基于QMC的齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度評(píng)定方法

韓連福+付長鳳+王軍+等

摘要： 為評(píng)定齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度，提出了一種基于擬蒙特卡羅法（quasi MonteCarlo method，QMC）的齒輪測(cè)量不確定度評(píng)定方法。研究了齒輪測(cè)量中心的幾何誤差源，應(yīng)用坐標(biāo)變換法建立了齒輪測(cè)量中心精密測(cè)量模型，采用擬蒙特卡羅仿真法對(duì)齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度進(jìn)行了評(píng)定，并分析了評(píng)定的穩(wěn)定性。評(píng)定實(shí)驗(yàn)表明，該方法可準(zhǔn)確評(píng)定齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度，評(píng)定結(jié)果最大偏差為2.35%，評(píng)定方法穩(wěn)定。

關(guān)鍵詞： 齒輪測(cè)量中心； 擬蒙特卡羅法； 測(cè)量不確定度

中圖分類號(hào)： TP 391.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2015.02.005

Evaluation on uncertainty of gear center measurement

based on quasi MonteCarlo method

HAN Lianfu1，2， FU Changfeng1， WANG Jun2， TANG Wenyan1

（1.Institute of Precision Instrument， Harbin Institute of Technology， Harbin 151400， China；

2.College of Electronic Science， Northeast Petroleum University， Daqing 163318， China）

Abstract： To evaluate the uncertainty of gear center measurement， evaluation method on uncertainty of gear center measurement based on quasi MonteCarlo method （QMC） is proposed. The geometric errors are confirmed. The gear measurement model based on gear center measuremnt is established by coordinate transformation. The uncertainty of gear center measurement is evaluated by QMC， and the stability of this method is studied. The experiment shows that the evaluation proposed in this paper can accurately evaluate uncertainty of gear center measurement. The maximum deviation is 2.35%， so the method is stable.

Keywords： gear measuring center； quasi MonteCarlo method（QMC）； measurement uncertainty

引言齒輪測(cè)量中心是一種高精密齒輪測(cè)量儀，適應(yīng)了齒輪測(cè)量向高精度、多功能、自動(dòng)化發(fā)展的趨勢(shì)，已成為齒輪測(cè)量領(lǐng)域的主導(dǎo)設(shè)備[1]。測(cè)量不確定度是衡量齒輪測(cè)量中心性能的主要技術(shù)指標(biāo)[2]。目前，國外從事齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度評(píng)定技術(shù)研究的主要有德國國家計(jì)量院、日本的國家計(jì)量院和京都大學(xué)[3]。國內(nèi)從事該評(píng)定技術(shù)研究的主要有大連理工大學(xué)、西安工業(yè)大學(xué)、北京工業(yè)大學(xué)和哈爾濱工業(yè)大學(xué)[46]。國內(nèi)主要采用分析各項(xiàng)誤差源，然后合成測(cè)量不確定度的方法，但由于齒輪測(cè)量中心測(cè)量項(xiàng)目眾多，更換評(píng)定項(xiàng)目時(shí)需重新計(jì)算一次，計(jì)算復(fù)雜。國外將齒輪測(cè)量中心誤差歸為6類，并采用蒙特卡羅法評(píng)定測(cè)量不確定度，但蒙特卡羅法使用偽隨機(jī)數(shù)，造成評(píng)定收斂速度慢、計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定。為克服上述方法存在的問題，本文分析了齒輪測(cè)量中心的誤差，建立了誤差條件下齒輪測(cè)量模型，并采用擬蒙特卡羅法（quasi MonteCarlo method，QMC）評(píng)定了齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度。圖1齒輪測(cè)量中心誤差

Fig.1Error of gear center measurement1齒輪測(cè)量中心誤差齒輪測(cè)量中心實(shí)質(zhì)上是一個(gè)四軸四坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，其機(jī)械結(jié)構(gòu)和控制結(jié)構(gòu)復(fù)雜，任何機(jī)械和控制系統(tǒng)的誤差都會(huì)影響測(cè)量不確定度，為方便分析，將其等效為圖1所示6種偏差：光學(xué)儀器第37卷

第2期韓連福，等：基于QMC的齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度評(píng)定方法

（1）上頂尖偏差矢量Ru，包含機(jī)械加工偏差、裝配偏差、幾何跳動(dòng)偏差和形變偏差；（2）下頂尖偏差矢量Rd，包含下頂尖偏離轉(zhuǎn)臺(tái)的位置偏差、下頂尖裝置的機(jī)械加工偏差；（3）主軸旋轉(zhuǎn)偏差θr，包含主軸旋轉(zhuǎn)控制偏差θrc和圓光柵計(jì)量偏差θrg；（4）測(cè)頭定位偏差pp（Δp（x），Δp（y），Δp（z）），包含了各軸的控制偏差和各軸機(jī)械結(jié)構(gòu)偏差引起的運(yùn)行偏差；（5）測(cè)頭傳感器位移偏差Gerr（Gx，Gy，Gz）；（6）測(cè)頭形狀與半徑偏差Rp，包含測(cè)球半徑與形狀偏差ref和運(yùn)動(dòng)等效半徑偏差rev。2基于齒輪測(cè)量中心的齒輪測(cè)量模型齒輪測(cè)量中心測(cè)量工件時(shí)，測(cè)頭與工件表面接觸，齒輪測(cè)量中心通過定位測(cè)頭接觸點(diǎn)來獲得測(cè)量數(shù)據(jù)。理想測(cè)量狀態(tài)下，測(cè)球球心的位置pidea=[xNC，yNC，zNC]T（1）式中（xNC，yNC，zNC）為測(cè)球球心在儀器坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)頭存在定位誤差，其定位誤差表達(dá)式為pp=（Δp（x），Δp（y），Δp（z））（2）式中（Δp（x），Δp（y），Δp（z））為測(cè)頭在空間中的定位誤差，是空間位置p的函數(shù)，分布規(guī)律為[4]Δp（x）

Δp（y）

Δp（z）=k1k1k1

k1k1k1

k1k1k1xNC

yNC

zNC+k2k2k2

k2k2k2

k2k2k2sin（rad）

sin（ylenyNC+rad）

sin（zlenzNC+rad）+k3

k3

k3（3）式中：k1、k2、k3均為定位誤差與空間位置關(guān)系因子；ylen、zlen分別為y軸與z軸移動(dòng)位移；rad為旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度。齒輪測(cè)量中心測(cè)量理想工件時(shí)，測(cè)頭傳感器形變表示的位移變化為d=（dx（1+Gx），dy（1+Gy），dz（1+Gz））（4）式中dx、dy、dz分別為測(cè)頭在x、y、z方向上的位移變化。由式（1）、（2）和（4）可知，實(shí)際測(cè)量過程中測(cè)球球心相對(duì)齒輪測(cè)量中心的位置向量pptc=pp+pidea+d（5）不同測(cè)量狀態(tài)下，測(cè)球的等效半徑r=r0+（ref+rev）（6）式中r0為測(cè)球物理半徑。齒輪測(cè)量中心測(cè)頭與工件的接觸點(diǎn)的向量p=[r0+（ref+rev）]sinφ1cosφ2

sinφ1sinφ2

cosφ1+pp+pidea+d（7）式中φ1、φ2分別為測(cè)球球心在球坐標(biāo)系中的水平角和垂直角。由于齒輪測(cè)量中心上、下頂尖都存在偏差，齒輪偏移矢量e和正交傾斜矩陣T表達(dá)式分別為e=（Ru+Rd）l1l（8）

T=Ru-RdRu-Rd0

0

1-1（9）式中：l1為齒輪中心到測(cè)量平面中心距離；l為齒輪測(cè)量中心上、下頂尖距離；Ru、Rd分別為上、下頂尖偏離理想位置矢量，Ru和Rd均服從正態(tài)分布，Ru的矢量角ω（Ru）與Rd的矢量角ω（Rd）均在（-π，π）服從均勻分布。理想工件裝卡在理想齒輪測(cè)量中心上，其工件表面的表達(dá)式為f（u，v，w），其裝卡在傾斜齒輪測(cè)量中心上的表達(dá)式fT（u，v，w）為fT（u，v，w）=e+Tf（u，v，w）（10）測(cè)量工件裝卡在齒輪測(cè)量中心上，工件跟隨齒輪測(cè)量中心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的工件表面方程為fR（u，v，w）=cos（θ+θrc+θrg）-sin（θ+θrc+θrg）0

sin（θ+θrc+θrg）cos（θ+θrc+θrg）0

001fT（u，v，w）（11）式中θrc、θrg均服從正態(tài)分布。齒輪測(cè)量中心測(cè)量工件時(shí)，測(cè)球與工件表面接觸，測(cè)量點(diǎn)滿足齒輪測(cè)量模型，即n（fR（u，v，w））+n（p）=0

fR（u，v，w）=p（12）式中n（p）、n（fR（u，v，w））分別為測(cè)量點(diǎn)測(cè)球表面和工件表面的法矢量。3基于擬蒙特卡羅法的測(cè)量不確定度評(píng)定方法蒙特卡羅法評(píng)定測(cè)量不確定度過程中使用偽隨機(jī)數(shù)，而偽隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)性和均勻性都不強(qiáng)，這造成了蒙圖2擬蒙特卡羅法評(píng)定齒輪測(cè)量不確定度

Fig.2Uncertainty evaluation of the gear by

quasi MonteCarlo method特卡羅法收斂速度慢、計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定。低偏差序列比隨機(jī)數(shù)具有更強(qiáng)的均勻性，采用低偏差序列替代偽隨機(jī)數(shù)序列的蒙特卡羅法稱為擬蒙特卡羅法[79]。如圖2所示，采用擬蒙特卡羅法生成齒輪測(cè)量中心的各項(xiàng)誤差并將其加載到虛擬齒輪測(cè)量中心上，采用該虛擬齒輪測(cè)量中心測(cè)量理想工件獲得含有誤差的仿真信號(hào)，最后按照評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)對(duì)漸開線偏差、螺旋線偏差和齒距偏差進(jìn)行不確定度評(píng)定。4模擬實(shí)驗(yàn)與分析以齒廓總偏差測(cè)量不確定度評(píng)定為例，對(duì)齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定，理想齒輪參數(shù)有：齒數(shù)為36個(gè)，模數(shù)為8個(gè)，壓力角為20°，螺旋角為0°，分度圓直徑為288 mm。齒輪測(cè)量中心各誤差分布如下：（1）上、下頂尖偏差分別為Ru～[AmcosAφ，AmsinAφ，d]Rd～[AmcosAφ，AmsinAφ，0]其中Am服從N（0，0.5）分布，Aφ服從U（-π，π）分布。（2）主軸旋轉(zhuǎn)偏差、測(cè)頭定位偏差和測(cè)頭傳感器位移偏差分別為θr～U（-4.85×10-8，4.85×10-8）Rp～N（0，0.1）Gx、Gy、Gz～N（0，0.005）（3）測(cè)頭定位偏差計(jì)算測(cè)頭定位偏差需要確定的參數(shù)如式（3），各參數(shù)值分別為k1～N（0，0.3）k2～N（0，0.3）k3～N（0，1）rad～U（-π，π）ylen=9.29×10-5zlen=0.25采用基于擬蒙特卡羅法評(píng)定齒輪測(cè)量中心齒廓總偏差測(cè)量不確定度，評(píng)定結(jié)果如圖3所示。圖中，U95表示可信度為95%的測(cè)量不確定度，n為U95齒廓測(cè)量不確定度時(shí)的運(yùn)行次數(shù)。

圖3齒廓總偏差評(píng)定結(jié)果

Fig.3Evaluation results of total deviation for the tooth profile

圖4評(píng)定結(jié)果穩(wěn)定性

Fig.4Stability of evaluation results由仿真結(jié)果可知：測(cè)量不確定度U954 500次運(yùn)行結(jié)果為1.26 μm；30 000次運(yùn)行結(jié)果為1.31 μm；50 000次運(yùn)行結(jié)果為1.29 μm。4 500次、30 000次和50 000次的測(cè)量結(jié)果基本一致，也就是4 500次收斂情況與30 000次、50 000次一樣，而采用蒙特卡羅法需要十幾萬次運(yùn)行才能達(dá)到同樣效果，故擬蒙特卡羅法收斂速度遠(yuǎn)高于蒙特卡羅法。在樣本容量為4 500次的條件下，重復(fù)計(jì)算20次，評(píng)定結(jié)果和平均值如圖4所示。由圖4可知，評(píng)定結(jié)果的最大值為1.31 μm，最小值為1.25 μm，平均值為1.28 μm。將評(píng)定結(jié)果的平均值ua作為評(píng)定結(jié)果的理論值[10]，則評(píng)定結(jié)果最大偏差umax為0.03 μm，其最大相對(duì)偏差為：er=umax-uaua×100%=0.031.28×100%=2.35%（13）由式（13）可知，齒廓測(cè)量不確定度評(píng)定結(jié)果的最大相對(duì)偏差為2.35%，故基于擬蒙特卡羅法的齒輪測(cè)量中心不確定度評(píng)定結(jié)果穩(wěn)定。為避免評(píng)定的偶然性，采用不同參數(shù)的齒輪多次重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)。多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明本文提出的方法收斂速度快、結(jié)果穩(wěn)定。5結(jié)論通過對(duì)齒輪測(cè)量中心幾何結(jié)構(gòu)與控制系統(tǒng)的分析，將其幾何誤差和控制誤差等效成6項(xiàng)誤差，在分析誤差對(duì)測(cè)量不確定度影響的基礎(chǔ)上，采用坐標(biāo)變換法建立了齒輪測(cè)量中心齒輪測(cè)量模型，以齒廓測(cè)量不確定度為例，采用擬蒙特卡羅法評(píng)定了齒輪測(cè)量中心測(cè)量不確定度，并分析了評(píng)定方法的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)表明，本文提出的方法可準(zhǔn)確評(píng)定齒輪中心測(cè)量不確定度，評(píng)定結(jié)果最大偏差為2.35%，評(píng)定方法穩(wěn)定。參考文獻(xiàn)：

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（編輯：程愛婕）