一類帶有擴散和擾動的n－patch 捕食食餌模型正平衡點的穩(wěn)定性分析

王 彥，高 揚，趙 微，白旭亞，許 潔

(1.大慶師范學院 教師教育學院，黑龍江 大慶163712;2.吉林化工學院 理學院，吉林132000)

0 引言

網絡化思想近年得到廣泛研究與應用.例如，多智主體系統(tǒng)可以看作為復雜網絡系統(tǒng)［1－3］;神經網絡系統(tǒng)也是一種復雜網絡系統(tǒng)［4－6］。

網絡的數學描述是一個由頂點和有向弧連結而成的有向圖.在每個頂點，局部動力學性質由頂點系統(tǒng)構成的微分方程給出.有向弧暗示了頂點系統(tǒng)間的相互連結和相互作用。

近來，Shuai Zhisheng 等人在參考文獻［7］中研究基于網絡考慮微分方程的耦合系統(tǒng)的正平衡點的全局穩(wěn)定問題。他們使用圖論理論，得到了基于網絡的大量耦合系統(tǒng)的全局穩(wěn)定Lyapunov 定理。文獻［7］的創(chuàng)新之處在于作者把圖論和網絡方法應用于n－patch 捕食食餌模型正平衡點的穩(wěn)定性分析中。Shuai Zhisheng 等人研究了如下n－patch 捕食食餌模型:

這里xi，yi表示捕食者和食餌在第i 個patch 上的密度。模型參數bi，δi是非負常數，參數ei，εi是正常數。常數表示食餌從斑塊j 到斑塊i 的擴散率。常數依據不同的邊界條件選出。此模型的特點是要求捕食者含有擴散，而食餌之間沒有擴散。

本文研究具有n－patch(n 個斑塊)的捕食食餌系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性問題。我們推廣模型(1)為如下模型:

這里xi，yi表示捕食者和食餌在第i 個patch 上的密度。模型參數bi，δi是非負未知常數，滿足:bi=b0i+設參數ei，εi是正常數。常數表示食餌從斑塊j 到斑塊i 的擴散率。常數依據不同的邊界條件選出。

1 主要結論

本節(jié)考慮食餌含有擴散項的n－patch 捕食食餌模型(2)。我們把系統(tǒng)(2)看成一個基于網絡的耦合系統(tǒng).使用參考文獻［7］的方法，建立系統(tǒng)(2)的正平衡點全局漸近穩(wěn)定的Lyapunov 定理。

如下定理成立:

定理1 若如下條件成立:

(2)存在正整數k，使得b0k＞0，δ0k＞0 且

則當正平衡點E*存在時，則其唯一且在Rn+上全局漸近穩(wěn)定。

證明:容易看出唯一性可以由全局漸近穩(wěn)定得到，故我們證明的重心放在正平衡點全局漸近穩(wěn)定上，令

容易得到

對第i 個子系統(tǒng)定義Lyapunov 函數為

且

對Lyapunov 函數沿系統(tǒng)(2)求導得到

這里

經計算后得

令cyi表示矩陣(bij)n×n的第i 個對角元素.由矩陣(bij)n×n的不可約性質有cyi＞0 。

進一步取系統(tǒng)的Lyapunov 函數為

則有

注意矩陣(bij)n×n的不可約性質和參考文獻［7］的定理3.1，可以得到

由定理的條件2 有

因此

若頂點i 和l 有邊連接，則有bil＞0，進一步有

由于1－ a+lna ≤0，且1－ a+lna=0?a=1，可以得到

即yi=y*i。

由(bij)n×n的不可約性質，得到圖(G，B)是強連接的，即任意i 和k 有邊連接.因此有yi=y*i。

2 結 語

本文研究帶有擴散和擾動的n 個斑塊下捕食食餌模型正平衡點的穩(wěn)定性問題.該問題是捕食食餌模型的研究重要內容.基于微分方程耦合系統(tǒng)的網絡化思想，得到了一類具有n－patch 的捕食食餌模型正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性定理.所得定理是參考文獻［7］的定理6.1 的推廣。

從生物學上看，我們的結果表明在一定條件下(擴散矩陣不可約和參數條件)n－patch 捕食食餌系統(tǒng)的捕食者和食餌的數量最終穩(wěn)定在一個正值。

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