應(yīng)用《幾何畫板》解決三角函數(shù)圖像變換中的易錯問題

白杰

【摘要】多媒體技術(shù)在課堂教學(xué)過程中有著廣泛的用途和傳統(tǒng)教學(xué)所達(dá)不到的教學(xué)效果.因此作為新一代的中學(xué)教師我們不僅要具有精深的專業(yè)知識和深厚的教育教學(xué)功底，還應(yīng)熟練地掌握一種或多種適合自己學(xué)科的CAI軟件.

本文介紹了計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的重要軟件《幾何畫板》的主要功能，并通過實(shí)際案例分析說明《幾何畫板》在課堂教學(xué)過程中的重要作用.

【關(guān)鍵詞】計(jì)算機(jī)輔助教學(xué);幾何畫板;三角函數(shù)

一、計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的重要工具——幾何畫板

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)（ComputerAssisted Instruction，簡稱CAI）是教師為了提高教學(xué)效果和效率，利用以計(jì)算機(jī)為中心的豐富的教學(xué)資源，改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)，或?yàn)閷W(xué)生提供一個學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生通過與計(jì)算機(jī)的交互對話進(jìn)行學(xué)習(xí)的一種教學(xué)形式.

《幾何畫板》（The Geometers Sketchpad）是計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的重要軟件之一.它的主要功能有： ①畫出各種歐幾里德幾何圖形;②畫出解析幾何中的所有二次曲線;③畫出任意一個初等函數(shù)的圖像;④對所有畫出的圖形、圖像進(jìn)行各種變換，如平移、旋轉(zhuǎn)、放縮等;⑤對所作出的對象進(jìn)行度量，如線段的長度、封閉圖形的面積等.

下面筆者通過分析《幾何畫板》輔助教學(xué)的實(shí)際案例來說明其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用.

二、《幾何畫板》使用案例

（一）案例背景

三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像變換按變換方向的不同可以分為兩類：①沿y軸方向的伸縮變換;②沿x軸方向的伸縮變換和平移變換.

沿y軸方向的伸縮變換在沒有平移變換的干擾下比較容易掌握.沿x軸方向的平移和伸縮變換是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如果只發(fā)生單一的變換，學(xué)生能夠正確的理解并進(jìn)行處理，一旦兩種變換同時存在并且需要對其進(jìn)行綜合應(yīng)用時，學(xué)生就會出現(xiàn)一些困難.

（二）問題情景

問題1：將函數(shù)y=sinx的圖像進(jìn)行怎樣的變化后能得到函數(shù)y=sin2x+π3的圖像？

分析：這個問題是三角函數(shù)圖像變換中常見的練習(xí)題目.

解法一：先進(jìn)行伸縮變換再進(jìn)行平移變換.

學(xué)生出現(xiàn)的錯誤解法是：將函數(shù)y=sinx圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin2x的圖像，再將函數(shù)y=sin2x的圖像向左平行移動π3個單位長度.由此實(shí)際得到是函數(shù)y=sin2x+2π3的圖像，而非函數(shù)y=sin2x+π3的圖像.

正確的解法是：將函數(shù)y=sinx的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin2x的圖像，再將函數(shù)y=sin2x的圖像向左平行移動π6個單位長度，得到函數(shù)y=sin2x+π3的圖像.

對于這種平移變換中的錯誤，在高一第一學(xué)期介紹圖像變換時是作為一個易錯點(diǎn)進(jìn)行突破的，因此在這里只要進(jìn)行知識的復(fù)習(xí)和鞏固，學(xué)生便能夠接受.同時若伴有《幾何畫板》進(jìn)行演示，則可以增加學(xué)生對三角函數(shù)平移變換的感性認(rèn)識.

解法二：先進(jìn)行平移變換再進(jìn)行伸縮變換.

學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤解法是：將函數(shù)y=sinx的圖像向左平行移動π6個單位長度，得到函數(shù)y=sinx+π6的圖像，然后再將函數(shù)y=sinx+π6的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變.由此得到的函數(shù)圖像實(shí)際為函數(shù)y=sin2x+π6的圖像，而不是函數(shù)y=sin2x+π3的圖像.

正確的解法是：將函數(shù)y=sinx的圖像向左平行移動π3個單位長度，得到函數(shù)y=sinx+π3的圖像，再將函數(shù)y=sinx+π3的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=sin2x+π3的圖像.

對比兩種的做法，我們不難看出，出現(xiàn)此種錯誤的原因是學(xué)生沒有準(zhǔn)確地把握函數(shù)y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸縮變換上的區(qū)別和規(guī)律.下面我們可以利用一個更簡單的例題來說明學(xué)生的這種錯誤.

問題2：將函數(shù)y=sinx+π3的圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，所得到的解析式是什么？

正確的答案是：所得到的函數(shù)解析式為y=sin2x+π3.然而學(xué)生可能得到的函數(shù)解析式是：y=sin[2x+π3]=sin2x+2π3.

此時我們便可以利用《幾何畫板》進(jìn)行演示來幫助學(xué)生理解函數(shù)y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]在伸縮變換上的區(qū)別和規(guī)律.

（三）問題解決

步驟1：演示y=sin（ωx+φ）和y=sin[υ（x+φ）]兩個函數(shù)圖像伸縮變化的過程，讓學(xué)生觀察它們區(qū)別.（在說明兩個函數(shù)的變化過程時，可以選取兩個具體的函數(shù)，這樣利于學(xué)生進(jìn)行觀察.）

制作過程：①繪制兩條可變線段AB和CD;②度量線段AB和CD的長度，并將結(jié)果分別命名為ω和υ;③分別繪制出函數(shù)y=sinωx+π3和y=sinυx+π3.

演示方法：分別變換線段AB和CD的長度引起ω和υ的變化，讓學(xué)生觀察y=sinωx+π3和y=sinυx+π3兩個函數(shù)圖像變化的相同之處和不同之處.

觀察結(jié)論：當(dāng)ω和υ發(fā)生變化時，函數(shù)y=sinωx+π3和函數(shù)y=sinυx+π3圖像變化的共同點(diǎn)是：都發(fā)生了沿x軸方向的伸縮變化.不同點(diǎn)是：當(dāng)ω變化時，函數(shù)y=sinωx+π3的圖像以其與y軸的交點(diǎn)（0，32）作為定點(diǎn)進(jìn)行伸縮變化的（事實(shí)上，當(dāng)x=0時，無論ω取何值，均有y=sinωx+π3=32）;而當(dāng)υ變化時，函數(shù)y=sinυx+π3圖像則是以-π3，0作為定點(diǎn)進(jìn)行橫向伸縮的（事實(shí)上，當(dāng)x=-π3時，無論υ取何值，均有y=sinυx+π3=0）.

步驟2：演示函數(shù)y=sin（ωx+φ）圖像伸縮變化的過程，讓學(xué)生觀察其變化規(guī)律.

制作過程：①在x軸上選取一個點(diǎn)M，然后標(biāo)記它的橫坐標(biāo)xM;②計(jì)算出2π3xM并令結(jié)果為ω;③繪制新函數(shù)f（x）=sinωx+π3.

演示方法：拖動點(diǎn)M，讓學(xué)生觀察ω和xM之間的變化關(guān)系.

觀察結(jié)論：從《幾何畫板》所給出的數(shù)據(jù)中可以清楚地看到ω和xM之間的變化關(guān)系：當(dāng)ω變化時圖像上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍，即當(dāng)ω變換化時，圖像上每一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離變?yōu)榱嗽瓉淼?ω倍.這就說明函數(shù)y=sinωx+π3的圖像是以其與y軸的交點(diǎn)（0，32）作為定點(diǎn)進(jìn)行伸縮變化的.

步驟3：演示函數(shù)y=sin[υ（x+φ）]圖像伸縮變化的過程，讓學(xué)生觀察其變化規(guī)律.

制作過程：①在x軸上繪制點(diǎn)D（-π3，0）;②過點(diǎn)D構(gòu)造x軸的垂線;③在x軸上選取一個點(diǎn)N并標(biāo)記它的橫坐標(biāo);④計(jì)算出d=|xN-xD|，此時d為N點(diǎn)到D點(diǎn)的距離;⑤計(jì)算出πd并令結(jié)果為υ;⑥繪制新函數(shù)f（x）=sinυx+π3.

演示方法：拖動點(diǎn)N，讓學(xué)生觀察υ和xN、υ和d之間的變化關(guān)系.

觀察結(jié)論：從《幾何畫板》所給出的數(shù)據(jù)中可以清楚地看到：當(dāng)υ變化時，圖像上點(diǎn)N的橫坐標(biāo)并沒有變?yōu)樵瓉淼?υ倍，而d（圖像上點(diǎn)xN到直線x=-π3的距離）變?yōu)樵瓉淼?υ倍.這就說明函數(shù)y=sinυx+π3是以-π3，0作為定點(diǎn)進(jìn)行橫向伸縮的.

（四）問題結(jié)論

通過上面的觀察我們可以得出以下結(jié)論：函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像是由函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍，縱坐標(biāo)不變得到的;函數(shù)y=sin[υ（x+φ）]的圖像則是由函數(shù)y=sin（x+φ）的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)到直線x=-φ的距離變?yōu)樵瓉淼?υ倍，縱坐標(biāo)不變而得到的，而函數(shù)y=sin[υ（x+φ）]圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變化和υ之間的關(guān)系會因φ的不同而不確定.由此我們就可以幫助學(xué)生理解函數(shù)y=sin（ωx+φ）和函數(shù)y=sin[υ（x+φ）]在伸縮變換上的區(qū)別和規(guī)律，從而排除錯誤答案.

總之，多媒體設(shè)備已經(jīng)成為教育教學(xué)過程中必備的工具，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)技術(shù)也已經(jīng)成為當(dāng)代教師必備的素質(zhì)之一.作為新時代的教師，必須要掌握至少一種適合自己學(xué)科特點(diǎn)的CAI軟件，而且要學(xué)會如何使多媒體技術(shù)與課堂教學(xué)內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合，努力使課堂生動活潑，使學(xué)生在輕松愉悅情境中學(xué)習(xí)知識培養(yǎng)能力，打造出精品課堂.