函數(shù)解析式、圖像、單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用

熊治周

函數(shù)教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，多年來，一直是高考必考重點(diǎn)內(nèi)容。函數(shù)解析式、函數(shù)圖像、函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別是在數(shù)列中的應(yīng)用非常廣泛，對(duì)解決數(shù)列中的數(shù)量關(guān)系等問題有較好的輔助意義。

一、從函數(shù)角度理解數(shù)列定義

數(shù)列就是有規(guī)律的排列數(shù)，可看成正整數(shù)集，也可看作以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)，是當(dāng)自變量按從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

例如，①由全體正偶數(shù)構(gòu)成的數(shù)列：2，4，6，8，……，2n，……。② 正方形數(shù)列：1，4，9，16，25，……。③圍棋格子中放麥粒的數(shù)列：1，2，4，……，263。

像這樣的數(shù)列還有很多，①②③分別是我們前面學(xué)的一次函數(shù)y=2x、二次函數(shù)y=x2、指數(shù)型函數(shù)y=2x-1當(dāng)x按照從小到大的順序依次取正整數(shù)時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。

這樣類比有什么好處呢？我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)列之前已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了函數(shù)的表示方法：解析法、列表法和圖像法。尤其是求函數(shù)解析式，我們做了系統(tǒng)的總結(jié)，可以很容易地推出①②③的通項(xiàng)公式分別是an=2n、an=n2、an=2n-1。我們也可以用列表法、圖像法表示數(shù)列，進(jìn)而得出了數(shù)列的三種表示方法：解析 法、列表法和圖像法。特別指出，數(shù)列的圖像是均勻分布的一群孤立的點(diǎn)。

二、應(yīng)用函數(shù)思想研究數(shù)列性質(zhì)

四、函數(shù)思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用

教材中等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式還寫成an=a1×qn-1=—×qn=c×qn，其中c=—是一個(gè)不為零的常數(shù)。當(dāng)q≠1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，y=cqx是一個(gè)非零常數(shù)與一個(gè)指數(shù)函數(shù)的積。因此，單看這個(gè)圖像就可以看出，表示數(shù)列{cqn}的點(diǎn)都在函數(shù)y=cqx的圖像上。

總之，教學(xué)數(shù)列內(nèi)容時(shí)，把函數(shù)的思想滲透其中，恰當(dāng)運(yùn)用，就能夠使數(shù)列問題輕松解決；這樣，既鞏固了函數(shù)的知識(shí)，又使數(shù)列問題得到了解決，事半功倍。

（作者單位：貴州省湄潭縣求是高級(jí)中學(xué)）