函數(shù)及其圖象常見題型

徐永杰

從近幾年的高考試題來看，一次、二次函數(shù)圖象的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論三種數(shù)學(xué)思想. 冪函數(shù)重點(diǎn)考查冪指數(shù)為1，2，3，[12]，-1時(shí)的情形.下面，筆者以近幾年的高考題為例歸納此部分內(nèi)容的常見題型.

圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、范圍問題

例1 函數(shù)[f（x）=2lnx]的圖象與函數(shù)[g（x）=][x2-4x+5]的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

解析 作出函數(shù)[f（x）=2lnx]的圖象與函數(shù)[g（x）=][x2-4x+5]的圖象，結(jié)合[f（2）=2ln2=ln4>1=][g（2）]，如圖所示.

答案 B

例2 設(shè)函數(shù)[f（x）=1x]，[g（x）=ax2+bx（a，b∈R，][a≠b）]，若[y=f（x）]的圖象與[y=g（x）]的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，則下列判斷正確的是（ ）

A. 當(dāng)[a<0]時(shí)，[x1+x2<0]，[y1+y2>0]

B. 當(dāng)[a<0]時(shí)，[x1+x2>0]，[y1+y2<0]

C. 當(dāng)[a>0]時(shí)，[x1+x2<0]，[y1+y2<0]

D. 當(dāng)[a>0]時(shí)，[x1+x2>0]，[y1+y2>0]

解析 若[y=f（x）]的圖象與[y=g（x）]圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，當(dāng)[a<0]時(shí)，其圖象如圖.作出點(diǎn)[A]關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)[C，C]點(diǎn)的坐標(biāo)為[（-x1，-y1）]. 由圖象知，[-x1y2]，故[x1+x2>0，y1+y2<0]，同理當(dāng)[a>0]時(shí)，有[x1+x2<0，y1+y2<0].

答案 B

解讀 解決圖象交點(diǎn)問題時(shí)，首先是畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象（根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和對(duì)稱性）.觀察圖象，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理和函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、函數(shù)值變化速度等具體特征分析交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和范圍.

函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問題

例3 已知函數(shù)[fx=2-x， x≤2，x-22， x>2，] 函數(shù)[gx=b-f2-x]，其中[b∈R]，若函數(shù)[y=fx-gx]恰有4個(gè)零點(diǎn)，則[b]的取值范圍是（ ）

A. [74，+∞] B. [-∞，74]

C. [0，74] D. [74，2]

解析 由[fx=2-x， x≤2，x-22， x>2]得，

[f（2-x）=2-2-x，x≥0，x2， x<0.]

[則y=f（x）+f（2-x）=2-x+x2， x<0，4-x-2-x， 0≤x≤2，2-2-x+（x-2）2， x>2.=x2+x+2， x<0，2， 0≤x≤2，x2-5x+8，x>2.]

[y=f（x）-g（x）=f（x）+f（2-x）-b]，[y=fx-gx]恰 有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程[f（x）+f（2-x）-b=0]有4個(gè)不同的解，即函數(shù)[y=b]與函數(shù)[y=f（x）+f（2-x）]的圖象的4個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知，[74