如何運(yùn)用一元二次方程解應(yīng)用題

鄧梅

【摘 ? ?要】運(yùn)用一元二次方程解決應(yīng)用題往往是在初中數(shù)學(xué)試卷中作為應(yīng)用題出現(xiàn)的，而這類題目往往也是學(xué)生最頭疼的題目之一。題目信息量大，不知道怎么列方程式，解方程式的過(guò)程復(fù)雜又困難，這些問(wèn)題常常是學(xué)生丟分最嚴(yán)重的問(wèn)題。本文就如何運(yùn)用一元二次方程解應(yīng)用題做出討論。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) ?未知量關(guān)系式 ?細(xì)心

中圖分類號(hào)：G4 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.178

初中數(shù)學(xué)是中考中的巨頭學(xué)科，也是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。常規(guī)的數(shù)學(xué)試卷中，往往最難的一道題目就是利用一元二次方程解應(yīng)用題，這類題目也常常作為初中數(shù)學(xué)試卷中最難的壓軸題目出現(xiàn)。大部分學(xué)生都把一元二次方程視為攻克數(shù)學(xué)最大的障礙，尤其是與信息量大的生活類應(yīng)用題結(jié)合在一起的時(shí)候，學(xué)生更是加大了對(duì)這類題目的恐懼心理，咬牙切齒卻又無(wú)濟(jì)于事。

這類題目的解決其實(shí)并沒有捷徑，但是也是有規(guī)律可循的。這類題目的邏輯性往往很強(qiáng)，因而只要掌握了解決這類題目的常規(guī)思路，就可以輕松運(yùn)用一元二次方程解答應(yīng)用題了。

一、找出題目關(guān)鍵詞，設(shè)出未知量

運(yùn)用一元二次方程解答應(yīng)用題時(shí)，最關(guān)鍵的一步就是設(shè)對(duì)未知量。然而應(yīng)用類題目往往是文字多，信息量大，提取關(guān)鍵詞的過(guò)程往往會(huì)比較困難。尤其這類題目常常出現(xiàn)在整份試卷的最后，時(shí)間緊張，學(xué)生一看到這么多文字，很難用心去讀，草草一讀，卻發(fā)現(xiàn)什么信息都沒有獲得，于是整個(gè)人都慌了起來(lái)，這種狀態(tài)最不利于答題了。

老師可以先從心理上安慰學(xué)生，讓學(xué)生能夠沉著、冷靜地解答題目。老師應(yīng)該教導(dǎo)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生不要太看重時(shí)間，因?yàn)榛A(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生很容易緊張，本來(lái)就不能高效率地做完一份試卷，如果又因?yàn)樘粗貢r(shí)間而產(chǎn)生緊張的情緒，就更不利于發(fā)揮，拿到的分?jǐn)?shù)一定比預(yù)想的還要低。老師要撫慰學(xué)生，要讓他們保持平靜的心態(tài)去面對(duì)最后一道一元二次方程的應(yīng)用題。老師要教導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題，即使剩余的時(shí)間很少也足夠他們?cè)O(shè)出未知量，寫出一些基礎(chǔ)性的步驟，對(duì)于這種壓軸的應(yīng)用類大題，往往是按步驟給分的，只要寫出一些關(guān)鍵的步驟，就可以拿到分?jǐn)?shù)的。然而如果學(xué)生因?yàn)樘粗貢r(shí)間而產(chǎn)生緊張情緒，往往不能迅速找出關(guān)鍵詞也就不能正確的設(shè)出未知量，導(dǎo)致基礎(chǔ)步驟的分?jǐn)?shù)都拿不到，分?jǐn)?shù)自然不會(huì)太高。

大部分運(yùn)用一元二次方程解答的應(yīng)用題，未知量的設(shè)定往往隱藏在問(wèn)題中。這類題目的關(guān)鍵詞一般就是問(wèn)題中要求的某個(gè)未知量，學(xué)生必須瞪大眼睛，保持沉著、冷靜的心態(tài)來(lái)尋找題目要求的未知量是什么，然后迅速寫出假設(shè)，解答此類應(yīng)用題的第一步才算是完成了。

二、尋找未知量與已知量的數(shù)學(xué)關(guān)系，列出方程式

無(wú)論是一元二次方程式還是二元一次方程式，都需要找出未知量與已知量的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)確定的關(guān)系，列出方程等式。作為初中數(shù)學(xué)試卷上要運(yùn)用一元二次方程來(lái)解答的應(yīng)用題，關(guān)鍵一步就是要利用已知量與未知量之間的關(guān)系，列出方程式，才能進(jìn)行下一步的解答。

學(xué)生普遍反映，找出未知量與已知量的關(guān)系，并且列出方程式這一步，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)是最難攻克的一關(guān)。其實(shí)不然，應(yīng)用題顧名思義是一種現(xiàn)實(shí)中具有應(yīng)用性的一類題目，往往是蘊(yùn)含著很多的生活經(jīng)驗(yàn)。老師可以教導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗(yàn)，換一個(gè)角度來(lái)思考這類問(wèn)題的邏輯性和規(guī)律性。例如，學(xué)生普遍反映最難的一類題目，即運(yùn)用一元二次方程來(lái)解答拱形橋能否通過(guò)船只的問(wèn)題。這種類型的題目，但從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，畫出拋物線對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能很難分析出拱形橋高度與船只寬度的關(guān)系，然而老師可以教育學(xué)生，從生活的角度出發(fā)，回憶已有的生活經(jīng)驗(yàn)，如何設(shè)計(jì)橋梁比較合適。例如，船只要用最容易的方法通過(guò)拱形橋，只能從拱形橋的最中間位置通過(guò)，如果從拱形橋的中間將船只分成兩半，那么每一半船只的寬度都是總寬度的二分之一，船只的高度不變，這樣拿到坐標(biāo)系中來(lái)看，拋物線就是一半。這樣，學(xué)生分析一半拋物線比分析一整條拋物線要容易得多。

還有一些利率類的應(yīng)用題，往往需要根據(jù)已知的利率求出累計(jì)幾年的利息總量或者已知利潤(rùn)求出利率。這時(shí)，學(xué)生常常會(huì)犯迷糊，弄錯(cuò)利息與利潤(rùn)間的關(guān)系，忘記將利息平方等等。這類題目中往往會(huì)出現(xiàn)很多百分?jǐn)?shù)來(lái)迷惑學(xué)生，大部分學(xué)生一看到百分?jǐn)?shù)就犯暈，不能理解百分?jǐn)?shù)中所蘊(yùn)含的深層意義。老師需要運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)讓學(xué)生明白題目中所說(shuō)的利率與利潤(rùn)之間的關(guān)系，列舉銀行存錢等具體易懂的例子，讓學(xué)生逐漸掌握這種題目中所蘊(yùn)含的實(shí)際意義和關(guān)系。然后利用利潤(rùn)與利率的關(guān)系，列出滿足利潤(rùn)與利率關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即方程式。

其實(shí)尋找未知量與已知量的關(guān)系沒有學(xué)生想象的那么復(fù)雜和困難，只需要一點(diǎn)點(diǎn)的耐心和細(xì)心仔細(xì)讀題目，然后從字里行間挖掘到兩個(gè)變量之間的關(guān)系即可。列出方程關(guān)系的這一步是解題的關(guān)鍵，如果這類壓軸題目有步驟分的話，那么列出正確的方程式一定會(huì)占有很大的比例。所以老師要教會(huì)學(xué)生能夠有耐心和細(xì)心找到題目中蘊(yùn)藏的變量關(guān)系，然后一舉攻破此類題目的第一道難關(guān)。

三、仔細(xì)解答，細(xì)心解出一元二次方程，分類討論

一元二次方程的解法有很多，初中階段應(yīng)用類題目中所列的一元二次方程的解法相對(duì)容易一點(diǎn)，如果列方程式的過(guò)程比較復(fù)雜，那么相對(duì)于題目的難度來(lái)說(shuō)，方程式的解法一定會(huì)比較容易一些。但仍需要學(xué)生的耐心和細(xì)心。

老師記得提醒學(xué)生，解一元二次方程最容易出問(wèn)題的地方，就是檢驗(yàn)階段。一元二次方程往往會(huì)有兩個(gè)解，而這兩個(gè)解卻不一定都滿足題目要求，這個(gè)時(shí)候需要學(xué)生耐著性子進(jìn)行檢驗(yàn)，選擇出符合題目要求的正確解。像這類應(yīng)用型題目，答案往往是個(gè)正數(shù)。如果學(xué)生解答題目的過(guò)程中，獲得一元二次方程的兩個(gè)解，其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，學(xué)生就會(huì)輕松地進(jìn)行對(duì)比和處理，舍去負(fù)數(shù)的解，確定正確的答案。但是如果一元二次方程式的兩個(gè)解都是正數(shù)，那么學(xué)生就會(huì)很容易漏掉檢驗(yàn)的過(guò)程，進(jìn)而影響得分，本來(lái)應(yīng)該得滿分的題目卻白白丟失了那些分?jǐn)?shù)，著實(shí)可惜。

還有一類題目，需要畫出坐標(biāo)軸和拋物線來(lái)解決，例如拱形橋與船只的問(wèn)題。這類題目的坐標(biāo)軸往往建立在拋物線的最大值處，這樣對(duì)于題目的處理會(huì)簡(jiǎn)單很多。但是這種題目最后得出的數(shù)據(jù)往往是個(gè)負(fù)數(shù)，因?yàn)樗蟮牟糠质窃谧鴺?biāo)軸的負(fù)半軸，因此，老師要提醒學(xué)生千萬(wàn)不要忘記將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)為正數(shù)，減少不必要的失分。

一元二次方程解答應(yīng)用題其實(shí)并不像學(xué)生想得那般復(fù)雜，只要能夠沉下心來(lái)，認(rèn)真思考題目中的關(guān)系，設(shè)出未知量，列出方程式，并且能夠細(xì)心地解出方程式然后檢驗(yàn)結(jié)果，那么攻克此類題目就會(huì)變得容易很多。