多解促認(rèn)知 開放鍛思維

孔薇薇

[摘 要]本節(jié)復(fù)習(xí)課首先通過一題多解創(chuàng)建出框架圖，梳理知識體系.然后由新定義問題及課本改編問題入手，經(jīng)過充分變式，夯實學(xué)生四基，發(fā)展學(xué)生四能.復(fù)習(xí)課教學(xué)一定要跳出“題?！蓖凇邦}井”，抓住本質(zhì)促升華，讓學(xué)生體會到俯瞰大地、一覽眾山小的感覺，從而喜歡上復(fù)習(xí)課.

復(fù)習(xí)教學(xué)的目的是建構(gòu)知識體系，深化知識的理解與應(yīng)用，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維與能力的提升.如何在復(fù)習(xí)中建構(gòu)知識體系 如何通過復(fù)習(xí)內(nèi)化知識，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維與能力的提升 在海曙區(qū)教研活動中，筆者展示了《圓的基本性質(zhì)》復(fù)習(xí)觀摩課，進(jìn)行了一次復(fù)習(xí)教學(xué)探索.現(xiàn)將課堂教學(xué)實錄及對教學(xué)設(shè)計的思考整理如下.

一、教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷問題一的解決過程，建構(gòu)圓的基本性質(zhì)知識體系;

2.運(yùn)用圓的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題，掌握圓的基本性質(zhì);

3.經(jīng)歷問題二及變式的探究，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，感悟數(shù)學(xué)思想，積累活動經(jīng)驗.

二、教學(xué)過程

1.演繹思維：利用圓的特殊性質(zhì)引入

教師出示一個圓形紙片，讓學(xué)生找出圓心.

生1：兩次對折后，交點即為圓心.

教師：為什么呢

生1：圓是軸對稱圖形.兩條對稱軸的交點就是圓形.

教師：兩條折痕夾角所對的弧相等，說明了圓的旋轉(zhuǎn)不變性，這就是上課的主要內(nèi)容.（板書：圓的基本性質(zhì)——軸對稱性、旋轉(zhuǎn)不變性）

2.發(fā)散思維：方法多樣性和結(jié)論確定，復(fù)習(xí)圖的基本性質(zhì)

圖1 問題一：如圖1，AB是⊙O直徑，C是⊙O上一點，D為BC 上的一點，且OD∥AC.求證：CD=BD.

生2：連接OC，∵AC∥OD，∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD. ∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠DOB，∴CD=BD.

教師：這個做法用到了本章中哪些知識點

生2：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等.（教師板書：圓心角相等、弦相等）

教師：很好，要證明弦相等，可以轉(zhuǎn)化為證明這兩條弦所對的圓心角相等.還有其他方法嗎

圖2 生3：如圖2，連接AD，AC∥OD，OA=OD，∴∠CAD=∠ODA=∠OAD，∴CD=BD，∴CD=BD.我運(yùn)用了“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等;在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等”.（教師板書：圓周角相等、弧相等）

圖3 生4：如圖3，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°. ∵AC∥OD，∴BC⊥OD.由垂徑定理可以得到 CD =BD，∴CD=BD.我所用的知識點：直徑所對的圓周角為90°;垂直于弦的直徑平分弦所對的弧，相等的弧所對的弦相等.（教師板書：直徑垂直弦、直徑平分弧、直徑平分非直徑弦）

圖4 生5：如圖4，延長DO交⊙O于點E，連接AE. ∵AC∥OD，∴AE=CD，∴AE=CD，∵∠AOE=∠BOD， ∴AE=BD，∴CD=BD.我所用的知識點為“在同圓或等圓中， 平行線所夾的弧相等，相等的圓心角所對弧相等，相等的弧 所對的弦相等”.

圖5 教師：大家太棒了！剛才你們運(yùn)用的這些定理，它們的逆命題是否成立 還可以得到哪些結(jié)論來引導(dǎo)完善以下框架圖 （學(xué)生先獨立思考，然后小組共同分享）

教師：好了，我們從圓的弦、弧、圓心角、圓周角入手梳理了圓的相關(guān)知識，同時對解決問題的方法也有了進(jìn)一步的體驗.下面讓我們繼續(xù)探究.

3.合理聯(lián)想：實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化

問題二：如果圓的兩條弦相交且弦心距相等，我們把這兩條弦叫做和諧弦.如圖6，如果AB、CD為和諧弦且相交于E點，你能得到哪些結(jié)論，請說明理由.

圖6 生（眾）：AB=CD，AE=ED，CE=EB.

教師：O在∠AED的角平分線上，你們有什么發(fā)現(xiàn)

生6（馬上舉手）：AC=BD，其實剛才的結(jié)論，都是因為這個圖形是以直線OE為對稱軸的軸對稱圖形.

教師：生6利用了圓的軸對稱性快速地得到了結(jié)論，我們平時在考慮圓的問題時可以多從它的軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性出發(fā).

4.拓展思維：提升問題的層次

圖7

圖8 教師：如圖7，已知M點坐標(biāo)（1，1），半徑為10，⊙M與坐標(biāo)軸交于A、B、C、D點.線段AC、BD是和諧弦嗎

生7：是的，點M到AC、BD的距離都等于1.

變式：如圖8，已知M點坐標(biāo)（1，1），半徑為10，⊙M與坐標(biāo)軸交于A、B、C、D點.

（1）若E、G是BAD上的兩點，F(xiàn)、H是x軸上兩點，且四邊形 EFGH為正方形，求它的邊長.

教師巡視，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生遇到了困難.

教師：正方形中哪條邊最特殊

生（眾）：EG，它是⊙M的弦.

教師：很好！求弦長常用的基本圖形是什么呢

生8：弦、弦心距、半徑、弓形高，知其二，必能求另兩個量，或知其一，就可以設(shè)未知數(shù)建立方程.

大部分學(xué)生恍然大悟，開始奮筆疾書.

教師請生8板演，過程如下.

解：過M作MN⊥EG于N，連結(jié)MG.設(shè)EF=x，則NM=x-1，根據(jù)垂徑定理易得NG=0.5x，∵M(jìn)G2=MN2+NG2，∴10=（x-1）2+（0.5x）2，解得x1=-2（舍去），x2=3.6，∴邊長為3.6.

教師：其實這道題，老師是從書本96頁的例題改編而來，原題是求圓內(nèi)接正方形的邊長，經(jīng)過改編后變成利用方程思想解決圓中半徑、半弦、弦心距所構(gòu)造的直角三角形問題.（板書：設(shè)元構(gòu)建方程模型）

（2）若在圓M與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的區(qū)域中裁剪一個最大的正方形，你能求出正方形的邊長嗎

生9：這道題目要分兩種情況討論.

圖9 情況1（如圖9）：當(dāng)正方形只有一個頂點落在圓周上時，由和諧弦性質(zhì)可知E、M、O三點共線，所以連結(jié)OE，M必在OE上，所以O(shè)E=OM+ME=10+2，所以正方形邊長為5+1.

圖10 情況2（如圖10）：能夠畫出草圖，但是求不出邊長.

教師：考慮問題很全面.怎么來求呢 還是需要來構(gòu)造基本圖形.過F點作FQ⊥AE，過G點作GP⊥OH，這是很典型的“一線三角”模型，很快可以得到△QEF≌△OEH≌△PGH，從而推出OQ=OP.連結(jié)MF、MG，過M作MS⊥FQ，交FQ于S點，作MT⊥GP，交GP于T點.∴MS=MT，又∵M(jìn)F=MG，∴Rt△MTG≌Rt△MSF，∴SF=GT， ∴FA=GD=AE=DH=OH=OE.

設(shè)OH=a，MT=2a-1，GT=a-1，GM=10，根據(jù)MT2+GT2=MG2得（2a-1）2+（a-1）2=10，解得a=2，∴GH=22.

教師：情況1和情況2有一個共同特征，就是這兩個正方形都關(guān)于直線OM成軸對稱.對于情況2要解決這個問題的關(guān)鍵是找到OE=OH.其實，凡是內(nèi)接正方形的區(qū)域是以直線y=x為對稱軸的軸對稱圖形都具有這個特征.我們學(xué)過的哪些圖像具有這樣的特性

生10：反比例函數(shù)和直線y=-x+a與坐標(biāo)軸圍成區(qū)域也應(yīng)該具備這個性質(zhì).

教師：是的，你對函數(shù)圖像的性質(zhì)進(jìn)行了正確的理解.兩種情況的正方形邊長已經(jīng)準(zhǔn)確求出.

5.回顧總結(jié)，提升思想

波利亞曾言：“假如你想要從解題中得到最大的收獲，你就應(yīng)當(dāng)在所做的題目中去找出它的特征，那些特征在你以后去求解其他問題時，能起到指引作用.”在課堂結(jié)尾，教師鼓勵學(xué)生暢所欲言，總結(jié)本節(jié)課針對知識內(nèi)容所采用的數(shù)學(xué)思想和方法，并交流學(xué)習(xí)的收獲與體會，在此基礎(chǔ)上教師要發(fā)揮引路人的作用，適時點睛，完善體系，幫助學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)思想納入自己的思維之中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

三、教學(xué)思考

圓的基本性質(zhì)是初中幾何領(lǐng)域的重要內(nèi)容.知識點多，方法靈活性大，與其他幾何圖形聯(lián)系緊密.如何通過復(fù)習(xí)課，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與能力的提升是數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思考的問題.筆者對本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了如下思考.

1.一題多解引起思維碰撞、內(nèi)化認(rèn)知理解、建構(gòu)知識體系

開門見山法在建構(gòu)知識體系時相對比較單調(diào)、空洞，在知識點不多的情況下還適用，而對于本節(jié)課知識點眾多的情況則是下策.題組練習(xí)法是以題為載體，讓復(fù)習(xí)回顧更加有抓手.但題組練習(xí)法更多是教師的預(yù)設(shè)，是教師引領(lǐng)下的學(xué)生被動建構(gòu)知識系統(tǒng)，這樣的方法也非最佳.合理的問題能幫助學(xué)生回顧相關(guān)知識，并對相關(guān)知識進(jìn)行再加工，形成新的理解，使學(xué)生能在選擇知識解決問題中進(jìn)一步認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的基本應(yīng)用結(jié)構(gòu)，促進(jìn)從知識到技能的轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)思想方法的初步體會.本課以一個“問題”為載體，通過這個問題的多種方法解決，展現(xiàn)了不同學(xué)生的思維，引起了學(xué)生的思維碰撞，加深了學(xué)生對知識的理解，同時自然引出了圓心角定理、圓周角定理、垂徑定理等本章的核心知識，建構(gòu)出圓的基本性質(zhì)的知識結(jié)構(gòu)，起到事半功倍的教學(xué)效果.在教學(xué)中教師的核心任務(wù)是創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生回顧整理、加工知識的平臺，在學(xué)生遇到困難時給予及時的引導(dǎo)和幫助.這樣的教學(xué)設(shè)計既體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)性，又彰顯了以學(xué)生為中心的教學(xué)理念.

2.層次性、開放性問題激發(fā)學(xué)習(xí)熱情、促進(jìn)四能發(fā)展，積累活動經(jīng)驗

鞏固知識、發(fā)展思維、提高能力是復(fù)習(xí)教學(xué)的主要目標(biāo).實現(xiàn)這些目標(biāo)的關(guān)鍵是選取合適的問題載體.教師選擇和設(shè)計的題要有啟發(fā)性、靈活性、綜合性，能發(fā)揮以點帶面的作用.本節(jié)課的問題二以一個簡單的基本圖形引題，設(shè)計通過問題串與變式教學(xué)，逐層推進(jìn)，提倡多角度、多策略解決問題.在合作交流中讓學(xué)生學(xué)會傾聽和優(yōu)選，通過開放性問題的設(shè)計鼓勵學(xué)生提問，特別注重讓學(xué)生體驗并嘗試如何提出問題，展現(xiàn)不同學(xué)生的不同思維，讓學(xué)習(xí)層次不同的學(xué)生得到發(fā)展，達(dá)到鞏固知識、挖掘問題的內(nèi)涵與外延的目的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與探究欲望，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力，并使學(xué)生通過這個過程，積累活動經(jīng)驗.

總之，新課標(biāo)下的初中數(shù)學(xué)教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，應(yīng)從題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，抓住學(xué)生主體的特性，緊扣教學(xué)綱要，注重知識的梳理歸納，實施典型問題教學(xué)，打造思維課堂，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中體會到俯瞰大地、一覽眾山小的感覺，喜歡上復(fù)習(xí)課.這就是我們上復(fù)習(xí)課努力的方向.