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    橫看成林側(cè)成峰,一題多解格不同

    2015-05-30 10:48:04王榮
    高中生學(xué)習(xí)·高三版 2015年7期
    關(guān)鍵詞:題設(shè)增函數(shù)整數(shù)

    王榮

    在高三復(fù)習(xí)中,對高考題或練習(xí)中的經(jīng)典題進(jìn)行研究,恰當(dāng)而又適量地采用一題多解,對解題思路多層次分析,多角度審視,探討解題規(guī)律,能“以少勝多”地鞏固基礎(chǔ)知識(shí),提高分析問題和解決問題的能力,掌握基本的解題方法和技巧.本文以2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題為例,從以下幾個(gè)角度進(jìn)行分析探討.

    例 設(shè)函數(shù)[fx=ex2x-1-ax+a],其中[a<1]. 若存在惟一的整數(shù)[x0],使得[fx0<0],則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是( )

    A. [-32e,1] B. [-32e,34]

    C. [32e,34] D. [32e,1]

    這是一道非常優(yōu)秀的試題,作為選擇題,在考場上,我們應(yīng)該采取小題小做的策略,以節(jié)約時(shí)間,達(dá)到事半功倍的效果.然而,在高三復(fù)習(xí)備考的解題教學(xué)中,我們可以多角度地剖析這道試題,讓其發(fā)揮更大的功效.

    分析1 特殊值法,因題中已有[a<1]的條件,結(jié)合選擇題只有一個(gè)正確選項(xiàng)與題中的選擇支,取[a=0]和[a=34]排除ABC,從而得正確答案.

    解1 (1)令[a=0]得,[fx=ex2x-1],

    故[f0=-1<0],[f-1=-3e-1<0],這與題設(shè)條件矛盾,排除選項(xiàng)AB.

    (2)再令[a=34]得,[fx=ex2x-1-34x+34],則[fx=ex2x+1-34].

    當(dāng)[x<-12]時(shí),[fx<0],

    當(dāng)[x>0]時(shí),[fx>f0=14>0],

    即[fx]在[-∞,-12]上是減函數(shù),在[0,+∞]上是增函數(shù),

    故當(dāng)[x≤-1]時(shí),[fx≥f-1=32-3e>0],

    當(dāng)[x≥1]時(shí),[fx≥f1=e>0],且[f0=-14<0].

    滿足題意,由此排除選項(xiàng)C.

    答案 D

    點(diǎn)撥 特殊值法解選擇題能事半功倍,但對特殊值的選擇比較難把握,而且有時(shí)候選擇的特殊值不一定真正的能達(dá)到簡化的目的,也不易于把握題目的本質(zhì).

    分析2 從題干出發(fā),通過計(jì)算[f0]與[f-1]發(fā)現(xiàn),可先對參數(shù)[a]分類討論,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)[fx]的性質(zhì),進(jìn)而根據(jù)已知條件得出答案.

    解2 (1)當(dāng)[a<32e]時(shí),可得[f0=-1+a<0],[f-1=2a-3e<0],這與題設(shè)條件不符,舍去.

    (2)當(dāng)[32e≤a<1]時(shí),

    得[fx=ex2x+1-a],[fx=ex2x+3].

    若[x<-32],則[fx<0].

    若[x>-32],則[fx>0].

    從而[fx]在[-∞,-32]上是減函數(shù),在[-32,+∞]上是增函數(shù).

    又當(dāng)[x→-∞]時(shí),有[ex2x+1→0.]

    且當(dāng)[x<-12]時(shí),有[ex2x+1<0]成立;

    當(dāng)[x>-12]時(shí),有[ex2x+1>0]成立.

    故存在[t∈-12,0],使得[ft=0].

    因此,若[x若[x>t],則[fx>0].

    所以[fx]在[-∞,t]上是減函數(shù),在[t,+∞]上是增函數(shù).

    且[f0=-1+a<0],[f1=e>0].

    由“存在惟一的整數(shù)[x0],使得[fx0<0]”得,

    [f-1=2a-3e≥0],解得[a≥32e].

    綜上所述,實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[32e,1].

    答案 D

    點(diǎn)撥 用直接法研究函數(shù)的性質(zhì),對參數(shù)分類討論獲得結(jié)果,此法的難點(diǎn)在于分類標(biāo)準(zhǔn)的確定、導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的確定以及存在性問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化.

    分析3 由題意得,“存在惟一的整數(shù)[x0],使得[ex02x0-1-ax0+a<0]成立”等價(jià)于“存在惟一的整數(shù)[x0],使得[ex02x0-1

    綜上所述,實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是[32e,1].

    答案 D

    點(diǎn)撥 利用分離參數(shù)法研究本題,易錯(cuò)點(diǎn)在于對變量[x0]分類之后的等價(jià)變形.

    分析4 當(dāng)[x≠12]時(shí),本題也可以研究參數(shù)[a]對函數(shù)[y=ex]與[y=ax-12x-1]的圖象的相對位置關(guān)系的影響,再根據(jù)題設(shè)條件求解.

    解4 由題意得,“存在惟一的整數(shù)[x0],使得[ex02x0-1(1)當(dāng)[x0>12]時(shí),(*)[?]存在惟一的整數(shù)[x0],使得[ex0

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