做習題 悟規(guī)律

徐秀芬

同學們，大家在學習“平面直角坐標系”這一章內(nèi)容時，要認真地把教科書上的習題做一做。做完以后，大家就會發(fā)現(xiàn)平面直角坐標系中點的坐標有什么特征了.

一、各象限內(nèi)的點的坐標特征

例1（習題7.1第2題）根據(jù)點所在的位置，用“+”“-”填寫表1.

解析：略

通過填寫表1，我們可以歸納出各象限內(nèi)的點的坐標特征：

1.第一象限內(nèi)的點的坐標的符號為（+，+），第二象限內(nèi)的點的坐標的符號為（-，+），第三象限內(nèi)的點的坐標的符號為（-，-），第四象限內(nèi)的點的坐標的符號為（+，-）.

2.第一象限和第三象限內(nèi)的點，其橫坐標與縱坐標符號相同.

3.第二象限和第四象限內(nèi)的點，其橫坐標與縱坐標符號相反.

例2 已知點M（m，n）在第二象限，則點N（n+1，m-1）在（）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：因為點M（m，n）在第二象限，所以m<0，n>0.所以m-1<0，n+1>0.

所以點N（n+1，m-1）在第四象限.

故選D.

例3 根據(jù)點所在的位置，用“+”“-”“0”填寫表2.

解析：略.

通過填寫表2，我們可以歸納出坐標軸上的點的坐標特征：

1.X軸上的點的縱坐標都為0，所以X軸上的點的坐標可表示為（X，0）.若點在X軸的正半軸上，則X>0；若點在X軸的負半軸上，則X<0；若點在原點處，則X=0.

2.y軸上的點的橫坐標都為0，所以y軸上的點的坐標可表示為（0，y）.若點在y軸的正半軸上，則y>0；若點在y軸的負半軸上，則y<0；若點在原點處，則y=0.

3.原點的橫坐標、縱坐標均為0.

例4 已知點A （1+m，2m-1）在X軸上，那么m=_____，點A的坐標為_____.

解析：因為點A在x軸上，所以2m-1=0.解得m=1/2.故1+m=3/2.

所以點A的坐標為（3/2，0）.

三象限的角平分線上的點的坐標特征

雖然我們在前面討論了各象限內(nèi)的點的坐標特征，但是因為各象限內(nèi)有一些比較特殊的點，所以我們把這些點列出來進行討論.

例5 （習題7.1第5題，有改動）如圖1，根據(jù)要求描點，并總結(jié)規(guī)律.

（1）在所給的平面直角坐標系中描出點A（-4，-4），B（-2，-2），C（3，3），D（5，5），E（-3，-3），0（0，0）.這些點各自的橫坐標、縱坐標有什么關(guān)系？這些點有什么關(guān)系？

（2）在所給的平面直角坐標系中描出點G（-4，4），H（3，-3），M（-5，5），N（2，-2）.這些點各自的橫坐標、縱坐標有什么關(guān)系？這些點有什么關(guān)系？

解析：（1）如圖2，這些點各自的橫坐標、縱坐標相等，如果將這些點連起來，可以發(fā)現(xiàn)它們都在第一、三象限的角平分線上.

（2）如圖3，這些點各自的橫坐標、縱坐標互為相反數(shù)，如果將這些點連起來，可以發(fā)現(xiàn)它們都在第二、四象限的角平分線上.

通過解答例5，我們可以歸納出各象限的角平分線上的點的坐標特征：

1.第一、三象限的角平分線上的點，其橫坐標、縱坐標相等.

2.第二、四象限的角平分線上的點，其橫坐標、縱坐標互為相反數(shù).

例6 已知點P（ 3n+2，7 -2n）位于象限的角平分線上，則點P的坐標為_____.

解析：當點P在第一、三象限的角平分線上時，可得3n+2=7-2n.解得n=1.

此時點P的坐標為（5，5）.

當點P在第二、四象限的角平分線上時，可得（3n+2）+（7-2n）=0.解得n=-9.

此時點P的坐標為（-25，25）.

綜上可知，點P的坐標為（5，5）或（-25，25）

四、平行（垂直）于坐標軸的直線上的點的坐標特征

例7 （習題7.1第8題）建立一個平面直角坐標系，描出點A（-2，4），B（3，4），畫直線AB.若點C為直線AB上的任意一點，則點C的縱坐標是什么？想一想：

（1）如果一些點在平行于X軸的直線上，那么這些點的縱坐標有什么特征？

（2）如果一些點在平行于y軸的直線上，那么這些點的橫坐標有什么特征？

解析：略.

通過解答例7，我們可以歸納出平行（垂直）于坐標軸的直線上的點的坐標特征：

1.平行于X軸（垂直于y軸）的直線上的點，其縱坐標都相等.

2.平行于y軸（垂直于X軸）的直線上的點，其橫坐標都相等.

例8 已知點A（m，-2），B（3，m-1），且直線AB平行于X軸，則m的值為_____.

解析：因為直線AB平行于X軸，所以A、B兩點的縱坐標相等，即m-1=-2.解得m=-1.糊麟鬻l

例9 （習題7.2第11題）如圖4，三角形COB是由三角形AOB經(jīng)過某種變換后得到的圖形，觀察點A與點C的坐標之間的關(guān)系，三角形AOB中任意一點M的坐標為（X，y），點M經(jīng)過這種變換后得到點N，點N的坐標是什么？

解析：經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，三角形COB是由三角形AOB經(jīng)過對稱變換后得到的圖形，對稱軸就是X軸.

在此基礎(chǔ)上觀察點A與點C的坐標之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)它們的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù).

進一步探索可以發(fā)現(xiàn)，若三角形AOB中任意一點M的坐標為（X，y），則點M經(jīng)過這種變換后得到的點Ⅳ的坐標為（X，-y）.

通過解答例9，我們可以歸納出關(guān)于坐標軸或原點對稱的點的坐標特征：

1.如果兩個圖形關(guān)于X軸對稱，那么其對應(yīng)點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù).

2.如果兩個圖形關(guān)于y軸對稱，那么其對應(yīng)點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).

3.如果兩個圖形關(guān)于原點對稱，那么其對應(yīng)點的橫坐標、縱坐標均互為相反數(shù).

例10 已知點A（n，-7，m，+1），B（-3，2m-5）關(guān)于y軸對稱，求m-n的值.

解析：因為點A（n-7，m+1），B（-3，2m，-5）關(guān)于y軸對稱，所以其縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).從而可得n-7+（-3）=0，m+1=2m-5.

解得n=10，m=6.所以m-n=-4.