初中數(shù)學(xué)教材例題與習(xí)題二次開發(fā)的實踐與思考

朱小利

【摘要】數(shù)學(xué)教材中的例題、習(xí)題從某種程度上體現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識，并蘊含重要的數(shù)學(xué)思想與解題方法，一方面具有典型的示范作用，另一方面具有一定的開發(fā)價值.本文結(jié)合教學(xué)實踐中的相關(guān)案例，從開發(fā)例題、習(xí)題的背景、條件、結(jié)論三個方面闡述例題、習(xí)題二次開發(fā)的策略，有效提高課堂效率，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促進學(xué)生邏輯思維的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】例題習(xí)題；二次開發(fā)；策略研究

在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，例題、習(xí)題的講解環(huán)節(jié)是課堂中教學(xué)中必要的環(huán)節(jié)之一，那么作為一名教師如何更好地利用教材中的例題、習(xí)題，對學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心起著至關(guān)重要的作用.所謂例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”，主要是指依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，對數(shù)學(xué)教材中的例題、習(xí)題進行適度增刪、調(diào)整和加工，從而使其更好地適應(yīng)具體的教育教學(xué)情景和學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.因此，“二次開發(fā)”好教材中的例題、習(xí)題，才能使學(xué)生更好地掌握基本知識與基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與創(chuàng)新意識，從而有效地提高課堂教學(xué)效率.

一、初中數(shù)學(xué)教材例題、習(xí)題的教學(xué)現(xiàn)狀與價值訴求

（一）教學(xué)現(xiàn)狀

教材中的例題、習(xí)題因為其特殊性，具有很強的開發(fā)性，是教師在教學(xué)過程中非常重要的教學(xué)資源.但是在日常教學(xué)過程中，經(jīng)常會看到以下情景：

教師PPT展示題目：已知在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD四個頂點的坐標(biāo)分別為A（-3，-2），B（1，-1），C（3，2），D（-1，1），四邊形ABCD是不是平行四邊形？請給出證明.（浙教版八年級下冊第116頁第4題）

在教學(xué)過程中教師對例題、習(xí)題的處理方式有：1.教師一言堂，自己完成讀題、分析、講解題目；2.學(xué)生自己看題，讓有解題思路的學(xué)生講解題目；3.教師自選其他題目代替例題，教材中的例題讓學(xué)生課后自學(xué).可見在平時的教學(xué)過程中，教師并沒有充分利用教材中的例題與習(xí)題的潛在價值，沒有在教學(xué)過程中對例題與習(xí)題深層次地挖掘與延伸.

（二）價值訴求

有效地對教材例題、習(xí)題進行“二次開發(fā)”具有一定的教學(xué)價值.第一，教師根據(jù)自己已有的教學(xué)經(jīng)驗對教材例題、習(xí)題進行“二次開發(fā)”，不僅體現(xiàn)出教師自身的專業(yè)修養(yǎng)，還能在二次開發(fā)中不斷地提升教師的專業(yè)水平；第二，對教材例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”充分服務(wù)于新課程標(biāo)準(zhǔn)，能不斷提高學(xué)生的分析推理能力、解題問題的能力，促進學(xué)生多角度分析問題，使學(xué)生在解題中能融會貫通、舉一反三；第三，教材例題、習(xí)題的“二次開發(fā)”，大大提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性，學(xué)生學(xué)到的是思想方法，是情感體驗，是個性發(fā)展，學(xué)生會學(xué)、樂學(xué).愛因斯坦說過：“學(xué)校教給學(xué)生什么樣的知識最有價值？那就是學(xué)生離開學(xué)校許多年之后，還留在學(xué)生大腦中的那一部分東西.”而這樣的教學(xué)，學(xué)生所形成的能力，是不會隨著時間而消逝的.

二、初中數(shù)學(xué)教材例題、習(xí)題“二次開發(fā)”的教學(xué)實踐

教師如能在課前結(jié)合教學(xué)要求與學(xué)生實際，精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，并在課堂教學(xué)中給予正確引導(dǎo)，在思考、探究問題的過程中，充分挖掘例題、習(xí)題的潛在功能，就會使學(xué)生在原有的知識儲備的基礎(chǔ)上，建構(gòu)起更加靈活、更為寬廣的知識網(wǎng)絡(luò)，更有助于學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會思考，學(xué)會創(chuàng)造.

（一）基于背景

在日常的教學(xué)過程中，教師有意識地對題目背景進行更換，將同一知識融入到不同的背景中，教師選擇的背景可以是學(xué)生熟悉的事物和具體的情景，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的世界里開拓出可供他們思索、探討和發(fā)展的用武之地，使數(shù)學(xué)課程更具現(xiàn)實性.

圖 1案例 如圖1，直線l表示草原上的一條河流.一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的家中.他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線.（浙教版八年級上冊2.1圖形的軸對稱例2）

分析 如圖，設(shè)P是直線上任意一點，連接AP，BP.以直線l為對稱軸，作與線段AP成軸對稱線段A′P，則AP+BP=A′P+BP.顯然，當(dāng)A′，P，B同在一直線上時，A′P+BP最短，即路程最短.

如圖7，在平面直角系中，A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑的半圓P與y軸交于點M，以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求C，M兩點的坐標(biāo)；

（2）在x軸上是否存在一點Q，使得ΔQMC的周長最小？若存在，求出點Q的坐標(biāo)和最小值；若不存在，請說明理由.

分析 （1）依題意推出AB=BC=CD=AD，連接PM，根據(jù)勾股定理求出OM的值后可求出點M的坐標(biāo)；（2）首先作M點關(guān)于x軸的對稱點M′，連接M′C，根據(jù)題意可知QM+QC的和最小，因MC為定值，故△QMC的周長最小.

以上題目只是同一知識點在不同背景下的應(yīng)用，解決這種同一類的問題，我們可以通過研究它們之間的共性，找到其解題的一般規(guī)律，這樣一來，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維由集中到發(fā)散，再由發(fā)散到集中，知識不再是零散，而是有規(guī)律地儲存在學(xué)生頭腦中，既牢固又能得到靈活運用.

（二）基于條件

教材中很多的例題、習(xí)題具有一定的代表性，教師時常以其為載體，對例題、習(xí)題的條件進行改編和變式，這對提高學(xué)生的發(fā)散能力，鍛煉學(xué)生的思維都是很有幫助的.

圖 81.變更條件

案例：如圖8，△ABD和△AEC均為等邊三角形，B，A，C三點在同一直線上，連接BE，CD.求證：BE=CD.（浙教版八年級上冊2.3等腰三角形的性質(zhì)作業(yè)本）

變更一：改編案例的條件

將“B，A，C三點在同一直線上”改為“△ABD或△AEC繞點A旋轉(zhuǎn)”，其余條件保持不變.

變更二：改編案例的條件

將“等邊三角形”改成“等腰直角三角形”，繼而改成“等腰三角形”“正方形”“任意正多邊形”，其余條件不變.

2.加強或弱化例題、習(xí)題的條件

在教材原題的基本上拓展變化，通過變更條件、加強條件與弱化條件等角度提出新問題，引導(dǎo)學(xué)生探索獲取知識，這樣不僅能使題目涉及的基礎(chǔ)知識得到強化，而且能提高學(xué)生對前后知識的整合能力，對培養(yǎng)學(xué)生的變通性能起到“以點帶面”的作用，有助于學(xué)生克服思維的單一性和片面性，提高創(chuàng)新思維能力.

（三）基于結(jié)論

笛卡兒說：“我所解決的每一個問題將成為一個范例，以用于解決其他問題.”教材中典型的例題、習(xí)題在日常教學(xué)中如同可再生資源，可以變化、引申、拓展，由一道題變出多道題，挖掘這些具有啟發(fā)性的題目不僅可以提高課堂效率，還能有效激發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力.

圖 14 1.挖掘題目中其他結(jié)論

案例 如圖，△ABD和△AEC均為等邊三角形，B，A，C三點在同一直線上，連接BE，CD.求證：BE=CD.（浙教版八年級上冊2.3等腰三角形的性質(zhì)作業(yè)本）

[結(jié)論開發(fā)一]圖中哪些三角形可以通過旋轉(zhuǎn)而得到？挑

選其中的一對三角形，指出旋轉(zhuǎn)中心及旋轉(zhuǎn)角度.

[結(jié)論開發(fā)二]求∠BHD的度數(shù).

[結(jié)論開發(fā)三]求證：△AFG是等邊三角形.

[結(jié)論開發(fā)四]求證：FG∥BC.

2.挖掘題中隱含結(jié)論

案例

原題1：已知直角坐標(biāo)系內(nèi)四個點A（a，1），B（b，1），C（c，-1），D（d，-1），四邊形ABCD一定是平行四邊形嗎？如果你認(rèn)為是，請給出證明；如果你認(rèn)為不一定是，請?zhí)砑右粋€條件，使它一定是平行四邊形.（浙教版八年級下冊第114頁第6題）

原題2：已知在直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD四個頂點的坐標(biāo)分別為A（-3，-2），B（1，-1），C（3，2），D（-1，1），四邊形ABCD是不是平行四邊形？請給出證明.（浙教版八年級下冊第116頁第4題）

挖掘結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中探索平行四邊形頂點坐標(biāo)問題.

圖 15如圖，點A，B，C是平面直角坐標(biāo)系中不在同一直線上的三點.

（1）如圖，以A，B，C三點為頂點的平行四邊形可以作出三個，分別以AB，BC，AC為對角線分類討論；

（2）若A，B，C，D四點的坐標(biāo)分別為xA，yA，xB，yB，xC，yC，（xD，yD），

則xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

應(yīng)用結(jié)論：（2011鄂爾多斯）如圖，拋物線y=-（x-1）2+4的頂點為A，與x軸相交于B，C兩點，直線y=-2x+6經(jīng)過A，C兩點，且點C的坐標(biāo)為（3，0），連接OA.（1）求出點B的坐標(biāo)和直線OA的解析式.（2）直線y=m（0

圖 16①用含m的代數(shù)式表示線段EF長；②試求S與m的函數(shù)關(guān)系式，且當(dāng)m為何值時，S有最大值？

（3）設(shè)直線y=m與y軸交于點Q，則在拋物線上是否存在這樣的點P，使以點Q，P，C，B為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo).

分析 本題第（2）小題著重考查平行四邊形的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，能力要求較高.在解決有關(guān)拋物線與平行四邊形的問題中，關(guān)鍵是要靈活應(yīng)用上述結(jié)論，達到解一題會一類.

因此，在平時的教學(xué)過程中，要注意總結(jié)與歸納，努力把問題中的一些共同的性質(zhì)揭示出來，并應(yīng)用它們解決更復(fù)雜的問題，有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、廣闊性、創(chuàng)新性，使學(xué)生零散的思維聚集為有序的推理，獲得對表象體驗的濃度認(rèn)識.

三、實施“二次開發(fā)”的思考

1.“二次開發(fā)”過程中要重視學(xué)生開發(fā)的主體性.在對教材例題、習(xí)題二次開發(fā)過程中，教師在不知不覺中會將重點放到例題、習(xí)題的處理中，會不斷花時間地對例題、習(xí)題進行補充、拓展、加深，在這個過程中經(jīng)常會忽略學(xué)生的主體性，因此，在教學(xué)過程中，對例題、習(xí)題的內(nèi)在潛能挖掘是必要的，但不能忽略學(xué)生在教學(xué)過程中的主體性，使學(xué)生在教學(xué)過程中積極地、目的明確地、主動地投入到教學(xué)活動中.

2.“二次開發(fā)”過程中培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力.教師在對例題、習(xí)題二次開發(fā)過程中，可以讓學(xué)生嘗試地對例題、習(xí)題進行歸納整理，可以讓能力強的學(xué)生利用自己已知的知識嘗試對題目進行開發(fā)，這樣不僅可以讓學(xué)生親自發(fā)現(xiàn)其實很多題目是有共性的，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

3.“二次開發(fā)”過程中教師應(yīng)不斷地提升自己的專業(yè)水平.在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，作為教師應(yīng)該轉(zhuǎn)變原有的教學(xué)模式，不斷適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)，教師之間應(yīng)不斷地交流、合作，教師可以把教學(xué)過程中的成功與失敗、教學(xué)心得、教學(xué)案例等及時積累，不斷累積，因為只有教師自己本身不斷鉆研，不斷充電提高，才能更好地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

四、結(jié)束語

總之，教材例題、習(xí)題的二次開發(fā)，一方面使教師在教學(xué)過程中能靈活使用教材中的例題、習(xí)題，提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)，使教學(xué)達到“事半功倍”的效果，另一方面還能在提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的同時，也提高學(xué)生的解題能力和探究推理能力，有利于促進學(xué)生各方面更好地發(fā)展.