數(shù)學(xué)教學(xué)，請(qǐng)與思考同行

顧志能

[摘 要]數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，與人類的思考緊密相關(guān)。學(xué)數(shù)學(xué)，本質(zhì)上就是在學(xué)習(xí)思考，發(fā)展思維。教數(shù)學(xué)，應(yīng)把數(shù)學(xué)思考目標(biāo)作為核心，通過合適的途徑和方法，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維能力的提升。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué) 思考 思維

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）14-001

一、數(shù)學(xué)是人類思考的產(chǎn)物

我們經(jīng)常和數(shù)學(xué)打交道，但很少有人去想這樣一個(gè)問題：數(shù)學(xué)是怎么來的？

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，源于人類的思考！

遠(yuǎn)古時(shí)期，我們的先人在勞作中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題：今天打到了多少獵物，每人分到了多少果子，羊群里的羊少了沒有……怎樣才能把事情搞清楚呢？有人想到了用手指來記數(shù)，如每數(shù)一只羊就扳一個(gè)手指頭。羊多了，手指不夠怎么辦？用小石子來記數(shù)，每數(shù)一只羊就用一塊小石子代替。石子多了太重了怎么辦？在石頭上刻畫或在泥板上做記號(hào)。怎樣的記號(hào)，能讓大家看得懂，使用起來又方便？……慢慢地，記數(shù)的符號(hào)產(chǎn)生了，計(jì)數(shù)的系統(tǒng)形成了，數(shù)學(xué)由此拉開帷幕。

所以，數(shù)學(xué)最原始的基因，那就是“思考”。

與數(shù)學(xué)的產(chǎn)生一樣，數(shù)學(xué)的發(fā)展，也是人類思考催動(dòng)的結(jié)果。畢達(dá)哥拉斯的學(xué)生希伯索斯思考著：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線怎么用整數(shù)或整數(shù)比來表示呢？“萬(wàn)物皆數(shù)”的信條被打破了，數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)爆發(fā)了。危機(jī)之后，無理數(shù)產(chǎn)生了，邏輯推理、歐幾里得幾何走上了歷史舞臺(tái)，數(shù)學(xué)由此掀開全新的頁(yè)面。笛卡爾思考著：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是抽象的，能不能把幾何圖形和代數(shù)方程結(jié)合起來研究呢？他苦苦探索，做夢(mèng)都在想辦法。夢(mèng)中的蜘蛛網(wǎng)讓他有了靈感，于是，坐標(biāo)系產(chǎn)生了，形與數(shù)統(tǒng)一了，解析幾何誕生了，數(shù)學(xué)從此發(fā)生重大轉(zhuǎn)折。歐拉在思考著：怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完格尼斯堡上的七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)呢？他巧妙地將七橋問題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)幾何問題，從對(duì)一筆畫的研究入手來分析解答。結(jié)果，答案有了，數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——圖論與幾何拓?fù)洚a(chǎn)生了，數(shù)學(xué)又增添了全新的研究領(lǐng)域……

可見，正是人類不斷地思考，不斷地探索，才造就了數(shù)學(xué)今天的壯麗和完美。數(shù)學(xué)，從來就是與“思考”緊密相連！

二、思考是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征

思考，如此的重要，那它究竟為何物？它與數(shù)學(xué)又有何關(guān)聯(lián)呢？

翻看《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》：“思考是指進(jìn)行比較深刻、周到的思維活動(dòng)?！痹~典中對(duì)“思維”的解釋是：“思維是指在表象和概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行綜合、分析、判斷、推理等認(rèn)識(shí)活動(dòng)的過程。思維是人類特有的一種精神活動(dòng)，是從社會(huì)實(shí)踐中產(chǎn)生的?！比魧蓚€(gè)概念合在一起，我們不妨可將思考理解為“人類所特有的比較深刻、周到的綜合、分析、判斷、推理等認(rèn)識(shí)事物的精神活動(dòng)（過程）?！?/p>

那么，當(dāng)我們回看數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，伴隨數(shù)學(xué)一路走來的，正是人類各種各樣的、深刻周到的認(rèn)識(shí)事物的精神活動(dòng)。扳手指、用小石子來記數(shù)，其核心就是“一一對(duì)應(yīng)”的思想；刻畫記號(hào)，那就是“形象”和“直觀”的萌芽；說明邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線不能用整數(shù)或整數(shù)比表示，用到的是“反例”和“推理”的思想；笛卡爾實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合借助的是“想象”和“頓悟”；歐拉構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型是以“抽象”、“轉(zhuǎn)化”為方法……

以上種種精神活動(dòng)，不都是人類特有的認(rèn)識(shí)事物的方式嗎？不都呈現(xiàn)出了深刻而周到的鮮明特征嗎？

所以，這些精神活動(dòng)顯然都是“思考”！

由此，我們也可以清晰地體會(huì)到，人類正是因?yàn)榫邆淞诉@些“思考”，才推動(dòng)了數(shù)學(xué)及科技的進(jìn)步，才使得“生命日益充實(shí)與強(qiáng)盛”。同時(shí)，我們也必定深切地感受到，人類具備的這些“思考”，早已經(jīng)和數(shù)學(xué)相伴而行了千萬(wàn)年，早已經(jīng)和數(shù)學(xué)緊緊地融為一體而不可分了。所以，數(shù)學(xué)一定是蘊(yùn)含著思考，一定是展現(xiàn)著思考。

時(shí)至今日，哪怕數(shù)學(xué)已成為了一門人人都要學(xué)習(xí)的學(xué)科，哪怕是在一個(gè)普普通通的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中，數(shù)學(xué)這樣的特征，還是一覽無遺地顯現(xiàn)著。

如“10的組成”，蘊(yùn)含著“有序思考”；“20以內(nèi)的加法”，蘊(yùn)含著“多樣化和優(yōu)化”；“認(rèn)識(shí)乘法”，蘊(yùn)含著“比較、歸納”；“四邊形的認(rèn)識(shí)”，蘊(yùn)含著“分類、抽象”；……

不用再多舉例子，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)都是人類“思考”的結(jié)果，所以它一定是承載著能提升人認(rèn)識(shí)事物能力的思維方式和思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)，本質(zhì)上就是一個(gè)承載“思考”的載體；學(xué)數(shù)學(xué)，本質(zhì)上就是要領(lǐng)悟其中的“思考”。

所以，人們大膽地表達(dá)著這樣的觀點(diǎn)——“思考是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的本質(zhì)特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)特征?！保灼笃剑?/p>

三、教數(shù)學(xué)重在教人思考

毫無疑問，教數(shù)學(xué)必須要將啟發(fā)學(xué)生思考、發(fā)展學(xué)生思維作為重要的目標(biāo)來追求。

承載著新時(shí)期教育使命的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，清晰地展現(xiàn)著這樣的理念。在“前言”部分，它就指出：數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。在課程的“總目標(biāo)”中，更是明確地提出了“數(shù)學(xué)思考”的目標(biāo)：

●建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。

●體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象。

●在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。

●學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。

從這些描述“數(shù)學(xué)思考”的語(yǔ)句中，我們可以看到，所謂“數(shù)學(xué)思考”，實(shí)則就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中所進(jìn)行的思維活動(dòng)，以及通過這樣的活動(dòng)所積累的思維方式和思想方法。

目的和意義已無需多講，我們要考慮的，就是如何在日常教學(xué)中去落實(shí)這樣的“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)。筆者以為，關(guān)注以下幾個(gè)方面，將有利于目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

1.準(zhǔn)確定位展現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)，是課堂內(nèi)涵的反映。想要通過課堂引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，發(fā)展思維能力，就需要教師準(zhǔn)確地剖析教學(xué)內(nèi)容中的“數(shù)學(xué)思考”點(diǎn)，并把它作為重要的教學(xué)目標(biāo)予以呈現(xiàn)。如此，課堂才會(huì)有教學(xué)的“靈魂”和方向。

首先要將“數(shù)學(xué)思考”內(nèi)涵定下來。大多數(shù)教學(xué)內(nèi)容，教師通過自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)就能知道其中的“數(shù)學(xué)思考”點(diǎn)。如看到“平行四邊形面積”，馬上就可想到“轉(zhuǎn)化”思想；看到“搭配”，也不難意識(shí)到“分類討論”和“有序思考”。但有些教學(xué)內(nèi)容，要把握其中的“數(shù)學(xué)思考”點(diǎn)，則需要教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心詞有深入理解。如看到“加法交換律和結(jié)合律”的內(nèi)容編排，教師應(yīng)當(dāng)意識(shí)到，像教材中那樣通過大量舉例歸納得出結(jié)論的方法，是一種“合情推理”——從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。

然后要把“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)講清楚。目標(biāo)不僅僅就是呈現(xiàn)出一個(gè)或幾個(gè)包含有“數(shù)學(xué)思考”內(nèi)涵的名詞，它更需要執(zhí)教者清楚地表述出是以怎樣的過程和方法來追求（達(dá)成）這個(gè)目標(biāo)的。如一位教師要上一節(jié)圖形與幾何的課，他把課的過程性目標(biāo)確定為“通過觀察、比較、想象、操作等活動(dòng)，使學(xué)生發(fā)展形象思維，提升空間觀念?！比绱说谋硎?，既意味著教師已明確了本課的“數(shù)學(xué)思考”點(diǎn)，更說明教師已經(jīng)設(shè)想好了實(shí)現(xiàn)這些“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)該采取的行為。在這樣的目標(biāo)引領(lǐng)下的教學(xué)，我們才有可能讓學(xué)生圍繞“數(shù)學(xué)思考”開展學(xué)習(xí)，得到收獲。

2.巧妙設(shè)計(jì)促使學(xué)生思考的教學(xué)過程

有了明確的目標(biāo)，還需要一個(gè)與之匹配的教學(xué)過程。在這個(gè)過程中，無論是學(xué)習(xí)情境、學(xué)習(xí)材料、教學(xué)環(huán)節(jié)，還是教學(xué)形式，都應(yīng)當(dāng)緊緊貼著“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)，并為這個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)“推波助瀾”。

如在學(xué)習(xí)情境方面，教師應(yīng)當(dāng)盡可能選用或創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含較強(qiáng)思考成分的情境，以激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)的愿望，促使學(xué)生深入研究。如一位教師教學(xué)“三位數(shù)乘兩位數(shù)的練習(xí)”，“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。他引導(dǎo)學(xué)生編制了一道題目“999×99”，然后要求學(xué)生不可以筆算，依次解決“答案是幾位數(shù)”和“98999、99901、98901三個(gè)答案哪個(gè)對(duì)”兩個(gè)問題。結(jié)果，學(xué)生在這樣的挑戰(zhàn)性情境中，充分展現(xiàn)了自己的能力，觀察、比較、估算、巧算、推理等各種各樣的方法紛紛出現(xiàn)，整個(gè)學(xué)習(xí)過程充滿張力，思維激揚(yáng)。

又如在教學(xué)環(huán)節(jié)方面，我們也應(yīng)當(dāng)基于為促進(jìn)學(xué)生的思考而考慮環(huán)節(jié)的擺布、環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)換等。如一位教師教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”，新授部分是三個(gè)環(huán)節(jié)。第一環(huán)節(jié)讓學(xué)生借助小棒，研究“兩條短邊之和小于長(zhǎng)邊”的情況，時(shí)間很短，學(xué)生主要是理解小棒圍三角形的方法。第二環(huán)節(jié)也是借助小棒，研究“兩條短邊之和大于長(zhǎng)邊”的情況，時(shí)間略長(zhǎng)，學(xué)生主要是理解為什么能圍成三角形的道理（有重疊，可在端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線交點(diǎn)處圍成）。第三環(huán)節(jié)，教師不提供小棒，轉(zhuǎn)為讓學(xué)生想象“兩條短邊之和等于長(zhǎng)邊”的情況，并以自己個(gè)性化的經(jīng)驗(yàn)來說明到底能不能圍成三角形。結(jié)果，學(xué)生展現(xiàn)出了不同層次的空間想象水平，能力得到提升。

3.靈活運(yùn)用激勵(lì)學(xué)生思考的教學(xué)方式

在課堂實(shí)施中，一定存在很多可以啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)，如學(xué)生一個(gè)特別的問題，一個(gè)精彩的回答，一種有趣的算法，等等。教師要善于抓住這樣的機(jī)會(huì)，或語(yǔ)言引導(dǎo)，或行為跟進(jìn)，以各種靈活的方式引導(dǎo)學(xué)生朝思維的更深處行進(jìn)。

如一位教師教學(xué)“運(yùn)算定律總復(fù)習(xí)”，師生共同回顧梳理各個(gè)運(yùn)算定律時(shí)，一位學(xué)生提出“除法也有分配律，是（a+b）÷c=a÷c+b÷c”。其他學(xué)生嘩然，有人說不對(duì)，有人說對(duì)。只見教師不慌不忙，一個(gè)問題馬上跟進(jìn)：“對(duì)還是不對(duì)，你們有什么辦法說明？”等學(xué)生舉例驗(yàn)證認(rèn)可后，又一個(gè)問題：“那么這個(gè)為什么不叫除法分配律？”兩個(gè)問題，讓學(xué)生經(jīng)歷了“舉例”、“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想的洗禮。

課堂實(shí)施中，教師多用以下的語(yǔ)言來引導(dǎo)，就能有效促進(jìn)學(xué)生的思考。“你是怎樣想的？”——這是引導(dǎo)學(xué)生反思和有條理說明思考過程的常規(guī)手段?！斑€有沒有其他的解法？”——這是擴(kuò)大學(xué)生思考面的好途徑?！叭绻瓡?huì)怎么樣？”——這是促使學(xué)生深入思考的有效策略。其實(shí)，教師的課堂上有怎樣的語(yǔ)言或行為，與教師的信念緊密相關(guān)。教師只要是想著“我要引導(dǎo)學(xué)生多思考”，自然會(huì)時(shí)刻關(guān)注學(xué)生，從而產(chǎn)生相應(yīng)舉動(dòng)。

上述三個(gè)策略，分別指向于目標(biāo)定位、過程設(shè)計(jì)、課堂調(diào)控這三個(gè)教學(xué)要素，但數(shù)學(xué)教學(xué)的元素，遠(yuǎn)不止這三個(gè)，如何教人思考，更不是一兩個(gè)例子所能言盡的。數(shù)學(xué)教學(xué)，如何與思考同行，需要我們更深入的研究。

（責(zé)編 金 鈴）