后剩余總長(zhǎng)的12，第二次切割后剩余量為12×12=122，第三次切割后剩余量為12×12×12=123，這樣繼續(xù)下去，第n次切割后剩余量顯然為12n，當(dāng)切割次數(shù)不斷增加時(shí)，粉筆剩余長(zhǎng)度顯然不斷減少（即趨近于0），但這一切割活動(dòng)是可以永遠(yuǎn)進(jìn)行下去的（而學(xué)生看到的是到一定階段后由于粉筆太短不能再繼續(xù)切割，但這只是切割技術(shù)層面上的問題），每切割一次，剩余長(zhǎng)度便向零接近一步，但無論經(jīng)過多少次切割，剩余長(zhǎng)度是永遠(yuǎn)不會(huì)等于零的.從這一切割情境中，學(xué)生便會(huì)意識(shí)到，極限的本質(zhì)只是有規(guī)律變化趨勢(shì)的一種預(yù)測(cè)和描述，但其永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)預(yù)測(cè)的結(jié)果（穩(wěn)定點(diǎn)）.

5.用實(shí)驗(yàn)構(gòu)建模式直觀

初等數(shù)學(xué)中有許多概念、原理由于受知識(shí)限制，沒有辦法向?qū)W生加以有理有據(jù)的論證和說明（如數(shù)學(xué)歸納法證題原理、球的表面積與體積公式、球面兩點(diǎn)間的距離等），對(duì)這類知識(shí)，為了使學(xué)生消除疑慮，我們可通過實(shí)驗(yàn)來展示和驗(yàn)證結(jié)論的正確性，從而使他們從思想上認(rèn)可和接受它.對(duì)于球面兩點(diǎn)間距離的概念，學(xué)生往往很難接受，他們認(rèn)為球面兩點(diǎn)間的距離應(yīng)是過這兩點(diǎn)的小圓的劣弧長(zhǎng)，而不應(yīng)當(dāng)是過這兩點(diǎn)大圓的劣弧的長(zhǎng)，其理由是小圓半徑小，故對(duì)應(yīng)劣弧短，而大圓半徑大，故對(duì)應(yīng)劣弧較長(zhǎng).為了使同學(xué)們能夠接受這一概念，我們可在籃球表面的縫合線（大圓）上用粉筆任意取兩點(diǎn)，讓學(xué)生再過這兩點(diǎn)畫出他們認(rèn)為最小的圓，并用線繩量出所畫圓被這兩點(diǎn)分成的劣弧的長(zhǎng)，再用線繩量出過這兩點(diǎn)的大圓（縫合線）上被這兩點(diǎn)分成的劣弧的長(zhǎng)，并把二者加以比較后，從中發(fā)現(xiàn)無論過兩點(diǎn)怎么去畫小圓，其對(duì)應(yīng)劣弧的長(zhǎng)總大于過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，在反復(fù)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，他們便會(huì)信服這一結(jié)論并樂于接受，在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上也掌握了如何求球面兩點(diǎn)間距離的方法.

以上所列僅是構(gòu)建數(shù)學(xué)模式直觀常用的幾種方法，在教學(xué)中，我們應(yīng)細(xì)心體會(huì)，反復(fù)琢磨，大膽聯(lián)想，尋找和構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模式直觀，借以暴露和展示數(shù)學(xué)概念、原理的本質(zhì)，以幫助學(xué)生真正理解所學(xué)的知識(shí)，提高數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)質(zhì)量和效率.