談以二次函數(shù)為背景的一道中考壓軸題的命制

☉武漢市第六初級中學程松 青黃萍

談以二次函數(shù)為背景的一道中考壓軸題的命制

☉武漢市第六初級中學程松 青黃萍

筆者多年在武漢六中這所百年名校任教初三數(shù)學，該校的學生大多為資優(yōu)生，他們對能解答出中考壓軸題的要求都非常高，在多年的師生交流、互相學習中對中考壓軸題的命制也慢慢積累了一些體會.筆者所教的學生每年中考高分人數(shù)很多，常常是全班過半數(shù)學生可達110分以上，今年還有一名叫宋子寅的學生數(shù)學中考獲得滿分120分的耀眼成績，也因此產生了想寫寫對中考壓軸題命制和教學的念頭.壓軸題是試卷命制的核心，一道壓軸題的定型，并不是一蹴而就的，而是在《課標》和教材指導下的一個不斷改進—反思—再改進的創(chuàng)作過程，體現(xiàn)《課標》和教材要求下的某種教學導向，本文想從一道以二次函數(shù)為背景的中考壓軸題的命制和教學跟同行們交流，力求能引發(fā)大家對自己的教學方式方法的再思考.

一、研究“題源”

“題源”可以是課本中的一道題目，也可以是對某個概念、定義、定理的理解和演譯.“拋物線”的定義即“同一平面上到定點（焦點）的距離與到定直線（準線）的距離相等的點的集合”.而二次函數(shù)的圖像就是一條拋物線，那么二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖像的焦點和準線在哪里？找到它，就是一個很好的“題源”，因為這里面重點知識豐富，能較好地匯合特殊三角形、四邊形、圓等圖形，能考查方程、函數(shù)、數(shù)形結合、分類等重要的數(shù)學思想，也能較好地兼顧基礎性和區(qū)分度.

圖1

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的“焦點”、“準線”與數(shù)“a、b、c”有怎樣的關系？當a＞0時，如圖1，設點B為焦點，直線l為準線，點A為拋物線的頂點，對稱軸x=-與直線l垂直，垂足為點C，設AC=AB=t，過點B作BD∥l交拋物線于點D，過點D作DE⊥l于點E，點E為垂足，由拋物線的定義知BD=DE，所以DB=DE=BC=2t，所以D把它代入二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=簡得t=4at2.又因為t＞0，所以

也就是說，當a＞0時，在拋物線的對稱軸上，從頂點A向上移動個單位長度即為焦點（點B），向下移個單位即為準線與對稱軸的交點（垂足點C）.不難發(fā)現(xiàn)，當a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c的開口向下，這時從頂點向上移動-個單位長度即為拋物線與對稱軸的交點（即垂足），向下移動-個單位即到焦點的位置.與x軸的正半軸交于C點，頂點為D.

（1）求點C、D的坐標；

（2）過原點O任作直線交拋物線于A、B兩點，過點B作BE⊥x軸于點E.當點B在拋物線上運動時，OB-BE或OB+BE能為定值嗎？請?zhí)骄克鼮槎ㄖ禃r的條件？

圖2

基于拋物線上任一點到焦點的距離都等于該點到準線的距離，筆者產生了如下命制方案.

例1如圖2，已知拋物線y=而頂點D（0，-1），點D向上移1個單位即為焦點O（0，0），向下移一個單位即到P（0，-2），即為準線與對稱軸的交點，不妨畫出準線l，延長BE交l于點F，易得BF=BO.

當點B的橫坐標xB＞2或xB＜-2時，如圖3，OB-BE=BFBE=EF=OP=2為定值；

圖3

圖4

當點B的橫坐標-2＜xB＜2時，如圖4，OB+BE=BF+BE= EF=2為定值；

當xB=±2時，點B、E、C重合，OB+BE=OB-BE=OC=2.

再看看如何證明OB=BF？

這樣的設計正好考查了有關拋物線的定義、勾股定理等重要數(shù)學知識和數(shù)形結合、分類等重要數(shù)學思想，符合筆者最初的設計思路.但對方程思想體現(xiàn)不足，包括列方程、解方程、根與數(shù)的關系、根的判別式等知識的考查，所以還得進一步編制第（3）小題.

二、延伸“題源”編題眼

最后一小題往往是壓軸題的題眼，通過一定圖形中有關角、線段、特殊圖形、相似、銳角三角函數(shù)等知識來與方程建立聯(lián)系，考查數(shù)形結合思想，形的運用考查幾何基礎知識靈活運用能力，數(shù)的處理考查方程思想，基于這樣的指導思想，我們提出以下兩種命題設計方案：

方案①如圖5，點P（0，-2），連接PA、PB，求證∠APO=∠BPO.

圖5

圖6

方案②如圖6，過P（0，-2）作直線交y軸右側的拋物線于M、N兩點，若MN2=PM·PN，求出直線MN的解析式.

方案①解析：設直線AB的解析式為y=k1x，直線PB的解析式為y=k2x-2，并設PB與拋物線的另一交點為點G，下面只需要證明點A與點G關于y軸對稱即可，這項證明可以通過求證A、G兩點的縱坐標相同，而橫坐標互為相反數(shù)來實現(xiàn).

方案②解析：如圖7，分別過點M、N作MT⊥l于點T，NS⊥l于點S，首先根據比例性質將需要證明的等式MN2=PM·PN，轉變?yōu)樽C明ST2=PT· PS即可.（這一思想筆者通常稱之為“斜轉平”，就是將非平行于x軸的線段間的關系轉變?yōu)槠叫杏趚軸線段間的關系）

設M、N的橫坐標分別為xM、xN，由ST2=PT·PS得，（xN-xM）2=xM·xN，所以（xN+xM）2=5xM·xN.

圖7

三、隱藏“題源”創(chuàng)題魂

在設計中考壓軸題（即最后一小題）時，命題人常常將“題源”深深隱藏，必須對初中階段的核心知識和核心數(shù)學思想方法掌握得非常好，又有靈活運用能力的學生才有可能解決，有很強烈的篩選尖子生的意圖.

在2014年中考最后的模擬階段（5月底），筆者在拋物線定義的啟示下，很好地隱藏了焦點和準線，命制了下面這道壓軸題，被市命題專家稱“這道題命得很有水平”的贊譽.