關(guān)于平衡問題的逼近方法及強收斂性*

羅光耀，龔黔芬

(1．重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067;2．重慶工商大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

關(guān)于平衡問題的逼近方法及強收斂性*

羅光耀1，龔黔芬2

(1．重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067;2．重慶工商大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

在Hilbert空間中，建立了一個逼近平衡問題數(shù)值解的廣義迭代方法，并在一定條件下證明了該方法所產(chǎn)生的序列強收斂到平衡問題的解，該強收斂解同時為一類變分不等式問題的解．

平衡問題;不動點方法;強正算子;變分不等式

0 引 言

以EP(F)表示平衡問題(1)的解集．如果F(x，y)=〈Tx，y－x〉，?x，y∈K，則x*∈EP(F)的充分必要條件是即x*是變分不等式問題的一個解．

稱F:K→K為壓縮映象，如果存在常數(shù)ρ∈(0，1)，使得

非線性算子的不動點理論是現(xiàn)代非線性分析的重要組成部分，廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟決策、最優(yōu)化理論、算子理論、數(shù)值分析和動力系統(tǒng)等經(jīng)濟和工程技術(shù)領(lǐng)域．近年來，利用非擴張映象的不動點方法解決變分不等式和平衡問題引起了數(shù)學(xué)研究者的極大興趣，并獲得了一系列很好的研究成果［1－16］．2006年，Marino-Xu［11］介紹了一個逼近非擴張映象不動點的廣義迭代方法:

其中I為單位算子，A為強正有界線性算子．在一定條件下證明了迭代序列強收斂到非擴張映象的不動點，并且該不動點為變分不等式問題的唯一解，這恰好是非擴張映象不動點集上二次泛函的最優(yōu)化條件．

2011年，Zegeye-Shahzad［12］為了研究偽壓縮映象和單調(diào)映象的公共不動點定理，引入了Trn和Frn映象的定義，建立了迭代逼近方法(式(3)):

并在一定條件下證明了逼近偽壓縮映象和單調(diào)映象公共不動點的強收斂定理．

在此基礎(chǔ)上，將逼近非擴張映象不動點的迭代方法式(2)和式(3)進行推廣，定義一個逼近平衡問題解的一個改進的廣義迭代方法:

其中αn∈(0，1)，A為一強正有界線性算子．此處的目的是在Hilbert空間中利用不動點方法建立逼近平衡問題解的強收斂定理，所得的結(jié)果改進并推廣了文獻［8，11，12］中相應(yīng)的結(jié)論．

1 預(yù)備知識

為了研究涉及雙變元函數(shù)F:K×K→R的平衡問題(1)，假設(shè)F滿足下列條件:(A2)F是單調(diào)的，即是凸且下半連續(xù)的．

引理1［6］設(shè)K為Hilbert空間H的非空閉凸子集，T:K→K為非擴張映象且Fix(T)≠?，如果K中的序列xn弱收斂于x且xn－Txn→y，則x－Tx=y．

引理2［11］設(shè) A為 Hilbert空間 H中的強正有界線性算子，如果系數(shù)，則

引理3［11］在Hilbert空間H中，下列不等式(i)(ii)成立:

引理4［7，13］設(shè)K為Hilbert空間H的非空閉凸子集，F(xiàn):K×K→R滿足條件(A1)－(A4)，則?r＞0，x∈H，?z∈K，滿足

1)Fr是單值映象;

2)Fr是嚴(yán)格非擴張映象，即

3)EP(F)=Fix(Fr)是閉凸集．

引理5［15］設(shè){αn}{γn}{δn}為3個非負(fù)實數(shù)列，并且{γn}∈(0，1)，如果滿足不等式

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)K為Hilbert空間H的非空閉凸子集，F(xiàn):K×K→R是滿足條件(A1)－(A4)的雙變元函數(shù)且EP(F)≠?．如果F:K×K是系數(shù)為ρ∈(0，1)的壓縮映象，A是系數(shù)為γ的強正有界線性算子且對給定x0∈K，αn∈(0，1)，并滿足下列條件:

則由式(4)定義的迭代序列{xn}強收斂到T和F的某個公共元q∈EP(F)，且

證明 首先，證明序列{xn}有界．記un=Frnxn且

則式(4)可簡記為(注:文獻［12］中定義的un=Frn是式(5)定義的特例)

取p∈EP(F)，由引理4可知p∈Fix(Frn)且

由式(6)和引理2得

類似地，遞推可得

因此{(lán)xn}有界，進一步可得{un}{Aun}{f(xn)}有界．

在式(10)和式(11)中分別取y=un－1，y=un，則

將式(12)和式(13)相加，并利用(A2)得

式(14)等價于

即

由定理1條件(ii)，不妨設(shè)rn≥ε＞0，則

結(jié)合式(6)(9)和式(15)得

其中．由條件(i)－(ii)和引理5，得

進一步，結(jié)合式(15)和(17)得

另一方面，由式(6)有xn=αn－1γf(xn－1)+(I－αn－1A)un－1，則

結(jié)合定理1條件(i)和式(18)得

因為K是閉凸集，所以K也是弱閉的，因此，ω∈K．類似地，如果{uni}為{un}的一個弱收斂子列，則由式(19)可知{uni}弱收斂于ω．由式(5)和(10)得

結(jié)合條件(A2)和式(20)得

由式(19)可知uni－xni→0，且uni弱收斂于ω，則由式(21)得

記zt=ty+(1－t)ω，?t∈(0，1］，y∈K，則zt∈K，進一步得F(zt，ω)≤0．同時，由條件(A1)和(A4)得

因此，F(xiàn)(zt，y)≥0．由條件(A3)得F(ω，y)≥0，?y∈K，即xni弱收斂于ω∈EP(F)．

現(xiàn)在，證明limsupn→∞＜(A－γf)q，q－xn＞≤0，其中q=limt→0xt．定義映象Φnx=tγf(x)+(I－tA)Frnx，?t∈(0，1)，?x，y∈H，有

由于0＜1－(γ－γρ)t＜1，則Φn是壓縮映象，故存在唯一的不動點xt，即

由引理3和4，及式(19)和式(23)得

結(jié)合式(24)和式(25)得

整理得

對式(26)關(guān)于n→∞取極限，并由ψn(t)→0(n→∞)得

其中常數(shù)M3≥＜Axt－Axn，xt－xn＞．由式(27)進一步得

另一方面，由于

所以

最后，證明強收斂到q∈EP(F)．由式(6)(7)和引理2得

整理得

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Approximate Methods and Strong Convergence on Equilibrium Problems

LUO Guang-yao1，GONG Qian-fen2
(1．School of Mathematics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China;2．School of Computer Science and Information Engineering，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China)

In Hilbert space，a general iterative method of a numerical solution to approximate equilibrium problems is set up．The solution to the problems from strong convergence of the sequence to equilibrium generated by this method is proved under certain condition，and this solution to strong convergence is simultaneously the solution to a class of variational inequalities．

equilibrium problem;fixed point method;strong positive operator;variational inequality

O177．91

A

1672－058X(2015)02－0017－06

10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0002．004

責(zé)任編輯:李翠薇

2014－05－25;

2014－06－17．

重慶市自然科學(xué)基金(CSTC 2012jjA00039);重慶市教委科技研究項目(KJ130731)．

羅光耀(1956-)，男，重慶人，講師，從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究．