基于ARIMA模型對銷售總額的預(yù)測分析

李冬

[摘要]在自然科學(xué)和社會科學(xué)各研究領(lǐng)域中，大量決策問題都離不開預(yù)測，預(yù)測是決策的基礎(chǔ)。近年來，ARIMA模型得到了極大的發(fā)展，越來越多的應(yīng)用在各個領(lǐng)域的分析中，本文我們對某公司2000年1月到2008年12月的8種商品的銷售總額的數(shù)據(jù)作為分析的樣本進行分析，建模，預(yù)測未來三期的值。為了驗證預(yù)測的準(zhǔn)確性，我們?nèi)サ袅撕笕诘臄?shù)據(jù)，作為預(yù)測目標(biāo)，以便對真實值與預(yù)測值進行有效的對比，結(jié)果預(yù)測基本準(zhǔn)確，最終我們得出預(yù)測五期的增量。

[關(guān)鍵詞]時間序列；ARIMA模型；預(yù)測

[DOI]1013939/jcnkizgsc201538095

1判斷序列的平穩(wěn)性

某企業(yè)商品的銷售總額數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)見附錄）的時序圖見圖1。

2對原序列進行差分運算

時序圖顯示該序列具有一個線性遞增趨勢。所以對原序列先做異步差分，提取線性遞增趨勢[2]。

xt=xt-xt-1

一步差分后的序列{xt}時序圖，見圖2：

時序圖顯示出差分后序列在均值附近比較穩(wěn)定的波動。為了進一步確定平穩(wěn)性，考察1階差分后序列的自相關(guān)[3]，可以看到在短期內(nèi)1～5階的區(qū)間內(nèi)相關(guān)性急速增大，又急速減小，后期基本都小于二倍的方差，認為自相關(guān)圖顯示序列有短期的相關(guān)性，所以，可以初步認為一階差分后序列平穩(wěn)[4]。

3對平穩(wěn)的1階差分序列進行白噪聲檢驗

對1階差分后序列進行白噪聲檢驗，結(jié)果如下：

Autocorrelation Check for White Noise

ToChi-Pr >

LagSquareDFChiSqAutocorrelations

641496<00001-0031-0265-0323-020701720358

12915412<000010188-0095-0367-027600840405

181372418<000010255-0173-0345-014900030360

241712324<000010196-0079-0207-0234-00070332

在檢驗的顯著性水平取為005的條件下，所有的延遲階數(shù)對應(yīng)的p值都小于005，所以該差分序列不能視為白噪聲序列。

4對平穩(wěn)非白噪聲差分序列擬合ARMA模型

從自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖來看，偏自相關(guān)值與自相關(guān)值都有一些值大于2倍的方差，所以認為序列相關(guān)圖顯示出不截尾性，考慮構(gòu)造ARMA（1，1）模型擬合1階差分后序列，但結(jié)果殘差自相關(guān)檢驗結(jié)果中，LB統(tǒng)計量的p值都小于005，所以說模型不顯著，還有可提取部分。

經(jīng)過篩選，ARMA（2，3）模型顯著，其參數(shù)估計如下：

Conditional Least Squares Estimation

StandardApprox

ParameterEstimateErrort ValuePr > |t|Lag

MA1，11557140106091468<000011

MA1，2-137403014833-926<000012

MA1，3036736010822339000103

AR1，11050350026254001<000011

AR1，2-100000002630-3803<000012

結(jié)果中顯示其參數(shù)估計的T統(tǒng)計量的p值都小于005，所以參數(shù)估計顯著。

5對殘差序列進行檢驗

殘差自相關(guān)檢驗結(jié)果如下：

Autocorrelation Check of Residuals

ToChi-Pr >

LagSquareDFChiSqAutocorrelations

6353100604-0041-00390111-0009-0070-0108

12904702499-00690062-0045-0143-00860093

18135313040810051-0107-00520075-01010058

2418621904816-0008004201450015-00350116

我們從結(jié)果中看到，所有的p值中都小于005，不能接受原假設(shè)，即殘差不存在相關(guān)性，所以認為該擬合模型顯著成立[5]。

6擬合模型的具體形式

模型擬合結(jié)果如下

ARIMA（2，1，3）模型為：

（1-105035B+1B2）（1-B）Xt=at（1-155714 B+137403B2-036736B3）

7ARIMA模型預(yù)測

FForecasts for variable sum

ObsForecastStd Error95% Confidence Limits

1052397799930254688-3532010083276097

1065606345433918242-10415079122541988

1072968000134254641-3745786196817863

從結(jié)果中我們可以，看到未來三期的預(yù)測值。

2008年10月銷售總額增量為23977999元；

2008年11月銷售總額增量為56063454元；

2008年12月銷售總額增量為29680001元。

擬合預(yù)測圖見圖3：

圖3中黑色帶星為真實值一階差分后的曲線，紅色線為擬合曲線，綠色為95%的預(yù)測區(qū)間。

8結(jié)論

在本文中，我們將某公司2000年1月到2008年12月的8種商品的銷售總額的數(shù)據(jù)作為分析的樣本。為了驗證預(yù)測的準(zhǔn)確性，我們?nèi)サ袅撕笕诘臄?shù)據(jù)，作為預(yù)測目標(biāo)，以便對真實值與預(yù)測值進行有效的對比。首先，對數(shù)據(jù)進行序列圖的觀察。通過觀察，我們看到序列存在趨勢因素，然后我們通過差分，去除此因素。通過對差分后數(shù)據(jù)的觀察，以及相關(guān)系數(shù)圖的觀察確定為平穩(wěn)時間序列，以及對偏相關(guān)系數(shù)圖的觀察，序列的白噪聲檢驗，確認了序列符合建立ARMA模型的條件。然后，我們對數(shù)據(jù)行建模。通過t檢驗，以及殘差白噪聲檢驗，最終我們得出模型。最后，我們通過模型進行短期的預(yù)測。通過最后三期真實值與預(yù)測值的對比，相對誤差都小于5%，我們可以認為我們的預(yù)測是比較準(zhǔn)確的。在此基礎(chǔ)之上，我們用全部數(shù)據(jù)進行分析，得出了未來五期的相對上一期的預(yù)測增量。

參考文獻：

[1]陳兆國時間序列及其譜分析[M].北京：科學(xué)出版社，1998

[2]王燕應(yīng)用時間序列分析方法[M].北京：人民大學(xué)出版社，2012

[3]詹姆斯·D漢密爾頓時間序列分析[M].劉明志，譯.北京：中國社會科學(xué)出版社，1999

[4]Cleveland WP，Tiao GCDecomposition of Seasonal Time Series：A Model for the X-11 Program[J].Journal of the American Statistical Association，1986（71）：581-587

[5]Maravall A，Planas CEstimation Error and the Specification of Unobserved Component Models[J].Bank of Spain—Service of Studios：92，325-353，199

[6]韓朝怡ARIMA模型和X-11過程在農(nóng)民人均現(xiàn)金收入預(yù)測中的應(yīng)用研究[J].中國市場，2015（25）