別出心裁 出奇制勝

何聰

立體幾何中有一類四面體問題，如果用直接法解決較為復雜，甚至有些困難，但如果把它們補形成正方體或長方體解決就很簡單，下面舉例說明.

蘭州市三月份高三診斷考試中有這樣一個問題：

在半徑為R的球面上有不同的三點A，B，C，已知A，B，C三點中任意兩點的球面距離均為π3R，O為球心，則三棱錐O-ABC的體積為.

大部分同學很容易發(fā)現(xiàn)三棱錐O-ABC是棱長為R的正四面體，然后根據(jù)體積公式去求解，事實上如果把它放在棱長為22R的正方體中計算更為簡單.

VO-ABC=2R23-4×13×1222R3=212R3.

下面再舉幾個這方面的例子：

例1 （2003江西高考卷）一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）.

簡解 如圖，把四面體補形成正方體，由四面體的所有棱長都為2，可知正方體的棱長為1，四面體的外接球即為正方體的外接球，球的直徑為正方體的體對角線，所以，球半徑為32，球的表面積為4π322=3π.故選A.

例2 （2006山東高考卷）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED，EC向上折起，使A，B重合于點P，則P-DCE三棱錐的外接球的體積為（）.

簡解 同例1，易知三棱錐P-DCE為正四面體，且棱長為1，把它補形成正方體，則正方體的棱長為22，所以，球半徑為64，球的體積為4π3643=68π.故選C.

例3 （2009江西高考卷）如圖，正四面體ABCD的頂點A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯誤的為（）.

A.O-ABC是正三棱錐

B.直線OB∥平面ACD

C.直線AD與OB所成的角是45°

D.二面角D-OB-A為45°

簡解 同例1、例2，將正四面體補形成如圖正方體，一目了然，很容易判斷B錯誤.

例4 已知四面體A-BCD的三組對棱長分別為5，10，13，求它的體積.

簡解 將四面體補形成如圖長方體，則四面體的三組對棱為長方體的面對角線.設長方體的長、寬、高分別為x，y，z，則x2+y2=13，x2+z2=10，y2+z2=5，得x=3，y=2，z=1.

所以，VA-BCD=V長方體-4·13·12xyz=2.

總之，沒有做不到，就怕想不到，對這類問題別出心裁，采取補形方法，可取得出奇制勝的效果.

本文系甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“高三數(shù)學復習中的‘多與‘少研究”的研究成果之一.課題代碼為Gs[2013]GHB0212.