妙用《幾何畫板》 “直觀”數(shù)學課堂

王輝

職高學生普遍存在基礎(chǔ)知識不扎實、自信心不足、性格散漫、厭學等問題，導致自暴自棄，情緒低落，對學習喪失信心，但對一些自己感興趣的事情，參與意識極強，也表現(xiàn)出很強的好勝心。如何投其所好，以看得見、摸得著的事例來激發(fā)他們的學習興趣，提高他們的參與意識，引導他們正確地對待學習呢？

《幾何畫板》繪制的圖形非常直觀，它能構(gòu)造出各種各樣的幾何圖形，將一個“活”的幾何圖形展現(xiàn)在學生面前，使學生一目了然，具有一般的實物教具難以達到的妙用。因此，巧妙地運用《幾何畫板》可以使原本呆板的數(shù)學課堂變得有趣，形成生動、活潑的課堂教學氛圍。同時，還可以通過對直觀圖形的觀察提高學生的空間觀念、空間想象力和抽象思維能力；學生自己動手操作時，更可以提升他們對圖形的理解及繪圖能力。本文試圖通過若干教學實例對如何運用《幾何畫板》激活數(shù)學課堂談一點看法。

立足直觀 制造懸念

需求是人的一切行為的原動力。要激發(fā)學生的學習動機就要從激發(fā)學生的學習需求入手。如果教師能準確抓住學生的心理特點，精心設(shè)計懸念，就能激發(fā)起學生的學習動機。

例如，在講述橢圓定義的時候，我先讓學生回想日常生活中所出現(xiàn)的橢圓，并啟發(fā)他們思考怎樣才能形成橢圓，接著利用《幾何畫板》，向?qū)W生提供形象的動態(tài)畫面（如圖1）。

說明出現(xiàn)這個圖形的因素是：=定長。接著展示如下兩個動畫（如圖2、圖3）。

學生通過觀察、思考，歸納出要形成橢圓，定長是有條件的，即。通過這樣的設(shè)計，運用直觀的圖像，在給學生造成懸念的同時，又可以使其在圖形的形成過程中得出結(jié)論。明確了原先的迷惑，增強了學生學習的興趣。這時教師的角色不再是學生的保姆，學生也不再是接受知識的容器，更不再是目睹教師口干舌燥的“觀眾”，而是積極參與探索的“主角”。

形象直觀 啟發(fā)引導

心理學研究表明，變動的事物、圖形易引起人們的注意，從而在人腦里形成較深刻的印象。數(shù)學課堂教學中如果能準確、動態(tài)地展現(xiàn)幾何圖形，揭示幾何中的變化規(guī)律，對學生學好數(shù)學有著十分重要的意義。

例如，在講述棱錐的體積公式前，我先讓學生回顧三角形面積公式及導出方法，接著利用《幾何畫板》向?qū)W生提供形象的動態(tài)畫面（如圖4），同學生一起回顧推導過程：（1）將三角形補成平行四邊形，從而把三角形的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形面積；（2）將平行四邊形又割補成矩形，從而將問題轉(zhuǎn)化為求矩形的面積。

在觀察畫面后，讓學生明確“在解決數(shù)學問題過程中，我們經(jīng)?；吧鸀槭煜?，化求知為已知”的化歸思想方法。接下來，我便提出問題：能否用類似的方法來求解三棱錐的體積呢？給學生以啟發(fā)，激發(fā)學生的求知欲。這時，可以在屏幕上顯示三棱錐的體積由三棱柱體積轉(zhuǎn)化的割補過程（如圖5），從棱柱A′B′C′-ABC分割出來三個錐體C-A′AB，C-A′B′B，A-B′C′C，讓它們的頂點和面積相等的兩個底面繪以同一色彩。隨著“合并—移開—合并”的反復(fù)動作，不難得出三個錐體的體積是相等的，從而使學生自然而然地得出所要論證的結(jié)論，讓他們產(chǎn)生成就感，學習興趣盎然。

構(gòu)造直觀 展現(xiàn)思維

數(shù)學理論的表述往往是抽象的，而圖形則以其生動、直觀的形象展現(xiàn)于人們面前，以幫助其理解、記憶抽象的數(shù)學內(nèi)容。數(shù)學課堂教學的成敗在于能否充分展現(xiàn)數(shù)學的思維過程，并且讓這種過程能為學生所理解、接受?！稁缀萎嫲濉纺軌蚴轨o態(tài)變?yōu)閯討B(tài)、抽象變?yōu)榫呦?，有利于抽象思維能力的培養(yǎng)。

例如，在講授“球的體積公式”前，可以運用《幾何畫板》給學生做一個演示實驗。把一個半徑為R的半球和一個底面半徑和高均為R的圓錐放入一個底面半徑和高都為R的圓柱內(nèi)（如圖6）。此時，柱體內(nèi)扣除掉圓錐部分的幾何體，當用一個平行于底面的平面去截時，半球的截面面積和幾何體的截面面積（圓環(huán)）會怎么樣呢？

運用畫板的測量計算和動畫功能，計算出兩個截面面積并記錄，發(fā)現(xiàn)兩截面面積處處相等，由祖暅原理可知，半球的體積與幾何體的體積是相等的。引導學生進一步觀察：

（1）當把一個半徑為R的半球和一個底面半徑和高均為R的圓錐放入一個底面半徑和高都為R的圓柱內(nèi)時，必有：半球?？梢?，半球的體積處于圓錐和圓柱之間。

（2）設(shè)底面所在的平面為α面，半球的球心為O，平面β//平面α，截得半球上的截面圓O1半徑為r，，則S截面圓= πr2=πR2-πL2（如圖7）。

（3）將半球、圓錐放入圓柱后，用平面β去截，扣除掉圓錐的截面圓，剩下的部分，即將底面半徑和高均為R的圓柱挖去一個底面和高均為R的圓錐，圓柱體內(nèi)被平面β所截得的一個圓環(huán)，其內(nèi)圓半徑即為L，也就是：S圓環(huán)= πR2-πL2。這樣就有：S截面圓=S圓環(huán) 。由于β面是平行于α面的任意平面，所以，半球的體積與該幾何體的體積相等，即，從而可以得出球的體積為：V球= πR3。

從上面可以看出，運用《幾何畫板》進行課堂教學的神奇能力，是其他方式無法取代的。在課堂教學中，我們通過“實驗”讓學生觀察理解、探索研究、發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，給學生以一個建構(gòu)知識、展開思維活動的空間，讓每一位學生都參與到發(fā)現(xiàn)、探索的過程中，進而理解知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，形成自己的經(jīng)驗，達到讓學生“做數(shù)學”的目的，這才是數(shù)學課堂的真諦。

運動直觀 揭示規(guī)律

在立體幾何中，如何對學生傳授數(shù)形結(jié)合的思想方法以及運用數(shù)形結(jié)合的思想進行解題，是一個難點。而運用《幾何畫板》則可以使圖形“動”起來，讓學生觀察到數(shù)與形的聯(lián)系，在動中找靜，使形與數(shù)有機結(jié)合，突破難點。

例如，在講授翻折問題時，有許多學生不知該如何畫圖，即便畫出了直觀圖，但圖形卻又缺乏空間感，更有學生不知該如何在二維平面內(nèi)去表現(xiàn)空間三維圖形以方便解題。究其原因，是由于在靜態(tài)的黑板上無法表現(xiàn)圖形的翻折過程，而且在翻折過程中的變化關(guān)系和不變關(guān)系不能動態(tài)而且準確地表現(xiàn)出來。因此，學生在學習過程中也只能依靠想象，這就給他們的學習造成了一定的困難，往往還會使部分學生失去學習興趣。

有這樣一道題：將一個長和寬分別是10和8的矩形ABCD沿一條對角線AC折成一個直二面角，求BC的長。我們可以在《幾何畫板》中建立起一個平面直角坐標系，把平面圖形放到該坐標系中，同時，構(gòu)造出可自由轉(zhuǎn)動的三維直角坐標系，然后對平面圖形進行翻折并讓它依托到三維坐標系中。這樣，經(jīng)過預(yù)先制作好的 “水平位置”“平面位置”“正面位置”“翻折變化”“復(fù)原變化”等按鈕進行空間圖形的變化、旋轉(zhuǎn)，使學生充分感受到折疊圖形在空間中的各種位置關(guān)系，讓他們將數(shù)量與圖形結(jié)合起來，從而清楚地看到在翻折過程中哪些是不變量，哪些是變量。這對培養(yǎng)學生的空間想象能力及解題思路的形成無疑是有幫助的（如圖8）。

顯然，在課堂教學中運用《幾何畫板》展現(xiàn)出在二維平面內(nèi)將平面圖形變化為空間立體圖形以及翻折的全過程，揭示出圖形與數(shù)量間的變化規(guī)律是有著明顯的優(yōu)勢的。

突破直觀 提高能力

在數(shù)學課堂中，有許多知識是與圖形、圖像分不開的，但不管是借助于直觀模型還是徒手描繪，最終必然要回到抽象思維中來。這就需要靠學生自己作圖并進行分析。這對知識點的積累和應(yīng)用都有比較高的要求，有的學生完成起來會覺得困難重重。在《幾何畫板》上作圖，可以直觀體現(xiàn)圖像中點、線、面，圖形中圖、數(shù)之間的聯(lián)系，縮短了學生知識積累的時間，提高了效率，增進了能力。

例如，在講述到空間四邊形時，由于剛學習立體幾何內(nèi)容不久，學生的空間想象能力不強，所以總分不清空間四邊形與平面四邊形有何區(qū)別。這時我們可以在《幾何畫板》中畫一個四邊形，用鼠標拖動讓它旋轉(zhuǎn)，從不同的角度觀察，找出空間四邊形與平面四邊形的區(qū)別，并選擇出在什么情況下畫出的圖形立體感最強（如圖9）。

圖9

對于數(shù)學學科來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實。但從人類數(shù)學思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學研究和教學中都起著重要的作用。正如蘇聯(lián)著名數(shù)學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！薄稁缀萎嫲濉氛且云鋸姶蟮膱D形和圖像功能、方便的動畫功能，將抽象的思維視覺化的理想工具。運用《幾何畫板》更能在較短的時間內(nèi)豐富學生的知識積累， 培養(yǎng)學生的想象能力、思維能力和創(chuàng)新能力。同時，《幾何畫板》也為數(shù)學教師的備課增添了新的含義，作為數(shù)學教師，學好、用好《幾何畫板》也是新時期對我們提出的新要求。

（作者單位：浙江仙居職業(yè)中等專業(yè)學校）