“平面直角坐標(biāo)系”導(dǎo)學(xué)

田載今

人教版初中數(shù)學(xué)教科書中，第七章“平面直角坐標(biāo)系”包含兩節(jié)內(nèi)容.前一節(jié)引入了平面直角坐標(biāo)系，從而給出了描述平面內(nèi)任一點的位置的工具：后一節(jié)討論：坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用.點是構(gòu)成圖形的基 本元素，坐標(biāo)由有特定含義的數(shù)構(gòu)成，點與坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化，是形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，坐標(biāo)方法是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物。 ：

1.坐標(biāo)是對點的位置的數(shù)量化表示.

任何幾何圖形都可以看作點的集合，幾何巾的點本身沒有大小，只表示特定的位置，如何精確地描述點的位置？這是數(shù)學(xué)中的一個基本問題.

如果要研究的點恰好都在同一條直線上，那么我們可以選這條直線為數(shù)軸，取它上面的一個定點作為原點，再規(guī)定出單位長度和正、負(fù)方向，則這條直線上原點之外的任一點P到原點的距離及點P在原點的哪一側(cè)就隨之確定了，于是，點P的位置就能用它對應(yīng)的數(shù)x表示了，x的絕對值表示點P到原點的距離，x的正負(fù)表示點P在原點的哪一側(cè)，x叫作點P在這條數(shù)軸上的坐標(biāo)，我們已經(jīng)知道，數(shù)軸上任一點都對應(yīng)一個確定的實數(shù)，反過來，任一實數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上唯一的點，因此，數(shù)軸是能精確地描述同一條直線上點的位置的數(shù)學(xué)工具，數(shù)軸上的所有點與全體實數(shù)有一一對應(yīng)的關(guān)系.

如果要研究的點都在同一平面內(nèi)，但不都在同一條直線上，那么用一條數(shù)軸就無法描述這些點的位置了.于是，有人想到用兩條數(shù)軸解決問題，如圖1，畫一條水平方向的數(shù)軸，取向右為正方向，記作x軸；過x軸的原點O再畫一條豎直方向的數(shù)軸，也以點（）為原點，取向上為正方向，記作y軸，這就組成了一個平面直角坐標(biāo)系.從平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點P，分別向x軸和y，軸作垂線，垂足分別對應(yīng)x軸上的數(shù)x0和y軸上的數(shù)Yo，這樣點P就與有序數(shù)對（xo，yo）對應(yīng)起來了，（xo，yo）即為點P在這個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)，按照這種方法，平面內(nèi)任一點都有一個有序數(shù)對（x，y）形式的坐標(biāo)，而且不同的點的坐標(biāo)不相同：反過來，任一有序數(shù)對（x，y）在平面內(nèi)只對應(yīng)唯一的點.因此，平面直角坐標(biāo)系是能精確地描述平面內(nèi)點的位置的數(shù)學(xué)工具，一個平面內(nèi)的所有點與全體有序?qū)崝?shù)對有一一對應(yīng)的關(guān)系，

比較上述兩類問題，可以發(fā)現(xiàn)：確定直線上點的位置時，用一條數(shù)軸，點的坐標(biāo)為一個實數(shù)，這叫作一維坐標(biāo)；確定平面內(nèi)點的位置時，用兩條數(shù)軸，點的坐標(biāo)為兩個有序的實數(shù)，且不同位置上的實數(shù)各自有著特殊的意義，這叫作二維坐標(biāo).可以進一步想到，確定空間中點的位置時，要用三條數(shù)軸，點的坐標(biāo)為三個有序的實數(shù)，且不同位置上的實數(shù)各自有著特殊的意義，這叫作三維坐標(biāo)，這些坐標(biāo)都是在不同條件下對于點的位置的數(shù)量化表示，且在日常生活中都有所體現(xiàn).例如，在沿一條畫好的直線植樹時，如果給出了這條直線上的一個定點作為參照點，那么只用一個數(shù)就能表示某個植樹點在參照點的哪一側(cè)，離參照點有多遠(yuǎn)：在一張方格紙上描點時，只用兩個數(shù)分別表示行號和列號，就能準(zhǔn)確地描述要描的點的位置：去一個樓上、樓下都有座位的電影院看電影時，根據(jù)電影票上分別表示樓層、排號和列號的三個數(shù)，就能準(zhǔn)確地找到自己的座位.

2.坐標(biāo)方法是重要的數(shù)學(xué)方法，

數(shù)學(xué)研究的主要對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，這兩者不是截然分離的，而是密切相關(guān)的.坐標(biāo)方法的作用并不局限于給出點的位置的數(shù)量化表示，也不僅是能對平移等圖形變化給出數(shù)量化描述.坐標(biāo)方法的重要貢獻在于為形與數(shù)的轉(zhuǎn)化提供了有效途徑，從而建立了點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，這不僅把點的位置用數(shù)的形式表示了，而且也給用數(shù)量關(guān)系刻畫幾何圖形提供了方便，例如，等式y(tǒng)=2x表示y與x的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)x分別取0、±1、±2、…時，y的值分別是0、±2、±4、….我們把有這種關(guān)系的x和y分別作為點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)（x和y也叫坐標(biāo)分量），則以這樣的有序數(shù)對（x，y）為坐標(biāo)的點包括（-2，-4），（-1，-2），（0，0），（1，2），（2，4）等，所有滿足y=2x的點（x，y）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)構(gòu)成一條直線（如圖2），我們稱它為直線y=2x.于是我們既可以利用這條直線直觀地研究y=2x這一數(shù)量關(guān)系，又可以利用y=2x這一式子研究這條直線.

坐標(biāo)方法的出現(xiàn)，使幾何問題可以代數(shù)化，即找出圖形上點的坐標(biāo)分量應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系，從而得到圖形對應(yīng)的方程，通過討論方程來研究圖形.這種方法的創(chuàng)立者是法國的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes.1596-1650）.他的哲學(xué)著作《方法論》的附錄《幾何學(xué)》，集中反映了平面坐標(biāo)方法和變量思想.盡管笛卡兒最初提出的平面坐標(biāo)系與現(xiàn)行的平面直角坐標(biāo)系在具體形式上有差別，但是他的思想引導(dǎo)了解析幾何的誕生.解析幾何這一用代數(shù)方程研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支，又為微積分的誕生創(chuàng)造了條件.恩格斯對此的評價是：“笛卡兒變數(shù)（即坐標(biāo)）的出現(xiàn)，是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點，從此運動和辯證法進入了數(shù)學(xué)，微積分的出現(xiàn)也成為必然.”

數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為，數(shù)無形，不直觀，形無數(shù)，難人微，在后續(xù)學(xué)習(xí)中大家會看到，坐標(biāo)方法既可以為函數(shù)建立圖象，使得抽象的數(shù)量關(guān)系得到直觀的幾何解釋，又可以將幾何圖形數(shù)量化地表示出來，通過對數(shù)量關(guān)系的定量研究更細(xì)微地認(rèn)識圖形.坐標(biāo)方法有如此重要的作用，是因為它把數(shù)與形完美地結(jié)合起來，使得它們優(yōu)勢互補、相得益彰.

3.坐標(biāo)方法的應(yīng)用一例，

坐標(biāo)方法有著廣泛的應(yīng)用，本章中主要介紹了用坐標(biāo)表示地理位置和平移變換，除了平面直角坐標(biāo)，還有極坐標(biāo)等可以確定點在平面內(nèi)的位置，極坐標(biāo)也是有序數(shù)對，其中兩個坐標(biāo)分量分別表示距離和角度，教科書第74頁“思考”中的問題就適合用這種形式的坐標(biāo)解決.雖然它與平面直角坐標(biāo)有區(qū)別，但是它們的基本思想是相同的.

有了坐標(biāo)方法，可以使解決問題的思路更寬廣，甚至可以通過精確的作圖代替復(fù)雜的計算.下面的問題如果不用坐標(biāo)方法，則要等我們到高中學(xué)習(xí)了正弦定理等知識以后才能解決，但是如能靈活運用坐標(biāo)方法，我們現(xiàn)在也能解決它.

問題從海岸上A地測得小島C在北偏東40°方向，從海岸上B地測得小島C在北偏西50°方向，A地在B地的正西方向，兩地相距l(xiāng)km.你能否求出小島C到A、B兩地的距離？

分析：已知條件中有兩個方位角和一個距離，要求兩個距離，可以先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示出A、B兩地的位置，再進一步確定小島C的位置.

解：如圖3，以A地為原點，以正東方向為x軸的正方向，以正北方向為y軸的正方向，以1個單位長度表示1km，建立平面直角坐標(biāo)系，

根據(jù)A地在B地的正西方向，兩地相距1km，可確定點B在x軸上，它的坐標(biāo)為（1，0）.

自點A畫出北偏東40°方向的線，白點B畫出北偏西50°方向的線，兩線的交點即為小島C所在的位置.度量圖中線段AC、BC、AB的長度，并以圖中線段AB的實際長度為1個單位長度進行同比例換算，可得AC≈0.64，BC≈0.77，從而可知小島C到A、B兩地的距離分別約是0.64km、0.77km.

上面的解答先利用坐標(biāo)方法確定點的位置，再通過度量線段的長度并計算，解決了問題，這種方法在實際測量中也經(jīng)常用到.

平面直角坐標(biāo)系是數(shù)形結(jié)合的重要工具，我們在以后的學(xué)習(xí)中還會經(jīng)常用到，希望同學(xué)們學(xué)好本章內(nèi)容，不斷加深對坐標(biāo)方法的認(rèn)識.