數(shù)學(xué)思考，需要怎樣的學(xué)習(xí)素材？

宋煜陽(yáng)

[摘 要]數(shù)學(xué)思考需要好的學(xué)習(xí)材料為載體。在設(shè)計(jì)和選擇學(xué)習(xí)素材時(shí)，需要講求數(shù)學(xué)眼光，關(guān)注情境性素材的抽象轉(zhuǎn)化與直觀表征；需要講求整體感知，關(guān)注比照性素材的關(guān)系概括與類(lèi)比推理；需要講求路徑習(xí)得，關(guān)注梳理性素材的方法追溯與策略提煉。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思考 學(xué)習(xí)素材

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）14-005

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，而學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，通俗地說(shuō)就是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式想問(wèn)題。無(wú)論是學(xué)生想問(wèn)題意愿的激發(fā)，還是想問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)方法的積累，學(xué)習(xí)素材至關(guān)重要。

那么，什么樣的學(xué)習(xí)素材能觸發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考呢？筆者認(rèn)為，這種素材首先需要“誘導(dǎo)性”，所蘊(yùn)含的學(xué)習(xí)任務(wù)富有適度的挑戰(zhàn)性和吸引力，有助于學(xué)生獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方式；其次具有“適切性”，其思維含量落點(diǎn)和學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是匹配的，多數(shù)學(xué)生通過(guò)“跳一跳”能夠“摘到桃子”。因此，在設(shè)計(jì)和選擇學(xué)習(xí)素材時(shí)，我們需要關(guān)注情境性素材的抽象轉(zhuǎn)化與直觀表征，促使學(xué)生“由表及里地想”；需要關(guān)注比照性素材的關(guān)系概括與類(lèi)比推理，促使學(xué)生“居高臨下地想”；需要關(guān)注梳理性素材的方法追溯與策略提煉，促使學(xué)生“瞻前顧后地想”。

一、情境性素材，發(fā)展數(shù)學(xué)眼光，促進(jìn)抽象轉(zhuǎn)化和直觀表征

用數(shù)學(xué)的思維方式想問(wèn)題，首先得善于運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光從實(shí)際事物中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題。而數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提取過(guò)程，是一個(gè)“由表及里”的數(shù)學(xué)化過(guò)程，它本身就是數(shù)學(xué)思考的行為，且需要敏銳的數(shù)學(xué)眼光。當(dāng)然，數(shù)學(xué)眼光的培養(yǎng)需要長(zhǎng)期的積累，尤其離不開(kāi)借助情境性學(xué)習(xí)素材所進(jìn)行的抽象轉(zhuǎn)化和直觀表征訓(xùn)練。

一方面，數(shù)學(xué)眼光講求透過(guò)生活現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠?qū)⒕唧w的現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。這就要求在選取和設(shè)計(jì)具體情境話(huà)題時(shí)，既要充分考慮素材對(duì)于學(xué)生的吸引力，又要關(guān)注到數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于實(shí)現(xiàn)初步的數(shù)學(xué)化。比如，教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，特級(jí)教師朱樂(lè)平呈現(xiàn)了學(xué)生熟悉的套圈游戲，討論“一字形”、“正方形”、“圓形”三種站隊(duì)方案游戲的公平性，并即時(shí)把套圈游戲的實(shí)物情景圖抽象為“定點(diǎn)”的數(shù)學(xué)示意圖，學(xué)生自然從“哪種套圈游戲方案公平”的生活問(wèn)題的討論進(jìn)入“兩點(diǎn)之間距離是否相等”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)問(wèn)題的思考。而特級(jí)教師黃愛(ài)華教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”時(shí)，呈現(xiàn)的是生活中常見(jiàn)的窨井蓋圖，拋出了“為什么窨井蓋要做成圓形”這一學(xué)生既熟悉又陌生的生活問(wèn)題，學(xué)生即刻進(jìn)入了圓的本質(zhì)特點(diǎn)的思考與討論。兩位名師學(xué)習(xí)素材選取不盡相同，但都是情境性素材，且體現(xiàn)了貫通生活問(wèn)題與數(shù)學(xué)本質(zhì)的特點(diǎn)。

另一方面，數(shù)學(xué)眼光講求透過(guò)錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境發(fā)現(xiàn)內(nèi)隱的關(guān)鍵問(wèn)題，能夠通過(guò)直觀表征將其予以外顯，逼近本質(zhì)思考。這就要求我們對(duì)于本身比較復(fù)雜抽象、關(guān)鍵信息隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、擺一擺等外在的表現(xiàn)形式來(lái)尋找思考的線索。比如，在人教版歸總問(wèn)題“媽媽的錢(qián)買(mǎi)6元一個(gè)的碗，正好可以買(mǎi)6個(gè)。用這些錢(qián)買(mǎi)9元一個(gè)的碗，可以買(mǎi)幾個(gè)？”中，由于“這些錢(qián)”這條關(guān)鍵信息是隱含的，學(xué)生在解讀題意時(shí)往往感知刺激不強(qiáng)烈，一時(shí)無(wú)法捕捉到總量不變這一本質(zhì)特點(diǎn)。教學(xué)中就需要介入線段圖表征題意，要在線段圖上反映出總量長(zhǎng)度相等，又要用不等長(zhǎng)的線段區(qū)分出“6元”“9元”價(jià)錢(qián)不一，學(xué)生往往在“等長(zhǎng)”和“不等長(zhǎng)”的圖示表達(dá)中顧此失彼。在表征中，學(xué)生容易出現(xiàn)類(lèi)似下圖的典型錯(cuò)誤：

此時(shí)圍繞“整條線段表示什么？”“同樣長(zhǎng)是反映哪條信息？”“不同樣長(zhǎng)想表達(dá)什么信息？”等系列問(wèn)題開(kāi)展討論，學(xué)生在外化的線段圖“說(shuō)長(zhǎng)道短”中梳理了各信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，較好感知了歸總問(wèn)題的本質(zhì)特點(diǎn)。

情境性素材的設(shè)計(jì)和選擇，既要善于將學(xué)生置身于“它和我們學(xué)過(guò)的什么數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)聯(lián)”的思考，實(shí)現(xiàn)生活情境數(shù)學(xué)化；又要善于讓學(xué)生利用幾何直觀手段來(lái)描述分析數(shù)學(xué)情境，實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，促發(fā)學(xué)生由表及里地想，從而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光。

二、比照性素材，追求整體感知，促進(jìn)關(guān)系概括和類(lèi)比推理

學(xué)會(huì)思考的本質(zhì)是學(xué)會(huì)概括、學(xué)會(huì)推理，而支持概括能力和推理能力最為核心的要素是關(guān)系的感知與聯(lián)想。教學(xué)中，要善于運(yùn)用整體感知的方式，擴(kuò)展感知面、拉長(zhǎng)感知過(guò)程，讓學(xué)生在“是什么，不是什么”的對(duì)比材料和“它們之間有什么聯(lián)系”的類(lèi)比材料中實(shí)現(xiàn)自我概括與判斷推理，充分發(fā)揮遷移內(nèi)化的作用，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和推理能力。

比如，在概念教學(xué)中許多教師習(xí)慣于將概念屬性進(jìn)行分解，給定若干個(gè)學(xué)習(xí)材料組織學(xué)生進(jìn)行分步觀察比較、逐級(jí)抽取概念屬性，最終完成整個(gè)概念的歸納概括，學(xué)生經(jīng)歷的是從局部到整體的過(guò)程感知。而概念各種屬性之間關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，更有賴(lài)于整體感知，更需借助于整體性對(duì)比材料，讓學(xué)生置身于對(duì)概念全部屬性的一次性觀察、比較、分析和歸納概括。以認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形為例，可以呈現(xiàn)下列整組材料讓學(xué)生進(jìn)行觀察思考。

（1）這些是長(zhǎng)方形。

（2）這些不是長(zhǎng)方形。

（3）哪些是長(zhǎng)方形？

（4）你能用自己的話(huà)說(shuō)一說(shuō)什么是長(zhǎng)方形嗎？

（5）根據(jù)自己寫(xiě)下的定義，仔細(xì)檢查是否適合上面舉出的例子。

（6）反饋交流，歸納長(zhǎng)方形特征。

上述概念的概括過(guò)程，教師先直接提供“這些是長(zhǎng)方形”的肯定例證和“這些不是長(zhǎng)方形”的否定例證，再提供一組具體例證讓學(xué)生進(jìn)行判別，然后組織學(xué)生嘗試概括特征并提醒學(xué)生進(jìn)行比對(duì)，最后進(jìn)行交流概括。在這個(gè)對(duì)比分析過(guò)程中，一直是以圖形的整體特征來(lái)推進(jìn)，促使學(xué)生從邊和角兩個(gè)核心要素對(duì)長(zhǎng)方形與其他圖形之間關(guān)系作出分化與類(lèi)化，有效提升了概括能力。

在規(guī)律、性質(zhì)序列學(xué)習(xí)中，后續(xù)規(guī)律、性質(zhì)的學(xué)習(xí)通常是采用類(lèi)比推理的方式歸納、概括出新結(jié)論。教學(xué)中，要積極尋找新舊事物間相似性材料，激發(fā)學(xué)生在原有結(jié)論基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，試著猜想、概括新結(jié)論，并在舉例驗(yàn)證中確認(rèn)新結(jié)論，實(shí)現(xiàn)有意義的同化。比如，在比的基本性質(zhì)之前學(xué)習(xí)了商不變的性質(zhì)和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，學(xué)生已經(jīng)積累了一些歸納規(guī)律（性質(zhì)）的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中可以通過(guò)“3÷5=（ ）÷10=12÷（ ）”、“■=■=■”一組材料讓學(xué)生進(jìn)行回憶復(fù)習(xí)，并類(lèi)比比的基本性質(zhì)。

概念間關(guān)系的感知與聯(lián)想，“仰仗”于學(xué)習(xí)素材對(duì)于學(xué)習(xí)者的外在刺激和內(nèi)化反映。在概念、法則、定律、性質(zhì)等內(nèi)容教學(xué)中，教師要積極搭建概括、推理交鋒的平臺(tái)，提供一組或幾組對(duì)比、類(lèi)比材料，引導(dǎo)學(xué)生從整體、宏觀的角度居高臨下地思考，以切實(shí)提升學(xué)生分化、分類(lèi)水平，發(fā)展自我概括、自我推理能力。

三、梳理性素材，著力路徑習(xí)得，促進(jìn)方法追溯和策略凝練

當(dāng)學(xué)生明確要想的數(shù)學(xué)問(wèn)題后，思考的方法就尤為重要了。教學(xué)中，要充分讓學(xué)生經(jīng)歷想問(wèn)題的過(guò)程，并通過(guò)學(xué)習(xí)素材的梳理，體會(huì)想問(wèn)題的思路與方法，積累想問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，形成一些想問(wèn)題的策略。根據(jù)問(wèn)題解決的步驟，想問(wèn)題方法與策略的回顧梳理，一般有問(wèn)題解決前的啟蒙式梳理和問(wèn)題解決后的反思式梳理兩種情形。

問(wèn)題解決前的啟蒙式梳理，一方面通過(guò)學(xué)習(xí)素材回憶原先問(wèn)題解決的基本思路和一般步驟，考量其能否在新問(wèn)題上加以借鑒，起到定向作用；另一方面，如果原有的思路方法不能在新問(wèn)題中直接應(yīng)用，兩者間的缺口或困難是什么必須加以明確，以起到聚焦作用。比如在用假設(shè)法解決工程問(wèn)題中，教材安排了“一條道路，如果甲隊(duì)單獨(dú)修，12天修完；如果乙隊(duì)單獨(dú)修，18天才能修完。如果兩隊(duì)合修，多少天能修完？”的實(shí)際問(wèn)題。前測(cè)顯示，絕大多數(shù)學(xué)生由于第一次面臨這種新問(wèn)題，缺乏方法層面的經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法自主產(chǎn)生“假設(shè)法”這一策略。教學(xué)中，可以先通過(guò)“24噸救災(zāi)物資運(yùn)送到魯?shù)?，甲運(yùn)輸公司6天能運(yùn)完，乙運(yùn)輸公司只要3天，如果兩個(gè)運(yùn)輸公司一起運(yùn)，幾天能運(yùn)完？”具體問(wèn)題的解決和思路步驟分析，再給出上述問(wèn)題，促發(fā)學(xué)生聯(lián)想到“增加具體路長(zhǎng)這個(gè)條件，新問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為老問(wèn)題”這一節(jié)點(diǎn)，此時(shí)就有部分學(xué)生自主萌生假設(shè)法。又如，圓的面積公式推導(dǎo)中，首先回顧平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)的過(guò)程，得出轉(zhuǎn)化方法和推導(dǎo)的步驟，然后再組織學(xué)生在原有的割補(bǔ)法和倍拼法中進(jìn)行思辨“轉(zhuǎn)化方法中的割補(bǔ)法和倍拼法，你覺(jué)得對(duì)圓來(lái)說(shuō)哪一種方法更合適？為什么？”這就是一個(gè)探究方法定向選擇的梳理過(guò)程。

問(wèn)題解決后的反思式梳理，重在歸類(lèi)比較、融會(huì)貫通。通過(guò)反思“我們剛才解決問(wèn)題的方法和原來(lái)的方法有什么相同和區(qū)別？”“如果碰上類(lèi)似的問(wèn)題，該如何解決？”等問(wèn)題，促使學(xué)生對(duì)一類(lèi)問(wèn)題解決的方法進(jìn)行梳理，從而提升能力。比如，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是在多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，也是整數(shù)乘法學(xué)習(xí)的最后階段，教學(xué)中有必要圍繞“影響整數(shù)乘法筆算的基本核心要素有哪些”進(jìn)行計(jì)算規(guī)則的提煉和歸類(lèi)?？梢酝ㄟ^(guò)一組反思問(wèn)題來(lái)梳理：?jiǎn)栴}1“三位數(shù)乘兩位數(shù)與三位數(shù)乘一位數(shù)在計(jì)算方法上有哪些異同？”組織學(xué)生明確兩者在乘的順序（數(shù)位上）是一致的，不同的是積的層數(shù)不同；問(wèn)題2“三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)在計(jì)算方法上有哪些異同？”組織學(xué)生明確兩者都需要兩層積疊加，不同的是后者每層積要少乘一個(gè)數(shù)位；問(wèn)題3“剛才我們是從哪幾個(gè)方面對(duì)筆算乘法進(jìn)行比較思考的？”引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，整數(shù)筆算乘法主要從乘的順序、積的疊加層數(shù)兩個(gè)核心要素對(duì)計(jì)算法則進(jìn)行關(guān)注。此時(shí)，再拋出問(wèn)題4“如果遇上三位數(shù)乘三位數(shù)筆算乘法，你認(rèn)為在計(jì)算方法上會(huì)有什么特點(diǎn)？”學(xué)生已經(jīng)能夠水到渠成地從整數(shù)乘法的核心要素進(jìn)行思考。

事實(shí)上，無(wú)論是學(xué)習(xí)方法的追溯還是解決問(wèn)題策略的提煉，都需要梳理性學(xué)習(xí)材料加以刺激，只有在“原來(lái)怎么想”、“現(xiàn)在怎么想”和“以后怎么想”的不斷溝通梳理中，數(shù)學(xué)思考的意識(shí)和能力才能日益增長(zhǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）