基于水平集和浸入邊界方法的鰻鱺科魚類游動(dòng)模擬研究

崔 祚，汪陽(yáng)生，周后村

（1.貴州理工學(xué)院航空航天工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550003；2.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，四川 綿陽(yáng) 621000）

0 引 言

經(jīng)過(guò)億萬(wàn)年自然進(jìn)化，魚類為捕獲食餌、逃避敵害和繁殖后代等生存需要，獲得了優(yōu)異的水下運(yùn)動(dòng)能力，既可以在持久巡游下保持高效率，也可在逃逸狀態(tài)下爆發(fā)極高的游動(dòng)加速度，還可在復(fù)雜狹小環(huán)境中實(shí)現(xiàn)高機(jī)動(dòng)性游動(dòng)[1]。目前，魚類仿生學(xué)研究已經(jīng)取得了諸多進(jìn)展，并在生物流體力學(xué)以及仿生水下航行器等方面形成特色[2]。雖然研究人員設(shè)計(jì)了多種仿生水下航行器，但航行器的推進(jìn)性能遠(yuǎn)遜色于魚類的游動(dòng)性能，其重要原因在于仿生學(xué)者并未完全揭示魚類高效快速游動(dòng)機(jī)理，特別是柔性魚體與流體之間的相互作用過(guò)程[3]。

目前，計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）被廣泛應(yīng)用到魚類游動(dòng)的數(shù)值模擬中。與實(shí)驗(yàn)分析相比，數(shù)值模擬方法能夠克服實(shí)驗(yàn)操作困難和可重復(fù)性差等缺點(diǎn)。同時(shí)，魚游數(shù)值模擬結(jié)果能夠提供魚體周圍流場(chǎng)的壓力分布、速度分布以及尾跡渦量信息，為定量研究魚類游動(dòng)性能和游動(dòng)機(jī)理提供了條件。魚類游動(dòng)的數(shù)值模擬研究屬于典型流固耦合問(wèn)題，基于數(shù)值方法求解Navier-Stokes 方程組，根據(jù)魚體幾何形狀和運(yùn)動(dòng)模型來(lái)設(shè)定邊界條件，計(jì)算出流場(chǎng)參數(shù)在連續(xù)區(qū)域上的離散分布，從而獲得魚類游動(dòng)過(guò)程中流場(chǎng)隨時(shí)間變化的細(xì)節(jié)信息，有利于揭示魚類游動(dòng)機(jī)理。例如，Liu等[4]在粘性非定常流條件下，分析了鰻鱺運(yùn)動(dòng)模式的游動(dòng)性能和尾跡流場(chǎng)結(jié)構(gòu)；Carling 和Williams[5]分析了二維鰻魚自主游動(dòng)中流體粘性對(duì)推進(jìn)性能的影響；Borazjani 和Sotiropoulos[6-7]研究了鰻鱺模式在粘性流體、過(guò)渡區(qū)流體和無(wú)粘流等情況下的游動(dòng)性能，并與鲹科模式魚類對(duì)比，探討了魚體波參數(shù)對(duì)魚類游動(dòng)速度、游動(dòng)效率以及流場(chǎng)特征等的影響；Kern 等[8]分析了鰻鱺模式魚類自主游動(dòng)過(guò)程中推進(jìn)效率和尾渦控制等流場(chǎng)信息，并提出了優(yōu)化推進(jìn)性能的設(shè)計(jì)方法；Gazzola 等[9]將流固耦合算法與增強(qiáng)學(xué)習(xí)等優(yōu)化算法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了以提高游動(dòng)效率為目標(biāo)的魚體運(yùn)動(dòng)學(xué)和形態(tài)參數(shù)優(yōu)化。

在自然界，魚類的游動(dòng)發(fā)生于非定常慣性流體環(huán)境中，數(shù)值模擬研究存在魚體外形復(fù)雜以及邊界運(yùn)動(dòng)等難點(diǎn)。目前，新的網(wǎng)格生成方法和流固耦合數(shù)值算法為魚游數(shù)值模擬的計(jì)算效率和計(jì)算精度提供了實(shí)現(xiàn)途徑。對(duì)于復(fù)雜的幾何邊界，貼體網(wǎng)格的生成過(guò)程復(fù)雜、速度慢。對(duì)于動(dòng)邊界問(wèn)題，貼體網(wǎng)格需借助網(wǎng)格變形和動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，計(jì)算量大。鑒于此，本文采用level-set（LS）函數(shù)描述復(fù)雜的魚體界面，利用浸入邊界法（IB）模擬魚體與流體之間的相互作用力，即采用IB-LS 數(shù)值方法來(lái)模擬魚類游動(dòng)[10]。該方法通過(guò)在控制方程中加入體積力源項(xiàng)來(lái)模擬邊界對(duì)流場(chǎng)的作用，然后在固定直角網(wǎng)格上進(jìn)行離散求解。該方法前期已被應(yīng)用到復(fù)雜動(dòng)邊界流動(dòng)的數(shù)值模擬中，具有網(wǎng)格生成簡(jiǎn)單且不需要考慮邊界形狀的優(yōu)點(diǎn)。與前期工作[10]相比，本文以鰻鱺科魚類為研究對(duì)象，重點(diǎn)分析魚類游動(dòng)性能與魚體波動(dòng)曲線參數(shù)以及流體環(huán)境等因素的復(fù)雜關(guān)系，其中魚體波動(dòng)曲線可通過(guò)擺動(dòng)幅值、擺動(dòng)頻率以及波動(dòng)曲線波數(shù)等參數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

1 數(shù)值方法

1.1 N-S控制方程

對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處的來(lái)流速度U∞和特征長(zhǎng)度L進(jìn)行無(wú)量綱化，魚類游動(dòng)不可壓流體的Navier-Stokes 控制方程為

式中：xi(i= 1,2,3 )為以L作無(wú)量綱化的三個(gè)坐標(biāo)方向x、y和z；ui為三個(gè)坐標(biāo)方向的速度u、v和w；t為以L/U∞作無(wú)量綱化的時(shí)間；p為以ρU2∞作無(wú)量綱化的壓力，ρ為流體密度；Re為流體雷諾數(shù)，Re=U∞L/ν；fi為魚體與流體的相互作用力。

對(duì)于低雷諾數(shù)流體，利用直接求解方法（DNS）進(jìn)行魚游的數(shù)值模擬。對(duì)于高雷諾數(shù)流體，采用大渦模擬方法（LES）進(jìn)行計(jì)算，流動(dòng)的非定常性主要取決于大尺度漩渦的運(yùn)動(dòng)，小尺度的運(yùn)動(dòng)被認(rèn)為是各向同性。在數(shù)學(xué)上對(duì)N-S方程進(jìn)行某種過(guò)濾，只計(jì)算大尺度的湍流，將小于過(guò)濾尺度的湍流用SGS（Samgorinsky eddy viscosity）模型進(jìn)行分析[11]。相對(duì)于DNS 方法，LES 計(jì)算量較小，適合模擬高雷諾數(shù)流體環(huán)境中魚類復(fù)雜游動(dòng)。采用LES方法的N-S控制方程為

由于采用浸入邊界法來(lái)模擬魚游，計(jì)算網(wǎng)格不需要考慮魚體的幾何形狀，所以將N-S方程直接在直角網(wǎng)格上進(jìn)行離散。本文采用正交網(wǎng)格進(jìn)行空間離散，各變量均分布在交錯(cuò)網(wǎng)格上，速度分量定義在面心上，壓力和Level-set 函數(shù)值等均定義在體積單元中心上?？臻g離散方法主要包括二階精度的中心差分格式和迎風(fēng)非振蕩ENO（essentially non-oscillatory）格式。在魚體模擬中，在魚體界面附近使用ENO 格式，計(jì)算穩(wěn)定性較好，但耗散較大；在遠(yuǎn)離魚體界面的位置使用中心差分格式，數(shù)值耗散小。時(shí)間推進(jìn)采用二階精度Runge-Kutta 格式(RK2)，由Fractional step 方法和Projection 方法來(lái)求解不可壓流體的N-S 方程，壓力泊松方程通過(guò)調(diào)用PETS 庫(kù)進(jìn)行求解。本文所使用的N-S 求解器是在Linux 系統(tǒng)下使用Fortran 語(yǔ)言進(jìn)行編寫，采用MPI 命令實(shí)現(xiàn)程序并行運(yùn)算，具體詳見文獻(xiàn)[10]。本文計(jì)算所需的硬件設(shè)備為國(guó)家超級(jí)計(jì)算長(zhǎng)沙中心“天河”計(jì)算機(jī)，二維和三維的魚游算例分別采用64 個(gè)和256 個(gè)CPU進(jìn)行并行計(jì)算。

1.2 基于Level-set方法的魚體界面描述

參考文獻(xiàn)[8]，把鰻鱺科魚體截面簡(jiǎn)化為橢圓形，其長(zhǎng)軸半徑ξw(x)和短軸半徑ξh(x)分別為

式中，L為魚體長(zhǎng)度，二維魚體幾何尺寸由函數(shù)ξw( )x描述。在浸入邊界法中，浸入物體的邊界形狀和位置通常由一套隨體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日網(wǎng)格來(lái)描述，拉格朗日點(diǎn)的坐標(biāo)是弧長(zhǎng)和時(shí)間的函數(shù)。但對(duì)于魚體的復(fù)雜邊界，很難直接在邊界上劃分拉格朗日網(wǎng)格，通常需要借助網(wǎng)格劃分軟件進(jìn)行網(wǎng)格劃分，該方法計(jì)算量大，網(wǎng)格劃分也較為復(fù)雜。

本文采用Level-set 方法來(lái)確定魚體復(fù)雜界面，該方法也被用于描述多相流的界面[12]。設(shè)Levelset函數(shù)為φ(x,t)，魚體邊界上的函數(shù)值φ(x,t)= 0，在魚體內(nèi)部（固體域內(nèi)）任意點(diǎn)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，在流體域中函數(shù)值為正數(shù)。由于Level-set 函數(shù)φ(x,t)為距離函數(shù)，所以在計(jì)算區(qū)域內(nèi)可通過(guò)標(biāo)記魚體邊界附近網(wǎng)格點(diǎn)到邊界距離的正負(fù)值來(lái)判斷邊界位置，如判斷二維計(jì)算域第(i,j)個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)是否為固體點(diǎn)（或流體點(diǎn)），可根據(jù)其距離函數(shù)的負(fù)值（或正值）進(jìn)行判斷。當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)在流體域內(nèi)且任意相鄰網(wǎng)格點(diǎn)在固體域內(nèi)，則說(shuō)明該點(diǎn)為最靠近邊界的點(diǎn)，即浸入邊界法中的加力點(diǎn)。

對(duì)于鰻鱺科魚類復(fù)雜的幾何邊界，本文采用多段函數(shù)來(lái)描述魚體的Level-set函數(shù)，以二維魚體外形為例，定義多項(xiàng)式函數(shù)，如式（7）所示，將計(jì)算域分為三部分，式中y0為某時(shí)刻魚體的擺動(dòng)位置。

經(jīng)過(guò)20 次重復(fù)初始化的迭代，由Level-set 函數(shù)描述的鰻鱺科魚體模型如圖1（b）所示，對(duì)應(yīng)的等值線函數(shù)間距相等。該結(jié)果表明可通過(guò)重復(fù)初始化方法來(lái)修正魚體界面的Level-set 函數(shù)，以滿足浸入邊界法對(duì)魚體界面描述的要求。

1.3 基于直接力法的浸入邊界法

在浸入邊界法中，固體邊界對(duì)流體的作用由體積力場(chǎng)代替，避免了在固體邊界上直接施加邊界條件，這就使得浸入邊界法可以在直角網(wǎng)格上求解流場(chǎng)，而不需要考慮物體邊界形狀及位置。研究者最初將剛性邊界看作具有很大彈性系數(shù)的彈性邊界，當(dāng)彈性系數(shù)取值較大時(shí)，求解力和流場(chǎng)的方程是大剛度系統(tǒng)，需要很小的時(shí)間步長(zhǎng)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定求解；彈性系數(shù)取值較小時(shí)會(huì)導(dǎo)致非物理的彈性作用。這種通過(guò)人為指定彈性系數(shù)來(lái)確定體積力的方法不能適應(yīng)流場(chǎng)變化，具有局限性[14]。后續(xù)Fadlun等[15]根據(jù)右端力源項(xiàng)的大小，提出了一種滿足邊界條件直接確定體積力的方法，即直接力法。在直接力法中，體積力的大小由邊界條件決定，并不依賴于具體的流動(dòng)形式。本文采用基于直接力法的浸入邊界法來(lái)計(jì)算體積力，添加了體積力f后的動(dòng)量方程為

動(dòng)量方程的時(shí)間離散形式為

其中，RHS（右端項(xiàng)）包含對(duì)流項(xiàng)、粘性項(xiàng)以及壓力項(xiàng)，即?·(uu)- ?p+v?2u。計(jì)算體積力fn+1需要在固體邊界上滿足速度邊界條件，即un+1=Vn+1，即

在式（11）中，邊界上的體積力是通過(guò)在加力點(diǎn)上施加速度邊界條件來(lái)實(shí)現(xiàn)加力的過(guò)程。在計(jì)算體積力的過(guò)程中，加力點(diǎn)的位置通常不與邊界位置重合，所以根據(jù)周圍固體速度和流體速度共同插值得到加力點(diǎn)速度。本文利用Level-set函數(shù)φ( )x,t提供魚體界面附近直角網(wǎng)格點(diǎn)和邊界之間的相對(duì)位置信息，并利用φ( )x,t計(jì)算界面外法向矢量以及邊界附近直角網(wǎng)格點(diǎn)到壁面的距離。其中，魚體界面任意位置的外法向矢量可表示為= ( ?φ/| ?φ|)|φ=0，曲率半徑為?·。

如圖2所示，以二維網(wǎng)格為例說(shuō)明Level-set方法與浸入邊界法相結(jié)合的過(guò)程。首先，通過(guò)Level-set 函數(shù)找到加力點(diǎn)0，利用Level-set 函數(shù)的外法向矢量尋找邊界上的固體點(diǎn)1，該點(diǎn)1 與點(diǎn)0 之間的連線垂直于邊界。設(shè)加力點(diǎn)0的坐標(biāo)為(x0,y0)，則固體點(diǎn)1的坐標(biāo)為

式中，nx和ny分別為法向矢量沿x方向和y方向的分量，φ0為加力點(diǎn)0 的Level-set 函數(shù)值。然后，尋找加力點(diǎn)0 周邊相鄰的流體點(diǎn)2 和流體點(diǎn)3，其坐標(biāo)分別為(x2,y2)和(x3,y3)，則

在接近魚體邊界時(shí)，速度場(chǎng)在壁面附近近似滿足線性分布，所以近壁流場(chǎng)可通過(guò)多項(xiàng)式插值來(lái)確定速度分布。本文采用多項(xiàng)式插值的方法來(lái)確定加力點(diǎn)速度，即加力點(diǎn)0 的速度由固體點(diǎn)速度1、流體點(diǎn)2和流體點(diǎn)3速度線性插值得到。設(shè)插值到加力點(diǎn)0上的速度為u0i(i= 1,2,3 )，則

式中，b1、b2和b3分別為二次線性插值系數(shù)，可由固體點(diǎn)速度和流體點(diǎn)速度插值得到：

通過(guò)求解系數(shù)矩陣A，得到加力點(diǎn)0 上的速度信息(u01,u02,u03)，即加力點(diǎn)0 的速度(u,v,w)，然后根據(jù)式(11)求解對(duì)應(yīng)的體積力。此外，由第n步時(shí)間推進(jìn)到第n+1步時(shí)，還可以實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)魚體的運(yùn)動(dòng)速度和位移實(shí)現(xiàn)重復(fù)迭代，進(jìn)一步增加數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性。

2 鰻鱺科魚類游動(dòng)模型

2.1 魚體自由游動(dòng)性能評(píng)價(jià)

在自由游動(dòng)模型（self-propelled fish model）中，當(dāng)魚體從靜止開始自由游動(dòng)時(shí)，通過(guò)擺動(dòng)身體產(chǎn)生向前游動(dòng)的推力，開始初始速度較小，推力大于阻力，魚體處于加速狀態(tài)；當(dāng)魚體游動(dòng)速度逐漸增大時(shí)，游動(dòng)阻力也逐漸變大，直到與擺動(dòng)產(chǎn)生的推力相平衡，達(dá)到穩(wěn)態(tài)游動(dòng)狀態(tài)。魚類在自由游動(dòng)時(shí)的控制方程為

式中，Mred為魚體約化質(zhì)量。通過(guò)沿長(zhǎng)度方向線積分求解鰻鱺科魚體的二維約化質(zhì)量，為

通過(guò)沿長(zhǎng)度方向二重積分，求解到鰻鱺科魚體的三維約化質(zhì)量為

魚體在自由游動(dòng)狀態(tài)下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)所獲得的穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度與流體雷諾數(shù)、魚體波動(dòng)曲線以及魚體外形等存在密切關(guān)系。所以，在研究魚體自主游動(dòng)性能之前，需要明確流體環(huán)境、推力以及推進(jìn)效率等定義：

（1）雷諾數(shù)：魚體自由游動(dòng)的流體雷諾數(shù)定義為L(zhǎng)2(Tν)，T為擺動(dòng)周期；

（2）穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度：在穩(wěn)態(tài)游動(dòng)狀態(tài)下，魚體對(duì)應(yīng)的游動(dòng)速度；

（3）平均推力：在穩(wěn)態(tài)游動(dòng)狀態(tài)下，魚體在單位周期內(nèi)推力的平均值；

（4）游動(dòng)效率：根據(jù)Lighthill細(xì)長(zhǎng)體理論[16]計(jì)算魚類的游動(dòng)效率，表達(dá)式為

此外，魚類游動(dòng)效率也可用Froude效率ηF進(jìn)行評(píng)價(jià)，表達(dá)式為

2.2 算例設(shè)置

Carling和Kern等[5，8]前期研究定義了鰻鱺科魚類的擺動(dòng)曲線，表達(dá)式為

鰻鱺科魚體二維算例計(jì)算域?yàn)?0L×4.8L，寬度約為魚體最大寬度的7 倍，計(jì)算域?qū)?yīng)網(wǎng)格為2048×256。如圖3 所示，在魚體游動(dòng)范圍內(nèi)加密網(wǎng)格以保證計(jì)算精度，在網(wǎng)格加密區(qū)內(nèi)流向方向網(wǎng)格尺寸Δx為0.02L，側(cè)向方向上的網(wǎng)格尺寸Δy為0.002L。三維魚游算例計(jì)算域?yàn)?0L×5L×5L，對(duì)應(yīng)網(wǎng)格數(shù)為2048×160×160，魚體周圍加密網(wǎng)格尺寸為0.02L×0.005L×0.005L。魚體位于徑向和展向方向中心線上，從起始位置向前游動(dòng)，流向、徑向和展向上邊界條件均為無(wú)滑移邊界條件。

3 鰻鱺科魚類游動(dòng)性能分析

3.1 算例驗(yàn)證

參考文獻(xiàn)[17-18]，設(shè)置鰻鱺科魚體外形參數(shù)和魚體波曲線分別如式（5）和式（21）所示，流體雷諾數(shù)為7100。設(shè)置不同的計(jì)算網(wǎng)格數(shù)以及網(wǎng)格尺寸（見表1），研究網(wǎng)格數(shù)對(duì)魚體游動(dòng)速度的影響。如圖4 所示，魚體由初始靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速，直到達(dá)到穩(wěn)定游動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)網(wǎng)格數(shù)為4096×288 時(shí)，魚體穩(wěn)態(tài)速度到達(dá)0.55 BL/s（body length/second，體長(zhǎng)/秒），與算例IV 中網(wǎng)格數(shù)8192×352 的計(jì)算結(jié)果相一致。與文獻(xiàn)網(wǎng)格數(shù)對(duì)比，本文算例所需網(wǎng)格數(shù)約為原網(wǎng)格總數(shù)的1/5～1/10，計(jì)算量明顯減小。

表1 鰻鱺科魚類自主游動(dòng)二維算例結(jié)果對(duì)比Tab.1 Results comparisons of two-dimensional self-propelled anguilliform fish

在穩(wěn)定游動(dòng)時(shí)，魚體游動(dòng)速度會(huì)出現(xiàn)往復(fù)波動(dòng)，主要原因在于單位擺動(dòng)周期內(nèi)魚體尾跡會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)反向的渦街結(jié)構(gòu)，與尾鰭周期性擺動(dòng)相對(duì)應(yīng)。如圖5（a）所示，二維魚體在往復(fù)擺動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生不同旋向的附著渦，并在游動(dòng)過(guò)程中沿尾體迅速脫落，在尾跡形成交錯(cuò)排列的反卡門渦街。在反卡門渦之間，尾跡區(qū)域會(huì)形成一系列連續(xù)射流，產(chǎn)生的反作用力會(huì)推動(dòng)魚體向前游動(dòng)。在相同的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)下，三維魚類尾跡出現(xiàn)雙列渦和發(fā)夾渦等尾渦結(jié)構(gòu)，如圖5（b）所示（魚體尾跡渦街結(jié)構(gòu)的分析見文獻(xiàn)[19]）。

3.2 魚體波參數(shù)對(duì)推進(jìn)性能影響分析

在鰻鱺科魚游模擬中，設(shè)置不同粘性的流體以研究魚類在不同環(huán)境中的游動(dòng)性能。如表2所示，流體雷諾數(shù)從500變化到4000，魚類穩(wěn)態(tài)游動(dòng)速度從0.14 BL/s增長(zhǎng)到0.31 BL/s，游動(dòng)效率也從60.89%增長(zhǎng)到74.12%，而St數(shù)從1.23下降到0.55。這說(shuō)明魚類在粘度較小的流體中會(huì)獲得較好的游動(dòng)性能。在自然界中，魚類通常在雷諾數(shù)Re＞104的流體環(huán)境中游動(dòng)，流體的慣性力起主導(dǎo)作用，而粘性力可忽略不計(jì)。魚類游動(dòng)對(duì)應(yīng)St數(shù)的范圍為0.25～0.4，該區(qū)間內(nèi)游動(dòng)效率最優(yōu)。在表2 顯示的Re=4000 流體環(huán)境中，魚類游動(dòng)St數(shù)達(dá)到0.55，該結(jié)果說(shuō)明當(dāng)前流體的粘性遠(yuǎn)大于水的粘性。

表2 雷諾數(shù)對(duì)鰻鱺科魚類游動(dòng)性能的影響Tab.2 Effects of Reynolds number on swimming performance of anguilliform fish

在不同流體環(huán)境中，魚類的擺動(dòng)曲線參數(shù)會(huì)對(duì)其推進(jìn)性能產(chǎn)生較大的影響。以自然界觀測(cè)的魚體擺幅為基準(zhǔn)成比例改變擺幅，分別選擇幅值調(diào)節(jié)系數(shù)為0.25、0.5、1.0、1.5 和2.5，分析不同擺動(dòng)幅值下鰻鱺科魚體的游動(dòng)性能。如表3 所示，當(dāng)魚類的擺動(dòng)幅值調(diào)節(jié)系數(shù)小于1 時(shí)，鰻鱺科魚類的游動(dòng)速度和推力均隨擺動(dòng)幅值的增大而增大，對(duì)應(yīng)的游動(dòng)效率也會(huì)得到提高。當(dāng)魚體擺動(dòng)幅值調(diào)節(jié)系數(shù)為1.5和2.5時(shí)，雖然計(jì)算得到較大的游動(dòng)速度和游動(dòng)效率，但消耗功率明顯增加，不利于提高游動(dòng)效率。在自然界中，魚類游動(dòng)時(shí)擺幅基本維持不變[20]，即擺幅調(diào)節(jié)系數(shù)不大于1。該計(jì)算結(jié)果與自然界中實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)論相吻合。

表3 鰻鱺科魚體擺動(dòng)幅值系數(shù)對(duì)游動(dòng)性能的影響Tab.3 Effects of amplitude coefficient on the swimming performance of anguilliform fish

魚體擺動(dòng)曲線波數(shù)對(duì)游動(dòng)性能的影響如表4所示。當(dāng)魚類擺動(dòng)曲線波數(shù)為9時(shí)，鰻鱺科魚類可獲得最大游動(dòng)速度（0.506 BL/s），游動(dòng)效率達(dá)到最大值89.4%。該結(jié)果與鰻鱺科魚類在自然界進(jìn)化選擇的擺動(dòng)曲線波數(shù)9.75相接近，這也說(shuō)明本文模型能較好反映魚類擺動(dòng)曲線對(duì)游動(dòng)性能的影響。

表4 鰻鱺科魚類擺動(dòng)波數(shù)對(duì)游動(dòng)性能的影響Tab.4 Effects of wave number on swimming performance of anguilliform fish

3.3 魚體外形與擺動(dòng)曲線的匹配分析

在自然界中，魚體選擇不同外形和擺動(dòng)曲線，為研究魚體外形和擺動(dòng)曲線的匹配關(guān)系，本節(jié)設(shè)置兩類不同的算例，分別為：（1）保持鰻鱺科魚類的外形，研究不同擺動(dòng)曲線對(duì)游動(dòng)性能的影響；（2）保持鰻鱺科魚類的擺動(dòng)曲線，研究不同外形對(duì)游動(dòng)性能的影響。以鰻鱺科和鲹科魚體為研究對(duì)象，通過(guò)人為選擇不同外形和擺動(dòng)曲線，研究了魚類在游動(dòng)過(guò)程中的優(yōu)化選擇，為探索魚類快速高效游動(dòng)機(jī)理的研究提供了依據(jù)。

3.3.1 魚類擺動(dòng)曲線對(duì)游動(dòng)性能影響分析

保持鰻鱺科魚體外形不變，設(shè)置兩個(gè)算例：

（1）Re=600，魚類采用鰻鱺科魚類的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，如式（21）所示；

（2）Re=600，魚類采用鲹科魚類的擺動(dòng)曲線參數(shù)，如式（22）所示。

當(dāng)雷諾數(shù)Re=600 相同時(shí)，當(dāng)鰻鱺科魚體在其自然選擇的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)下，游動(dòng)速度為0.847 BL/s，游動(dòng)效率為71.2%。但鰻鱺科魚類以鲹科魚類的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的速度和效率均有所下降，對(duì)應(yīng)游動(dòng)速度和游動(dòng)效率分別為0.436 BL/s和59.9%，該結(jié)果與魚類自然選擇結(jié)果相一致。

表5 鰻鱺科魚類在不同運(yùn)動(dòng)參數(shù)下的游動(dòng)性能Tab.5 Swimming performance of anguilliform fish under different kinematic parameters

3.3.2 魚類外形對(duì)游動(dòng)性能影響分析

鰻鱺科和鲹科魚類的幾何形狀差異較大，鰻鱺科魚體呈細(xì)長(zhǎng)狀，而鲹科魚類為寬扁型。根據(jù)文獻(xiàn)[21]，設(shè)鲹科魚類的橫截面為垂直于中性線的橢圓，橢圓的大小半徑分別為R(x)和r(x)：

采用鰻鱺科魚類的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)（式(21)），魚類外形分別采用鰻鱺科和鲹科魚體外形，然后研究魚體外形對(duì)游動(dòng)性能的影響。對(duì)比表6和表7，在Re=500的流體環(huán)境中，與鲹科魚類外形相比，鰻鱺科魚類外形魚類所對(duì)應(yīng)的游動(dòng)速度提高了13.24%，游動(dòng)效率提高2.3%。在不同流體環(huán)境中，當(dāng)魚體波動(dòng)形式為鰻鱺科模式時(shí)，鰻鱺科細(xì)長(zhǎng)體外形更容易實(shí)現(xiàn)快速高效的游動(dòng)性能。隨著流體雷諾數(shù)的增加，魚類外形對(duì)游動(dòng)性能的影響依然存在著較明顯差距，該結(jié)論證實(shí)了魚類在自然界中通過(guò)特定外形和獨(dú)特的魚類的擺動(dòng)曲線相配合，可以獲得最優(yōu)的游動(dòng)性能。

表6 保持鰻鱺科外形的鰻鱺科魚類游動(dòng)性能Tab.6 Swimming performance of anguilliform fish with the shape of anguilliform fish

表7 具有鲹科外形的鰻鱺科魚類游動(dòng)性能Tab.7 Swimming performance of anguilliform fish with the shape of carangiform fish

以雷諾數(shù)3000為例，魚類不同外形對(duì)應(yīng)的渦量分布如圖6所示，尾跡渦街結(jié)構(gòu)主要通過(guò)尾跡長(zhǎng)度χ和尾跡寬度ψ來(lái)描述。鰻鱺科魚體外形渦街結(jié)構(gòu)的平均尾跡長(zhǎng)度為0.294，尾跡寬度為0.123，而鲹科魚體外形對(duì)應(yīng)的渦街結(jié)構(gòu)平均尾跡長(zhǎng)度和寬度分別為0.282 和0.109。結(jié)果表明，鰻鱺科魚類外形更容易將尾跡的渦街結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度和寬度進(jìn)行擴(kuò)展。結(jié)合渦動(dòng)力學(xué)理論，該類型的渦街結(jié)構(gòu)產(chǎn)生更大的推力[22]，與本文的數(shù)值結(jié)果相一致。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文結(jié)合Level-set函數(shù)和浸入邊界法的優(yōu)勢(shì)，采用數(shù)值方法建立了鰻鱺科魚類的自由游動(dòng)模型，根據(jù)Level-set 函數(shù)和重復(fù)初始化的過(guò)程來(lái)確定鰻鱺科魚體界面，由基于直接力法的浸入邊界法來(lái)決定魚體與流體之間的相互作用力。通過(guò)改變魚類的擺動(dòng)曲線的頻率、幅值和波數(shù)來(lái)分別研究魚類在不同流體環(huán)境中的游動(dòng)性能。通過(guò)設(shè)置不同魚類的外形和擺動(dòng)曲線參數(shù)，發(fā)現(xiàn)鰻鱺科魚類的游動(dòng)性能依賴于魚類外形和擺動(dòng)曲線參數(shù)的合理匹配。該研究對(duì)魚類在自然界的優(yōu)化選擇提供了理論解釋，也為通過(guò)控制魚類的擺動(dòng)曲線參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)水下航行器快速高效的推進(jìn)性能提供指導(dǎo)。