更深更遠(yuǎn)更優(yōu)
——一道高考題的解法賞析與拓展

☉江蘇省海門市四甲中學(xué) 陸叢林

更深更遠(yuǎn)更優(yōu)
——一道高考題的解法賞析與拓展

☉江蘇省海門市四甲中學(xué) 陸叢林

一年一度的高考又落下惟幕，每年高考后都會(huì)涌現(xiàn)出一批題型新穎、立意深遠(yuǎn)、背景豐富的好題.2015年的浙江省理科第18題以函數(shù)問題為載體，結(jié)合絕對(duì)值考查學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等思想方法的掌握與運(yùn)用情況，令人耳目一新，本文筆者試給出此題的一些解法賞析與拓展延伸，旨在拋磚引玉.

一、試題呈現(xiàn)

題目（2015年浙江理科第18題）已知函數(shù)f（x）=x2+ ax+b（a，b∈R），記M（a，b）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值.

（1）證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M（a，b）≥2.

（2）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時(shí)，求|a|+|b|的最大值.

分析：本題是一個(gè)二次函數(shù)求最值問題，融入了近年常見的元素：絕對(duì)值、參數(shù)、不等式.對(duì)一般的學(xué)生來說往往切題較慢，不容易拿到高分，但若抓住本質(zhì)，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和變形，問題就會(huì)變得相對(duì)簡(jiǎn)單.

二、解法賞析

當(dāng)a≥2，1+b≥0時(shí)，1+a+b≥2，M（a，b）=|f（1）|=|1+a+ b|≥2；

當(dāng)a≥2，1+b＜0時(shí)，1-a+b≤-2，M（a，b）=|f（-1）|=|1-a+b|≥2；

當(dāng)a≤-2，1+b≥0時(shí)，1-a+b≥2，M（a，b）=|f（-1）|=|1-a+b|≥2；

當(dāng)a≤-2，1+b＜0時(shí)，1+a+b≤-2，M（a，b）=|f（1）|=|1+ a+b|≥2.

考生在平時(shí)考試中遇到的函數(shù)題，普遍采用分類討論思想確定函數(shù)最值的解題思路，因此，此法是通法.

解法二：（絕對(duì)值不等式）由|a|≥2知道了對(duì)稱軸的位置，因此|f（x）|的最大值在1或-1時(shí)取得，即M（a，b）= max｛|f（-1）|，|f（1）|｝=max｛|1-a+b|，|1+a+b|｝≥

此方法雖然簡(jiǎn)潔易行，但不是常規(guī)方法，只有參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)的學(xué)生做起來才會(huì)得心應(yīng)手.

解法三：（基本初等函數(shù)）由解法一知M（a，b）= max｛|1+a+b|，|1-a+b|｝.

令t=b+1，則M（a，b）=g（t）=max｛|t-a|，|t+a|｝.分別畫出g（t）的圖像，如圖1、圖2所示.

圖1

圖2

①若a≤-2，由圖1可知M（a，b）min=g（t）min=g（0）= -a≥2，所以M（a，b）≥2.

②若a≥2，由圖2可知M（a，b）min=g（t）min=g（0）=a≥2，所以M（a，b）≥2.

綜上，M（a，b）≥2.

此法中通過換元，轉(zhuǎn)化為求最大值中的最小值問題，常規(guī)方法就是通過數(shù)形結(jié)合畫出圖像，直觀簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)單易行，若能關(guān)注絕對(duì)值的幾何意義，從這個(gè)方法中還可以推出以下方法：

解法四：（絕對(duì)值的幾何意義）由解法三知M（a，b）= max｛|1+a+b|，|1-a+b|｝.令t=b+1，|（f1）|=|1+a+b|=（|b+1）+a|= |t+a|，|（f-1）|=|1-a+b|=（|b+1）-a|=|t-a|.|（f1）|=|t+a|表示t到-a的距離，|（f-1）|=|t-a|表示t到a的距離.

|（f1）|+|（f-1）|=|t+a|+|t-a|表示t到-a的距離與t到a的距離之和.

|（f1）|+|（f-1）|=|t+a|+|t-a|表示t到-|a|的距離與t到|a|的距離之和.

圖3

如圖3，當(dāng)t∈［-|a|，|a|］時(shí)，|（f1）|+|（f-1）|的最小值為2|a|，

此法中通過換元后畫出圖像，借助數(shù)軸，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)好方法.

圖4

直線QS和直線RS與拋物線分別相切于點(diǎn)Q，R，由圖可知|a|+|b|的最大值為3.

此法利用線性規(guī)劃的知識(shí)，對(duì)可行域的要求比較高，但此法直觀明了，是個(gè)好方法.

此法簡(jiǎn)潔明了，但對(duì)學(xué)生不等式應(yīng)用水平要求較高，體現(xiàn)方程（組）的思想，巧妙地運(yùn)用了絕對(duì)值不等式，發(fā)揮整體代換、化繁為簡(jiǎn)的優(yōu)勢(shì).相對(duì)于常規(guī)的函數(shù)思想與分類討論思想，既不用討論閉區(qū)間上何時(shí)取到最值，也不用線性規(guī)劃畫圖尋找，簡(jiǎn)單快捷，計(jì)算量小.

若M（a，b）＜2，由（1）必有|a|＜2.

由|1+|a|+b|≤2，得-2≤1+|a|+b≤2?-3≤|a|+b≤1.

①若b≥0，則|a|+|b|=|a|+b≤1；

所以|a|+|b|的最大值為3.

此法利用不等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，同時(shí)體現(xiàn)了分類討論思想在解題中的作用.

從上例中我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸在解題中的巨大作用，如果平時(shí)加強(qiáng)對(duì)題目的研究，深入剖析題目條件和結(jié)構(gòu)，合理進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化，往往會(huì)收到意想不到的效果，解題效率也能大大提升.

三、變式與擴(kuò)展

在處理這樣的雙變量問題上絕對(duì)值不等式有著一定的優(yōu)勢(shì)，若含有三個(gè)變量問題，又如何解決？

變式：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，記M（a，b，c）是|f（x）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值，當(dāng)a，b，c滿足M（a，b，c）≤2時(shí)，求|a|+|b|+|c|的最大值.

故|a|+|b|+|c|≤6，當(dāng)|a|+|b|=4，|c|=2時(shí)取到最大值6.

對(duì)于含有三個(gè)變量問題，依靠絕對(duì)值不等式這個(gè)有力的工具，也可以做到整體代換，簡(jiǎn)單快捷.只要我們把握好不等號(hào)的方向，就能在多變量中抓住本質(zhì)，從而解決問題.

總之，高考題預(yù)示高考命題的規(guī)律與趨勢(shì)，倍受廣大師生的關(guān)注，認(rèn)真研究高考題，發(fā)掘其真正的內(nèi)含，探索出新的規(guī)律性結(jié)論，并運(yùn)用于教學(xué)之中，可以豐富我們的教學(xué)，使我們的教學(xué)理念更新，解題的手段升級(jí)，對(duì)數(shù)學(xué)探究的激情會(huì)更高，思索會(huì)更遠(yuǎn)，收獲將會(huì)更大.F