處理二元變量最值的方法探析

宣進(jìn)

[摘 要]求二元變量最值或范圍的題型幾乎每年都出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試卷里，而我們的考生在這一題型中失分是非常多的.從理論和實(shí)際兩個(gè)角度闡述和分析高中階段出現(xiàn)的二元變量的處理方法，以鍛煉學(xué)生的綜合能力.

[關(guān)鍵詞]二元變量 最值 分析

一、本質(zhì)分析

所謂二元變量，就是多了一個(gè)字母，其他和高中教材給的一元函數(shù)定義完全相同，所以如何突破“兩個(gè)字母”也就成為我們教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).大多題目都給定了兩個(gè)變量滿足的條件，這里的條件往往是等式和不等式，或代數(shù)變形為等式和不等式，即x、y有一定的內(nèi)在聯(lián)系，它們相互制約，并非完全獨(dú)立.下面通過介紹一道題目的五種不同的處理方法及其內(nèi)在本質(zhì).

二、五種處理方法

題目：已知x，y∈R+，1x+9y=1 ，求x+y的最小值.

1.消元法.由1x+9x=1 ，得y=9xx-1>0，故x>1.

所以z=f（x，y）=g（x）=x+9xx-1=x-1+9x-1+10≥16 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立，

所以x+y的最小值為16.

評(píng)析：此法就是將條件等式消元為一元函數(shù)g（x）來進(jìn)行處理，解決了“兩個(gè)字母”的困惑.

2.基本不等式法.x+y=（x+y）（1x+9y）=10+9xy+yx≥16 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立，

所以x+y的最小值為16.

評(píng)析：此法比較簡潔，但其本質(zhì)還是把“兩個(gè)字母”處理成“一個(gè)字母”，即化為一元函數(shù)來處理，只是代數(shù)變形不同而已，因?yàn)閤+y=f（t）=t+9t+10 ，t=yx>0 .若x、y范圍的改變使基本不等式取不到等號(hào)時(shí)，則可用消元法，利用一元函數(shù)圖像來解決最值問題.

上面兩種方法在高考題中有時(shí)會(huì)綜合起來用，如2008年江蘇卷11題和2014年江蘇卷14題，這兩道題都是利用條件等式把三元消為二元，然后代數(shù)同除形成“ba+ab”型，換元后即為一元函數(shù)，或直接用基本不等式求解，讀者可據(jù)此自行分析.

3.線性規(guī)劃法.由1x+ 9y=1，得y=9xx-1=9x-1+9=f（x），x>1 ，

令z=x+y，則y=-x+z=g（x），在平面直角坐標(biāo)系中作出y=f（x）的圖像如右圖， 目標(biāo)函數(shù)y=g（x）平移到切點(diǎn)A（x0，f（x0））時(shí)，z取最小值，

由f′（x0）=-9（x0-1）2=-1 ，得x0=4或x0=-2（舍去），

將x0=4代入切點(diǎn)f（x0），得A（4，12），故z=x+y的最小值為16.

評(píng)析：此法本質(zhì)還是化為一元函數(shù)來處理.利用兩個(gè)一元函數(shù)的圖像（其圖像是曲線，而不是二元函數(shù)的曲面） 有交點(diǎn)，平移使得直線截距z最小，從而在切點(diǎn)處取得.這是一個(gè)代數(shù)到幾何的過程.這種方法也適用于條件是不等式的題型，如2013年江蘇卷9題和2012年江蘇卷14題，當(dāng)然，后題在線性規(guī)劃前還是要用到上面所提到的同除的代數(shù)方法把三元變二元，讀者可自行分析.

4.三角換元法.令 1xcos2θ

9x=sin2θ ，則 x=1cos2θ

y=9sin2θ ，

故x+y=1cos2θ+ 9sin2θ= sin2θ+9cos2θsin2θcos2θ= 1+8cos2θ 14sin2θ = 4（5+4cos2θ）1-cos22θ ，

令t=5+4cos2θ，t∈[1，9]，x+y=f（t）= 64-t-9t +10 ，故當(dāng)t=3，即x=4，y=12時(shí)，fmin（t）=16，

所以當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y的最小值為16.

評(píng)析：此法本質(zhì)也是化為一元函數(shù)處理，利用條件等式和三角函數(shù)的平方關(guān)系化x+y=φ（θ），換元后為x+y=f（t）.當(dāng)然了，就本題而言，不必要采取這樣的代數(shù)變形，但其過程呈現(xiàn)了給定條件下二元變量的處理方法的本質(zhì)，就是化為一元變量來處理.若對(duì)“已知x2+y2=1，求x+y的最小值”這一類而言，此種方法就體現(xiàn)得很有力了，相反，消元法就顯很麻煩.也就是說，三角換元是針對(duì)所給的條件不同而采取的一種特殊的消元法.

5.“Δ”法.令k=x+y，則關(guān)于x，y的方程組 1x+9y=1

k=x+y 有解，

整理得關(guān)于x的一元二次方程x2+（8-k）x+k=0 有解，

則Δ=k2-20k+64≥0，解得：k≥16或k≤4，又x，y∈R+，1x+9y=1， 得y=9x-1+9>9，

所以k≥16，即x+y的最小值為16.

評(píng)析：此法是由線性規(guī)劃變化而來，幾何上的曲線1x+9y=1 與曲線k=x+y有交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程組有解，從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解，這就可用Δ列出不等式，進(jìn)而求解.這一過程也就是代數(shù)最值問題到幾何交點(diǎn)問題，再到代數(shù)方程有解問題之間“數(shù)——形——數(shù)”的轉(zhuǎn)化，但其本質(zhì)還是化歸為一元函數(shù)來處理，只不過要具備函數(shù)與方程思想：把兩個(gè)一次曲線交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解問題.任何給定條件的二元變量最值問題若能轉(zhuǎn)化為一元二次方程，都適用此法.如“已知x2+xy+y2=1，求2x+y的最小值”，若用消元法，不太好用x表示y，即無法消元;若用基本不等式法，學(xué)生拼湊基本不等式很困難;若用線性規(guī)劃法，多數(shù)高中生畫不出曲線x2+xy+y2=1的圖像;若用三角換元法，無法利用代數(shù)變形得到（x+y2 ）2+（3y2）2=1，也不好實(shí)現(xiàn)三角換元，所以此法有時(shí)可看成是“萬能”的.

從上述五種不同方法我們不難看出，處理高中階段給定條件的二元變量最值問題的關(guān)鍵是能否將其有效地轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來處理，這就要求學(xué)生具備一定的代數(shù)變形能力，具備消元、換元思想，具備從函數(shù)與方程這兩個(gè)不同角度看待同一個(gè)代數(shù)等式的能力，具備從數(shù)到形、從形到數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想.所以，有效地處理好這類二元變量最值問題能很好地鍛煉學(xué)生的綜合能力，從而解決更多的數(shù)學(xué)問題.