關(guān)于古算題進(jìn)入課堂教學(xué)的探索

李斌

2011年12月，教育部頒布了修訂后的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，修訂后的課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維。為了在教學(xué)過程中自然而然地滲透并實(shí)踐課改的理念，教師們都是“傾其所有”地找素材，設(shè)計問題情境，但最終的效果卻不是很好。古代數(shù)學(xué)問題的融入，會給我們的課堂教學(xué)帶來一些“生氣”，一些意想不到的收獲。所謂古算題，就是曾經(jīng)出現(xiàn)在我國不同歷史時期、不同年代的數(shù)學(xué)典籍里的、至今仍被人津津樂道并深入研究和探討的包含多個維度的社會歷史文化信息的數(shù)學(xué)問題。

黃山學(xué)院教授郁祖權(quán)先生在其2004年出版的《中國古算解趣》序言里指出[1]：把古代一些有用的數(shù)學(xué)方法、理論成果結(jié)合起來，配合中小學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，古為今用，突出思想性、知識性和趣味性，結(jié)合歷史文化背景講解。書中還用一定篇幅介紹民間速算、巧算的方法，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和空間想象能力。李逢平先生在《中國古算題選解》前言里指出[2]：《中國古算題選解》是結(jié)合中小學(xué)部分?jǐn)?shù)學(xué)教材編寫的。為便于參考，李逢平先生在編寫時都是將原題、原“術(shù)”、原算草予以語譯或用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表達(dá)加以對照，并在題后寫上按語。在按語中，除有注釋說明外，還將各題用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法進(jìn)行解答，并與國外有關(guān)同類問題進(jìn)行比較，從中體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)之成就。沈康身先生在其1957年《數(shù)學(xué)通報》第六期發(fā)表的文章《中國古算題的世界意義》中探討了我國古代數(shù)學(xué)對國外的影響[3]，沈先生用一些具體算題闡釋了我國古代數(shù)學(xué)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的地位。沈先生指出，世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上的某些著名算題，并不只發(fā)生在外國，實(shí)則在我國古代數(shù)學(xué)典籍上早已有記載。并且從時間上來看，這些算題還有外傳的可能。

數(shù)學(xué)教育界的三位前輩都對古算題的教育教學(xué)功能進(jìn)行了深入的剖析，相比于數(shù)學(xué)教師為追求課堂教學(xué)精彩而“偽造”的數(shù)學(xué)情境問題，古算題是“有血有肉”的，它不僅蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)思想，還有著豐富的社會人文信息，將這些古算題適切地用到課堂教學(xué)中，對于全面貫徹課改理念，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)，促進(jìn)其全面發(fā)展，有“事半功倍”之功效。

一、古算題進(jìn)入課堂教學(xué)的必要性

1.以古算題為載體的古代算經(jīng)在歷史上就作為數(shù)學(xué)教材使用

早在魏晉南北朝時期，劉徽給《九章算術(shù)》作注，自云“徽幼習(xí)《九章》”?？梢娫趧⒒账幍奈簳x時代，《九章算術(shù)》已經(jīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容了。據(jù)《舊唐書·李淳風(fēng)傳》，唐代國子監(jiān)所設(shè)的算學(xué)館，也是把經(jīng)過修訂、注釋的“算經(jīng)十書”作為教材使用。在宋代，據(jù)《宋史·選舉志》載文，其算學(xué)教育也以《九章》、《周髀》、《海島》、《孫子》、《五曹》、《張丘建》、《夏侯》等為教材。明代洪武二十五年（1392年）規(guī)定關(guān)于“數(shù)”的課程“務(wù)需精通《九章》之法”。到了清代，《算經(jīng)十書》及其衍生讀物是蒙生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要教科書，并與引進(jìn)的《幾何原本》和會通的《數(shù)理精蘊(yùn)》并列。直到清末，“算經(jīng)十書”才被新編教材取代[4]。

由上述可以看出，“算經(jīng)十書”以及其他算經(jīng)衍生讀物在歷朝歷代都曾被用作數(shù)學(xué)教科書，培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才，到了今天，我們也有責(zé)任和義務(wù)把這一優(yōu)良傳統(tǒng)繼承下去。

2.古算題進(jìn)入課堂教學(xué)對內(nèi)化課改理念、滲透數(shù)學(xué)思想方法、促進(jìn)學(xué)生人文修養(yǎng)等具有重要意義

（1）古算題有豐富的人文社會信息

基于古代數(shù)學(xué)問題豐富的人文社會信息，提高學(xué)生德育能力，貫徹“快樂閱讀”理念，使學(xué)生樂讀愛學(xué)?，F(xiàn)行各版本教材雖然都指出數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，但教材中列舉的數(shù)學(xué)與實(shí)際生活關(guān)聯(lián)的例子少之又少，由于看不到這種關(guān)聯(lián)的實(shí)際案例，導(dǎo)致大部分學(xué)生“厭學(xué)”數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)興趣以及學(xué)習(xí)積極性不高。古算題融入教學(xué)可以很好地彌補(bǔ)這一不足。古代算經(jīng)里的數(shù)學(xué)問題都包含了豐富的社會文化信息，大都是為解決日常生活中的問題而編寫，并且隨著社會政治經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，不同朝代的算經(jīng)涉及的現(xiàn)實(shí)生活問題也各有側(cè)重。例如，成書于公元1世紀(jì)的《九章算術(shù)》，全書共分九章，收有246個數(shù)學(xué)問題。這九章的章名分別是：“方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、“盈不足”、“方程”、“勾股”。從各章的標(biāo)題我們就能看出，它反映了那個時代人民在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、糧倉存糧、土地丈量、建筑工程、水利、天文地理、從伍行軍等方面對數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用。再如，北周甄鸞所撰《五曹算經(jīng)》分“田曹”、“兵曹”、“集曹”、“倉曹”、“金曹”五個標(biāo)題?！拔宀堋笔侵肝孱惞賳T。其中“田曹”是關(guān)于各種田畝面積的計算，“兵曹”是關(guān)于軍隊(duì)配置、給養(yǎng)運(yùn)輸?shù)鹊能娛聰?shù)學(xué)問題，“集曹”是貿(mào)易交換問題，“倉曹”是糧食稅收和倉窖體積問題，“金曹”是絲織物交易等問題。由此可看出，這部算經(jīng)的內(nèi)容涉及到當(dāng)時社會生產(chǎn)及軍事方面的求田地面積、糧倉儲糧、軍隊(duì)士兵數(shù)量等問題。以《九章算術(shù)》為代表的十部算經(jīng)以及其后的算經(jīng)大都繼承了這樣的風(fēng)格和體系，它使學(xué)生明白，社會的發(fā)展需要數(shù)學(xué)，社會對數(shù)學(xué)的需要也成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的動力。這也順應(yīng)了“數(shù)學(xué)來源于生活，又高于生活”這句話。

（2）古算題是形式豐富多樣的

除了一般的文言文表述之外，古算題還有詩詞形式以及游戲娛樂類（如幻方、漢諾塔）的表述。尤其是詩歌形式，將極具文學(xué)色彩的詩詞歌賦融入到算題中，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)與文學(xué)的關(guān)聯(lián)，呈現(xiàn)出了濃重的傳統(tǒng)文化意味。如關(guān)于“物不知數(shù)”問題（又稱“孫子問題”，出自《孫子算經(jīng)》）：有一數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問此數(shù)為何？我們知道，秦九韶將此類問題的解法推廣成解一次同余式組的一般方法，也即“大衍求一術(shù)”。關(guān)于物不知數(shù)問題的求解過程，程大位在《算法統(tǒng)宗》用一首“孫子歌”（又名“韓信點(diǎn)兵”）給出：“三子同行七十稀，五樹梅花廿一枝。七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知?！边@四句詩隱含了解決這一問題的三個關(guān)鍵數(shù)字70、21和15，并且歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：“三（3）人同行七十（70）稀”——是說除以3所得的余數(shù)，要用“70”去乘它；“五（5）樹梅花廿一（21）枝”——是說除以5所得的余數(shù)，要用“21”去乘它；“七（7）子團(tuán)圓正半月（15）”——“半月”是一個月30天的一半，即15日，這是說，除以7所得的余數(shù)，要用“15”去乘它；“除百零五（105）便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數(shù)相加，加得的和如果大于105，便應(yīng)減去105，或者減去105的倍數(shù)。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。運(yùn)用這一歌訣來解這“物不知數(shù)”問題，便是2×70+3×21+2×15=140+63+30=233，233-105-105=23。類似的例子還有很多，教師若能在課堂教學(xué)中適切地引入并應(yīng)用，必將有很好的教學(xué)效果。

（3）古算題蘊(yùn)含了深刻的數(shù)學(xué)思想

《九章算術(shù)》全書共有202個“術(shù)”，這些“術(shù)”不僅是解決一類問題方法的總結(jié)和歸納，其中也包含了深刻的數(shù)學(xué)思想。因?yàn)楣垂啥ɡ碓谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教材里大都是作為一章的內(nèi)容來呈現(xiàn)，而且關(guān)于勾股定理的古算題也尤為豐富，故我們以“勾股術(shù)”為例。在《九章算術(shù)》的“勾股”章有如下問題：“今有戶不知高廣，竿不知長短。橫之不出四尺，從（zòng）之不出二尺，邪之適出。問戶高、廣、衺各幾何？”翻譯成現(xiàn)代文就是：有一門，不知其高和寬；有一竹竿，也不知其長。如果將竿橫放，差四尺（注：3尺為1米）出不去門；如果將竿豎起，差兩尺出不去門；如果將竿斜放，正好可以出得去門。問門的高度，寬度和斜長分別是多少？學(xué)生大多會選擇用一元二次方程解決此問題：設(shè)竿長為x，則高度為（x-2），寬度為（x-4），由x2=（x-4）2+（x-2）2解得x1=2，x2=10。顯然x1=2不合題意，故略去，所以x2=10為所求。此題在《九章算術(shù)》中的解法是這樣敘述的：“從（zòng）、橫不足相乘，倍而開方之。所得加從（zòng）不出即戶廣，加橫不出即戶高，兩不出加之，得戶衺?！币馑际钦f：設(shè)門的高、廣、衺分別為a、b、c，即已知從（zòng）不出c-b=2，橫不出c-a=4。則先求出。加2就是門寬6尺，加4就是門高8尺，加2和4就是門斜長10尺。細(xì)細(xì)比較，兩種解法的本質(zhì)是一樣的，但古人的解決卻如此的精妙，它將直角三角形的“勾、股、弦”之間的所有關(guān)系都運(yùn)用及變換自如，這是我們的學(xué)生所欠缺的，其中的數(shù)學(xué)思想及體驗(yàn)也經(jīng)由學(xué)生自主地剖析、發(fā)現(xiàn)并靈活應(yīng)用才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的目的。

二、古算題進(jìn)入課堂的路徑分析

現(xiàn)行人教版初中數(shù)學(xué)教材八年級下第18章“勾股定理”中有一古算題，其對該題的呈現(xiàn)形式如下：

如圖所示，首先是呈現(xiàn)用現(xiàn)代白話文表述的“引葭赴岸”問題，然后在旁邊再附上文言文原題及出處，并附有情境圖。在筆者看來，這樣的做法已經(jīng)很好了，但品味之余，總感覺有些許缺陷或者不足之處。因?yàn)?，它只讓我們感覺到這就是一道需要學(xué)生解決的問題，沒有真正地反映出古算題所包含的方方面面的知識和信息。

結(jié)合修訂課標(biāo)對教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)的要求，以及課改的理念或精神，我們認(rèn)為課堂教學(xué)或教材上古算題的使用流程應(yīng)該是這樣的：呈現(xiàn)古算題原題（盡可能地呈現(xiàn)情境圖片，幫助還原該題出現(xiàn)的那個時代的歷史社會文化信息）——介紹出處（算經(jīng)、年代、數(shù)學(xué)家的故事等信息）——文言文翻譯成現(xiàn)代白話文（師生共同完成）——問題求解（學(xué)生自主完成并講解，允許一題多解——展現(xiàn)古算題求解的“術(shù)”，翻譯成白話文并分析其原理——古今解法比較——學(xué)生反思、提煉、內(nèi)化。

結(jié)合這一思路，我們重新給出關(guān)于該古算題的教學(xué)設(shè)計，限于篇幅，從簡說明。

步驟一：“引葭赴岸”：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？”（注：3丈為10米）

步驟二：附情境圖片（該圖片為南宋末期數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》為該題所附）

步驟三：現(xiàn)代文翻譯：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。問：這個水池水的深度和這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？

步驟四：“引葭赴岸”問題出處介紹：該題出自《九章算術(shù)》的“勾股”章第六題。然后向?qū)W生介紹《九章算術(shù)》、《詳解九章算法》的作者介紹、創(chuàng)作年代、發(fā)展歷史、涉及的數(shù)學(xué)知識及社會人文信息等。

步驟五：問題的現(xiàn)代方法求解。首先用幾何畫板畫出準(zhǔn)確的圖形，然后設(shè)未知數(shù)，應(yīng)用勾股定理解答。

步驟六：呈現(xiàn)古代算經(jīng)中對該題的求解方法，在翻譯成現(xiàn)代文的基礎(chǔ)上，進(jìn)行古今方法的比較分析，使學(xué)生在比較的基礎(chǔ)上，掌握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

步驟七：“引葭赴岸”問題的“中外交流”?！耙绺鞍丁眴栴}不僅出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中，還出現(xiàn)在《張邱建算經(jīng)》、《四元玉鑒》等算經(jīng)中。此外，類似“引葭赴岸”問題的題目還出現(xiàn)在印度的算學(xué)書中，只不過把葭換成了荷花。如印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊。漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”“荷花問題”比“引葭赴岸”問題晚一千多年出現(xiàn)，這或許反映了同為文明古國的中印數(shù)學(xué)文化的交流。

如上，一個小小的古算題的教學(xué)能給我們帶來如此豐富的數(shù)學(xué)和人文的“享受”，學(xué)生對數(shù)學(xué)的感受或許會隨之改變。

我們分析了古算題進(jìn)入課堂教學(xué)的諸多益處，教師在教學(xué)中不妨結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適切地選取并使用古算題。因?yàn)楣潘泐}的使用不僅有助于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、自主學(xué)習(xí)的能力、感受傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的輝煌、傳承傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)、激發(fā)學(xué)習(xí)積極性、培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力等方面都具有重要的作用。

參考文獻(xiàn)

[1] 郁祖權(quán).中國古算解趣[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[2] 李逢平.中國古算題選解[M].北京：科學(xué)普及出版社，1985.

[3] 沈康.中國古算題的世界意義[J].數(shù)學(xué)通報，1957（6）.

[4] 王青建.算經(jīng)十書與數(shù)學(xué)史教育[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報，2009（5）.

【責(zé)任編輯 郭振玲】