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      挖掘課本習(xí)題功能探究高考命題趨勢
      ——一道解三角形課本習(xí)題的探究

      2015-05-25 00:36:36江蘇省昆山市第一中學(xué)周維軍
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年8期
      關(guān)鍵詞:余弦定理正弦內(nèi)角

      ☉江蘇省昆山市第一中學(xué) 周維軍

      挖掘課本習(xí)題功能探究高考命題趨勢
      ——一道解三角形課本習(xí)題的探究

      ☉江蘇省昆山市第一中學(xué) 周維軍

      又sin∠BDA=sin∠ADC,BD=CD,所以∠DAC=90°,所以∠BAC=120°,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+ AC2-2AB·ACcos∠BAC,即BC2=48+12-24=36,故BC=6.

      點評:挖掘所給三角形中角的關(guān)系,是解題入手點之一,其中角的關(guān)系主要包括三角形內(nèi)角和為180°,外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和,兩角互補正弦值相等,余弦值互為相反數(shù),兩角互余正弦值與余弦值相等.

      點評:本解法抓住題目條件本質(zhì),將三角形置于平行四邊形中,使題目中不明確的邊角關(guān)系突顯出來,進而利用正、余弦定理快速解題.

      一、改變題目條件,解法根出同源

      在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·

      點評:本題無論從命題形式,還是解法探究,上述兩例都與課本源題出奇的相似,準確把握“兩角互補,其正弦值相等”和“三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和”是問題順利求解的關(guān)鍵.

      二、落實基本能力,展現(xiàn)考綱要求

      點評:新課標考綱對解三角形的要求是:掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.

      三、把握圖形關(guān)系,由四邊形還原三角形

      例4(2015年全國新課標I卷)如圖6,在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是____________.

      點評:三角形是平面中最簡單的圖形,四邊形可以認為是由三角形切割而成,故解題中將四邊形還原于三角形中,使邊角關(guān)系更加明朗化,從而順利解題.

      四、合理利用條件,由四邊形分割出三角形

      例5(2014年全國新課標卷(Ⅱ)文)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補,AB=1,BC=3,CD=DA=2.

      (1)求C和BD;

      (2)求四邊形ABCD的面積.

      解析:(1)由題設(shè)及余弦定理,得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC①,BD2=AB2+DA2-2AB· DAcosA=5+4cosC②.

      點評:第(1)問是先利用余弦定理列出關(guān)系式,再結(jié)合方程思想求解.第(2)問是將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求解.

      綜上,本文以一道課本習(xí)題為例,引導(dǎo)學(xué)生多方位思考,將試題進行了推廣探究,通過探究,從深層次上挖掘了課本習(xí)題的教學(xué)價值,有力地激發(fā)了學(xué)生的探究性思維,培養(yǎng)了探究能力.A

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